ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 6, с. 642-644
= МАТЕМАТИКА
УДК 511.331
БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА НА КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ
© 2015 г. М. А. Королёв
Представлено академиком РАН А.Н. Паршиным 03.06.2014 г. Поступило 25.06.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215060067
В 2001-2006 гг. А.А. Карацубой [1-4] был получен ряд нижних оценок для максимума модуля дзета-функции Римана Z(s) в кругах малого радиуса, расположенных в критической полосе 0 < Res < 1, а также на очень коротких отрезках критической прямой Res = 0.5. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах [5-8].
В частности, в [4] для величины F(T; H) =
= max | Z(0.5 + it)| было получено неравенство
\t - T s h
( \
F( T; H) > lexp
5ln T
a- - 1](ch(aH) - 1)
которое справедливо при любом фиксированном а, 1 < а < я, и любом Н с условием 2 < аН < 1п1пН— — с1, где с1 > 0 — некоторая абсолютная постоянная. Из него следует, например, что при любых б > 0, Т > Т0(б) > 0 и Н > я-1(1 + б)1п1пТ — с1 величина ¥(Т; Н) оценивается снизу некоторой положительной константой
Д Т; Н) > :j^exp(-1.7б-У') > 0.
Отметим, что при 1п1пТ <§ Н < 0.1 Т имеет место оценка
F( T; H) > exp
lnH
4Vlnln H
принадлежащая Р. Баласубраманияну [9] и близкая к предполагаемой окончательной. Поэтому основной интерес в этой проблематике представляют оценки F(T; H) при 0 < H < lnlnT. А.А. Ка-рацуба поставил в [4] задачу доказать неравенство
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва E-mail: korolevma@mi.ras.ru
ДТ; Н) > 1 при Н, существенно меньших 1п1пТ а именно при Н > 1п1п1пТ.
Автором настоящего сообщения получено условное решение задачи Карацубы, а также ряд новых результатов, связанных с поведением функции Б(1) = я-1 аrg ^ (0.5 + Ы), распределением нулей дзета-функции и с так называемым "законом Гра-ма" в теории
Доказательства всех приводимых ниже теорем опираются на гипотезу Римана. Поэтому слова "если верна гипотеза Римана" в их формулировках опускаются.
Теорема 1. Для любого сколь угодно большого фиксированного числа А существуют постоянные с0 = с0(А) и Т0 = Т0(А) такие, что всякий интервал вида (Т- Н, Т + Н), Н> п-11п 1п1пТ + с0, при Т> Т0 содержит точку для которой |^(0.5 + й)|> А.
Метод доказательства теоремы 1 оказывается полезен не только в исследовании максимумов величины
1С( 0.5 + /01 = exp ( 1П |С( 0.5 + /7)|) = = exp ( Яе 1п £( 0.5 + Н)), но и при исследовании экстремумов функции
г) = £( 0.5 + /7) = я-11т 1п £( 0.5 + /7).
В частности, справедливы следующие утверждения.
Теорема 2. Существуют постоянные с0 и Т0 такие, что при любом Т> Т0 и Н> 0.41п 1п1пТ + с0 выполняются неравенства
тах (±£(/)) > 3 + 10-3.
- Т й н
Теорема 3. Для любого сколь угодно большого фиксированного числа А существуют постоянные с0, Т0 и Н такие, что при Т > Т0 и Н > я-11п 1п1пТ + с0 справедливо неравенство
тах (г + Н) - Б{г - Н)) < -А.
- Т й н
Отметим, что даже в ходе вычисления первых 200 миллиардов нулей ^(у), лежащих на критической прямой (8. Wedeniwski, 2003) не было найде-
БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
643
но ни одного значения I, для которого |Б(0| > 4, хотя известно, что функция Б^) неограничена при t —► + да.
Пусть {?„} — последовательность точек Грама, 0 < ух < у2 < ... < уп < уп + 1 ... — ординаты нулей дзета-функции, лежащих в верхней полуплоскости, упорядоченные по возрастанию (а в случае совпадения — в произвольном порядке). Известно, что "в среднем" на один промежуток Грама 0„ = _ 1,
приходится ровно одна ордината нуля £(?). Вместе с тем А. Сельберг [10] установил, что в положительной доле случаев промежуток 0„ не содержит ни одной ординаты, и в положительной же доле случаев содержит не менее двух ординат. Эти факты указывают на значительную нерегулярность в распределении нулей дзета-функции Римана.
Ничего, однако, не известно о том, как распределены промежутки Грама с "аномальным", т.е. отличным от единицы числом ординат. Следующие теоремы дают верхние оценки длины к = к({) интервала (^ t + к), заведомо содержащего "аномальные" промежутки Грама.
Теорема 4. Для любого сколь угодно малого фиксированного б > 0 существуют постоянные с0 = с0(б) и Т0 = Т0(е) такие, что при Т> Т0 и Н> я-11п 1п1пТ+ + с0 на всяком интервале (Т — Н, Т + Н) найдется
не менее N = [0.1^6 ехр((яб)-1)] промежутков Грама, не содержащих нулей £(0.5 + #).
Теорем а 5. Существуют постоянные с0 и Т0 такие, что при Т > Т0 и Н > 0.81п 1п 1пТ + с0 на всяком интервале (Т — Н, Т + Н) найдется промежуток Грама, содержащий не менее двух нулей £(0.5 +й).
Пусть уп — ордината нуля £(«). Определим по ее номеру п целое число т = т(п) так, чтобы выполнялись неравенства tm -1 < Уп < т Следуя Сельбер-гу, положим Ап = т — п. Известно, что Ап Ф 0 для "почти всех" п. Более того, можно показать (см. теорему 5 из [11] и теоремы 4—6 из [12]), что число номеров п < N, удовлетворяющих условию
А„ <
Vlnln N,
при любом х выражается формулой
(
N
1
л/2я
-0.5«
du + O
fln ln ln
л/ In In N
M =
31 (ln N + c0) ln ln ln N .5 n .
промежуток (N, N + M] содержит номера m, n, для которых Am = 3, An = —3.
Введем ряд вспомогательных обозначений: chz = , Ka(z) = exp(—a chz) (a > 0); Л(п) -
функция Мангольдта, равная lnp для простого p и n = pk, k = 1, 2, ..., и равная нулю в остальных
случаях; Л1(п) = Л (n- (n > 2); / — преобразование ln n
Фурье функцииf; ||а|| = min ({а}, 1 — {а}) — расстояние от а до ближайшего целого числа; p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ... — подряд идущие простые числа, занумерованные в порядке возрастания.
Доказательства перечисленных утверждений опираются на следующее тождество, восходящее к Сельбергу [13].
Лемма 1. Если гипотеза Римана верна, то для любого вещественного t и любого a > 0 справедлива формула
| Ka (я u) ln | Z( 0.5 + i( t + u ))| du =
1 ^ Л1 (n) к flnn\ Л
- ^ 1 __ Ka [ — ) cos (tlnn ) -
П
n = 2
jn
0.5
- 2я J ReKa(n t + niv)dv.
(1)
Следующее утверждение позволяет указать для всякого достаточно большого N целое число М так, чтобы промежуток N + М] заведомо содержал номер п с условием Ап Ф 0.
Теорем а 6. Существуют постоянные с0 и N0 такие, что при N > ^ и
Быстрое убывание функции Ka(nu) при u ^ ±да позволяет заменить левую часть тождества (1) интегралом по отрезку вида |u| < h, где
h = n-1(ln ln lnt - ln(0.5a)) и оценить последний сверху величиной
h +
ц JKa (я u) du <ц J Ka (я u) du = ПKa (0) (2)
-h -да
в случае, если величина ц = max ln | Z(0.5 + i(t + u))|
|u| < h
положительна. Вместе с тем правая часть (1) может быть сделана положительной и достаточно большой за счет выбора t. Такой выбор осуществляется с помощью следующего аналога классической теоремы Дирихле о приближениях (см., например, [14, с. 349]).
Л емма 2. Для любого вектора а = (1, а1, ..., аи), компоненты которого линейно независимы над полем рациональных чисел, для произвольного набора ß1, ß2, ..., ß„ вещественных чисел и для любого б с условием 0 < б < 0.5 существует постоянная С = = С(а; б) > 0 такая, что всякий промежуток вещественной оси длины C содержит точку t, для которой выполняются неравенства
||taj + ßj <s, j = 1, 2, ..., n.
GO
0
GO
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 460 № 6 2015
2*
644
КОРОЛЁВ
Теорему 1 получим из (1), (2), полагая ау = = (2я)—11пру, ру- = 0 для] = 1, 2, ..., N в лемме 2 и подбирая должным образом по заданному числу А параметры а, N 6. Теоремы 2, 3 доказываются подобным образом, но с использованием аналога тождества (1) для мнимой части логарифма
^(0.5 + /(? + и)) и леммы 2 с ау = (2я)—11пру, Ру = ±1
для] = 1, 2, ..., N. Теоремы 4, 5 являются следствиями теоремы 3 и того факта, что количество ординат нулей ^(у), лежащих на промежутке Грама 0„ = = (¿„ -1, ?„], выражается суммой 1 + (Б(1„ + 0) — — — 1 — 0)) (см. лемму 1 из [15]). Наконец, теорема 6 является следствием теоремы 2 и леммы 2 из [12] о связи величин Аи и + 0).
Замечание. Постоянная С(а, б) в лемме 2 является неэффективной. По этой причине постоянные с0, Т0 в теоремах 1—5 и с0, N в теореме 6 также являются неэффективными. Это же обстоятельство не позволяет сделать величину А в теореме 1 растущей функцией Т.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 14—11—00433).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карацуба А.А. // ДАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 15—16.
2. Карацуба А.А. // Мат. заметки. 2001. Т. 70. № 5. С. 796-797.
3. Карацуба А.А. // Изв. РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68. № 6. С. 99-104.
4. Karatsuba A.A. // Funct. Approx. Comment. Math. 2006. V 35. P. 195-207.
5. Garaev M.Z. // Taiwanese J. Math. 2002. V. 6. № 4. P. 573.
6. Feng S.J. // Acta arithm. 2004. V. 114. № 3. P. 295.
7. Чанга М.Е. // Мат. заметки. 2004. V. 76. № 6. P. 922927.
8. Чанга М.Е. // УМН. 2005. Т. 60. № 3(363). С. 181182.
9. Balasubramanian R. // Hardy-Ramanujan J. 1986. V. 9. P. 1-10.
10. Selberg A. The Zeta-Function and the Riemann Hypothesis. C.R. Dixieme Congres Math. Scandinaves. Copenhagen: Jul. Gjellerups Forlag, 1947. P. 187-200.
11. Бояринов Р.Н. // ДАН. 2011. Т. 438. № 1. С. 14-16.
12. Королёв М.А. // Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 2. С. 67-102.
13. Selberg A. // Arch. Math. Naturvid. 1946. V. 48. № 5. P. 89-155.
14. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.
15. Королёв М.А. // Мат. сб. 2012. Т. 203. № 12. С. 129136.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 460 № 6 2015
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.