ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 4, с. 71-87
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.1
БРАХИСТОХРОНА ДЛЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, СКОЛЬЗЯЩЕГО ПО КРИВОЙ*
© 2013 г. Ю. Ф. Голубев
Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 01.02.13 г., после доработки 25.03.13 г.
Найдены условия экстремальности в задаче о брахистохроне абсолютно твердого тела, без трения скользящего по искомой опорной кривой в вертикальной плоскости и отслеживающего направление касательной к траектории. В соответствии с принципом освобождения от связи момент, создаваемый реакциями опоры, принимается в качестве управления. Для безразмерных уравнений движения в форме Аппеля с единственным коэффициентом подобия ставится стандартная задача о быстродействии перехода от заданной начальной точки с нулевой начальной скоростью к заданной конечной точке. Применен метод Охоцимского-Понт-рягина исследования дифференциала функционала. Найдены необходимые условия оптимальности, из которых получена формула для оптимального управления, не содержащая сопряженных переменных. Аналитически исследованы свойства оптимальных траекторий как в общем случае, так и для предельных, равных нулю или бесконечности значений коэффициента подобия. Установлено, что брахистохроны в форме циклоид возникают как результат предельного перехода к бесконечно большому коэффициенту подобия. Для некоторых значений коэффициента подобия представлены результаты расчетов, показывающие форму найденных брахистохрон и оптимальное время движения. Выполнено сравнение полученных результатов с решением классической задачи о брахистохроне.
Б01: 10.7868/80002338813040082
Введение. В классической постановке задачи о брахистохроне речь идет о движении материальной точки под действием силы тяжести по кривой без трения [1]. Обобщение классической постановки можно выполнить, например, добавив диссипативные силы, связанные с различными видами трения при скольжении точки по брахистохроне. Форма брахистохроны будет при этом существенно меняться. Отдельные результаты в этом направлении были получены в [2-7]. Наиболее полное исследование брахистохрон для материальной точки при действии сухого и произвольного вязкого трения представлено в [8, 9]. Другое направление для обобщения классической задачи состоит в том, чтобы учесть динамику вращения твердого тела, движущегося по брахистохроне. Потенциал силы тяжести при этом расходуется не только для создания скорости центра масс, но и для создания угловой скорости вращения тела относительно центра масс. Задача о качении без проскальзывания диска по брахистохроне исследована в [10].
Предлагаемая работа развивает подход, реализованный в [6-9] и связанный с применением принципа освобождения от связей, для решения задачи о скольжении твердого тела по брахистохроне без трения. При таком скольжении твердое тело вынуждено отслеживать своим вращением касательную к траектории центра масс. Этот эффект моделируется неголономной связью типа конька Чаплыгина в вертикальной плоскости под действием силы тяжести [11]. Как и в работах [6-9], задача о варьировании формы кривой была заменена задачей о поиске реакций брахистохроны, минимизирующих время перехода тела с нулевой начальной скоростью из одного заданного начального положения в другое заданное конечное положение под действием силы тяжести. Возникают уравнения Аппеля, учитывающие момент реакций брахистохроны. Выполнено обезразмеривание уравнений движения и установлено, что в безразмерном виде уравнения содержат лишь один параметр подобия. С помощью метода Охоцимского-Понтрягина [12, 13] найдены все экстремали задачи. Исследованы их свойства. Установлено, что точка траектории с нулевым углом наклона касательной к горизонту является особой. Она используется в качестве начальной для получения как в прямом, так и в обратном времени симметричных брахистохрон, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Аналитически исследованы предельные случаи,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00184).
Рис. 1. Угловое положение тела
когда коэффициент подобия равен нулю или бесконечности. Для бесконечно большого коэффициента подобия брахистохроны совпадают с брахистохронами для материальной точки (циклоидами).
1. Постановка задачи. Рассматривается плоскопараллельное движение тяжелого твердого тела в вертикальной плоскости, снабженной неподвижной системой координат Oxy. Ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена вертикально вверх. Тело имеет массу m и центральный момент инерции J относительно перпендикуляра к плоскости движения, проходящего через центр масс тела С. Предполагается, что центр масс С движется по идеально гладкой кривой (без трения). Угловое положение тела определяется углом ф между положительным направлением горизонтальной оси Ох и единичным вектором о, жестко связанным с телом и имеющим начало в центре масс. Вращение тела обеспечивается реакциями опоры. Возьмем точки D и D в теле так, что их радиус-векторы р и р' имеют начало в центре масс, коллинеарны вектору о и имеют постоянную длину: р = и р' = — 2,'с. Примем, что > 0 и > 0 (рис. 1). Пусть точка С имеет радиус-вектор гс
с абсолютными координатами гс = (х, у) и скорость vc = (x, y), где точкой сверху обозначено дифференцирование по времени t. Тогда координаты радиус-векторов rd = (xd, yd) точки D и rd = (x'd, yd) точки D и их скоростей vd = (xd, yd) и Vd = (x'd, y'd) примут вид
Xd = x + cosф, yd = y + sinф, x'd = x - £,'cosф, yd = y - £,'sinф,
Xd = x — ^(psinф, yd = y + ^(pcosф, xd = x + (psinф, yd = y - ^'(pcosф,
Кривые, по которым движутся точки С, D и D', будем считать идеально гладкими. Действие связей на точки С, D и D заменим реакциями Rc, Rd и Rd соответственно. По причине идеальной гладкости эти реакции будут направлены перпендикулярно к касательным соответствующих опорных кривых:
Rc = (-yUc, xUc) , Rd = (-ydUd, xdUd) , Rd = (-y'dU'd, x'dU'd) ,
Rc Rd . R'd (1.2)
" - c u, = , uй = a
Г~2 2 /~~2 2 / i 2 i 2
*Jx + y bJiCd + y d 4(xCd) + (y d)
На систему наложим неголономную связь, означающую, что направление скорости точки С совпадает с направлением вектора а:
у = ф^ х = vcos ф, у = vsin ф, х
где скорость V = в данном случае есть производная от длины дуги ж, проходимой точкой С. Движение системы может быть описано уравнениями Аппеля [11]. Составим энергию ускорений
5* = [т(х + у ) + /ф2 + /ф4 ]/2. Ей отвечает функция Аппеля 5 = (т V + /ф )/2.
При условии освобождения от кривых, стесняющих движение точек С, D и D, найдем выражения для виртуальных перемещений этих точек 5rc = (5х, 5у), 5rd = (5xd, 5yd) и 5 rd = (5x'd, 5yd):
5x = 5s cos ф, 5y = 5s sin ф,
5xd = 5 s cos ф - S^sin ф, 5yd = 5 s sin ф + £,5ф cos ф,
5xd = 5 s cos ф + £,'5ф sin ф, 5yd = 5s sin ф - 5ф cos ф,
где 5s и 5ф — вариации длины дуги s и угла ф соответственно. Составим выражение для виртуальной работы d всех сил, которые действуют на тело, освобожденное от связей:
d = Rc5 rc + Rd 5 rd + Rd 5rd - mg5s sin ф.
Здесь последнее слагаемое выражает виртуальную работу силы тяжести. После преобразований получим
d = - [mgsinф + £,(ud- х+ £,(ud- xud) v5ф, х = .
Система уравнений движения в форме Аппеля принимает вид
x = vcosф, y = vsinф, m v = - mgsinф - uф, /ф = u v, (1-3)
где u = £,(ud — x ud) выступает в качестве функции управления.
Зададим при t = 0 начальные условия, а при t = Т — конечные условия:
x (0) = 0, y (0) = H, ф( 0) = фо, ф( 0) = v (0) = 0, x( T) = a, (14)
У(T) = b < H, ф(T) = фт- .
Другими словами, к сравнению допускаются траектории, которые не только проходят через фиксированную конечную точку, но и имеют фиксированный угол наклона к горизонтальной оси. Значения v(T), ф (Т) не заданы, но должны подчиняться интегралу энергии
2 2
m v , /ф , , /1
— + -2- + mgy = h, (1.5)
где hi — постоянная энергии. В качестве функционала Ф выступает время движения. На управление U не накладывается ограничений. При x > 0 оно может иметь любой знак даже в том случае,
когда величины ud и ud неотрицательны. Требуется найти U (■) е С1, доставляющее минимум функционалу Ф, и соответствующие этому управлению оптимальные траектории.
2. Необходимые условия оптимальности. Представим (1.3) как систему дифференциальных уравнений первого порядка. Для удобства выполним обезразмеривание
x y v ■ fé , g u 4i = -, q2 = i, 4з = -7=, 44 = ф, 45 = фд -, x = t ё, u = -7=.
Уравнения (1.3) примут вид
dq1 dq2 dq3 dq4 dq5
— = q3cosq4, — = q3sinq4, — = - sinq4 - uq5, — = q5, — = kuq3, (2.1) d x d x d x dx dx
где к = m£,2// — безразмерный коэффициент. Эти уравнения допускают интеграл энергии
W + 2 kq2 = 2h, W = kq2 + q2, (2.2)
причем h = h S/(Jg) — безразмерная постоянная энергии. Запишем функционал
T
Ф = Jdx. (2.3)
о
Гамильтониан задачи о минимуме функционала (2.3) дается выражением [12, 13]
Ж = 1 + q3(y1cosq4 + ^sin^) - у3(sinq4 + uq5) + y4q5 + ку5uq3, (2.4)
где сопряженные переменные у;, i = 1, 5 , удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
= 0 = о dт d т
d уз .
- = - y1cosq4 - y2sinq4 - ку5u,
dT
(2.5)
ddy4 = q3(y1sinq4 - y2cosq4) + у3cosq4, dT
d у5
— = Узи - у4 dT
и условиям трансверсальности
У1( T) = a, у2(T) = p, уз(T) = kyq3, У4(T) = X, У5(T) = yq5,
(2.6)
1 + q3 ( T) [a cos q4 ( T) + p'sin q4 ( T) ] + X q5 = 0.
Здесь a, p, у, X — произвольные постоянные, p' = p — ky. В условиях (2.6) учтено, что время окончания движения может изменяться, координаты q1, q2, q4 в начальный и конечный моменты безразмерного времени зафиксированы, интеграл (2.2) должен сохраняться для всех сравниваемых траекторий. Поскольку область допустимых значений управления открыта, оптимальное управление удовлетворяет условию
f = дЖ = ку5q3 - узq5 = 0. (2.7)
ди
3. Анализ необходимых условий. Функция f условия (2.7) не содержит управления. Следовательно, в силу уравнений Гамильтона, объединяющих (2.1) и (2.5),
dq = дЖ, dv/ = -дЖ, , = ц, (3.1)
d т 5у;- d т dqt должно быть выполнено условие
df = q5(у1cosq4 + у2sinq4) - к(у^3 + у5sinq4) = 0. (3.2)
d т
Как и следовало ожидать [14], функция df/dт также не содержит управления. Поэтому в силу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.