ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 50-64
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.1
БРАХИСТОХРОНА С РАЗГОНЯЮЩЕЙ СИЛОЙ*
© 2014 г. А. С. Вондрухов, Ю. Ф. Голубев
Москва, МГУ, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 17.04.14 г., после доработки 11.06.14 г.
Исследована задача о брахистохроне при действии разгоняющей силы тяги. В качестве управления принята нормальная составляющая реакции опоры. Стандартная задача о минимизации времени перехода от начальной точки до заданной конечной путем выбора траектории решена с применением метода Охоцимского—Понтрягина исследования дифференциала функционала. Получены и изучены условия оптимальности и формула для оптимального управления. Составлена система дифференциальных уравнений с начальными условиями, не содержащая сопряженных переменных, решение которой позволяет получить необходимые экстремали, когда действует разгоняющая сила, а также сухое и вязкое трение. В отсутствие трения выполнен анализ различных случаев квазипостоянной разгоняющей силы, найдены формы траекторий и другие характеристики движения.
БО1: 10.7868/80002338814060122
Введение. Задача о брахистохроне в своей классической формулировке имеет давнюю историю. В работах [1, 2] применялся метод Охоцимского—Понтрягина [3, 4] нахождения брахистохрон с учетом трения. Предлагаемая статья развивает метод, использованный в [2], на случай, когда на материальную точку действует разгоняющая сила, сонаправленная скорости. Получены условия оптимальности и вид оптимального управления, а также выводы о некоторых свойствах оптимальных траекторий.
Рассмотрен случай квазипостоянной разгоняющей силы в отсутствие трения. Для различных значений такой силы построены оптимальные траектории и найдены области достижимости. Задача нахождения оптимальных траекторий в общем случае сведена к решению задачи Коши с начальными условиями.
1. Постановка задачи. Рассматривается плоскопараллельное движение материальной точки массы m, скользящей по кривой в поле сил тяжести (рис. 1). На точку действует разгоняющая сила тяги F, сонаправленная скорости, сила сухого трения Fs, сила вязкого трения Fv, а также составляющая реакции опоры N, перпендикулярная скорости. Движение начинается из некоторой точки А с нулевой начальной скоростью. Необходимо найти траекторию, движение по которой обеспечит достижение заданной фиксированной точки В пространства за минимальное время. Введем ортогональную декартову систему координат с началом в точке А, где х — горизонтальная, а г — вертикальная координаты.
Уравнения движения имеют вид (рис. 1)
Í mx = Neos ф + (Ft - Fv - Fs) sin ф,
[ mz = Nsin ф - (Ft - Fv - Fs) eos ф - mg,
где ф — угол между вектором скорости и направлением силы тяжести, отсчитываемый против хода часовой стрелки. Начальные условия в момент старта при t = 0:
x( 0) = x( 0) = z( 0) = z( 0) = 0. (1.2)
Считаем, что модуль силы тяги и модуль силы вязкого трения зависят от квадрата скорости у = v2. Выражения для силы тяги и силы вязкого трения запишем в следующем виде:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00184а).
х
Рис. 1. Силы, действующие на материальную точку
| Е, = ( (V2) т , = ( (у) т/у, (1.3)
^= ((V )тV = (2(у)т^у,
где ( и (2 — некоторые неотрицательные функции от у.
Имеются две противоположно направленные силы, приложенные к одной точке, каждая из которых представлена в виде произведения модуля скорости на коэффициент, зависящий от у. Можно заменить эти две силы их равнодействующей.
Введем переменную ( = (1 — (2. Таким образом, в совокупности с (1.3) имеем
- Fv = (( V2)т V = ((у)т,/у. (1.4)
В отличие от [2] здесь коэффициент ((у) может быть как положительным, так и отрицательным. Дополнительно примем, что ((у) не возрастает, что значит:
(у) = ^ < 0. (1.5)
а у
Величина силы сухого трения определяется соотношением ¥,, = к\№[, где к > 0 — постоянный коэффициент трения. Введем управление и:
N
и =
т4~Ч
И сделаем следующую замену переменных:
#1 = X, #2 = X, #3 = г, #4 = I.
Уравнения движения (1.1) принимают вид
#1 = #2,
#2 = - к#21и\ + #2((у) - #4и,
#3 = #4,
#4 = - ё - кд4 |и| + #4 ((у) + #2и.
(1.6)
Начальные условия (1.2) в момент старта при ? = 0 запишем как
#1 (0) = #2 (0) = #з( 0) = #4 (0) = о. (1.7)
Таким образом, задача поиска траектории, обеспечивающей минимальное время достижения указанной точки, сводится к поиску управления и, которое минимизирует функционал Ф:
т
Ф = ,
0
где Т — время движения по брахистохроне.
2. Метод Охоцимского—Понтрягина. Поиск экстремума функционала Ф будем осуществлять методом Охоцимского—Понтрягина [3, 4]. Для этого составим гамильтониан Н задачи и систему
дифференциальных уравнений для сопряженных переменных I = 1, 4.
Гамильтониан имеет следующий вид:
Н = \ # + \г(- И + #2И(У) - #4") + + у3 #4 + у4 (- g - к#4 |и| + #4 ц(у) + #2и) + 1.
Отсюда следует система уравнений для сопряженных переменных: >1 = 0,
У 2 = - \ + " ( 01 - 2 #2 (#2^2 + #4\ Ж (У) - \ И(У) - \ 4" ( О, \з = 0,
\4 = - Уз + к У 41И ( 01 - 2 #4 (#2^2 + #4\ (У) - У 4 И(У) - 0.
(2.1)
(2.2)
Так как в конце движения (при достижении нужной точки пространства) горизонтальная и вертикальная составляющие скорости, а также время не фиксированы, получаем следующие граничные условия:
У1( Т) = а, \ (Т) = 0, \з( Т) = в, \ (Т) = 0, (2.3)
1 + а #2 ( Т) + в #4( Т) = 0, (2.4)
где а и в — некоторые константы.
Найдем производную гамильтониана Н по управлению и:
дН = = \2(- к#2 - #4) + \4(#2 - £#4) , еслИ " > 0,
ди [/_ = у2(к#2 - #4) + у4(#2 + к#4), если и < 0.
На управление и не наложено никаких ограничений. Условия экстремальности принимают вид /+ = 0 на оптимальной кривой либо и = 0.
Рассмотрим производную по времени от дН/ди для момента времени Т (момент достижения требуемой точки В):
0 = ± ГдН)
¿Лди )
\ак#2(Т) + в£#4(Т) + а#4(Т) - в#г(Т), если и(Т) > 0, 1 (2.6) [- ак#2(Т) - в£#4(Т) + а#4(Т) - в#2(Т), если и(Т) < 0.
Уравнения (2.6) в совокупности с условием (2.4) позволяют выразить постоянные величины а и в:
а=
+ - #2( Т) + к#4 (Т) ^тл^А
а = - 2 - -4 -, если и(Т) > 0,
у( Т)
а- = - #2(Т) - к#4( Т), если и(Т) < 0,
у( Т)
(2.7)
р+ = -#4 ( Т) - к#2(Т), если и(Т) > 0, в = \ У( Т) (2.8) в- = - #4(Т) + к#2(Т) если и(Т) < 0.
У( Т) ,
Далее рассмотрим отдельно два случая, при которых выполняются условия экстремальности: /- = 0 при отрицательном управлении и /+ = 0 при неотрицательном управлении, а также случай и = 0, подозрительный на экстремум.
2.1. При и = и+ > 0 уравнения движения имеют вид
#1 = #2,
#2 = - к#2и + #2((у) - #4и,
#3 = #4,
#4 = - ё - к#4и + #4 ((у) + #2 и. Гамильтониан представляется выражением
Н = а + #2 + ^2(- к#2и + #2((у) - #4и) + (2
+ в+#4 + у4( - ё - к#4 и + #4((у) + #2 и) + 1.
Запишем систему для сопряженных переменных, учитывая, что = а+ и у3 = в+:
Г\^2 = - а+ + к^2и(,) - 2#2(#2^2 + #4^4)('(У) - ^2((У) - ^4и(О , 1>4 = - в+ + к^4и(,) - 2#4(#2^2 + #4^4)('(У) - ^4((У) + ^2и(,). Чтобы получить выражение для управления, условие экстремальности д Н
/+ = — = ^2 (- к#2 - #4 ) + ^4 (#2 - к#4 ) = 0 ди
продифференцируем по времени:
ТАдН) = ^4 + + 2ку(' (у)(у 2 #2 + ^4 #4) +
ТЛди' (2.10)
+ ка+#2 + кв+#4 + а+#4 - в+#2 = 0.
В левую часть уравнения (2.10) управление не входит, поэтому дифференцируем дН/ди второй раз:
2
!д"! а+и+ - = 0.
т2 чд и у
т- ГдН = •<+--+ "+
Таким образом, если А+ Ф 0, для управления получаем следующее выражение:
и+ = 5+
и А+
где
5 = 2ё#2('(у)(у2#2 + ^4#4) + ((у) + 2ёа+ + (в + #2 - а+ #4)((у) +
+ 2 ёк#4( 2 У(" (у) + 3( (у))у 2#2 + ^4 #4 + ёк^4 (2у('(у) + ((у)) + (2 11)
+ 4к(у2('2(у) - У2((У)("(У) - У((У)('(У))(^2#2 + ^4#4) +
+ (а #2 + в #4)(2ку('(у) - к((у)) + 2ёкв ,
А+ = (к2 - 1 )g\4 + 2gk\2- 4к2(уи'су) + У2И''(У))(\2#2 + \4#4) - (2
+ + 2 + + (2.12)
- (а+#2 + в+#4)(к - 1) - 2ка+#4 + 2кв+#2,
причем ц"(у) = А^ц/^у2.
Подставив значения а+ и в+ из (2.7), (2.8) в выражения для А+ и В+, получаем выражение для и+(Т):
А+ (Т) = (1 + к2 )ф 0,
Б+( Т) = 2ку( Т) ц'(у) + 2g( к2 + 1) , (2.13)
И+( Т) = 2/ 2(Т) + 2 к у( Т) ц' (у( Т)) У( Т) 1 + к2
2.2. При и = и- < 0 уравнения движения принимают вид #1 = #2,
#2 = к#2И + #2И(У) - #4", #3 = #4,
##4 = g - к#4" + #4Ц(У) + #2". Гамильтониан представляется в форме Н = а-#2 + \2(к#2" + #2И(у) - #4") +
(2.14)
+ в-#4 + \4 (- g + к#4и + #4 ц(у) + #2" ) + 1. Преобразуем систему для сопряженных переменных:
\\\2 = - а- - к\2"(о - 2#2(#2\ + #4\)Н'(У) - \2й(У) - \"(0 , 1\\4 = - в- - к\4 И ( 0 - 2 #4 (#2\2 + #4\4 )Н'(У) - \ Н(У) + \ " ( ^. Чтобы получить выражение для управления, условие экстремальности д Н
/- = Т- = \ (к#2 - #4) + \ (#2 + к#4) = 0
ди
продифференцируем по времени:
т! тт) = ^к\4 + gV2 - 2куц'(у)(\2#2 + \#4) -
ТАди) (2.15)
- к а-#2 - к в-#4 + а-#4 - в-#2 = 0.
В левую часть уравнения (2.15) управление не входит, поэтому дифференцируем дН/ди второй раз:
тИ Г^Н = А-И- - Б - 0.
сИ2 Гд и )
Таким образом, при А Ф 0 находим управление
И = Б-А-
где
В = 2gq2ц'(у)(у2^2 + ) + ц(у) + 2,?а— + (р^ - а^4)ц(у) -
- 2gkq4(27И''(У) + Зц'(у))(^2 + ^4) -8к^4(.2Уц(У) + И(У)) -
- 4к(у2ц'2(у) - у2ц(у)ц"(у) - уц(у)ц'(у))(у2q2 + ^4q4) -
- (а-q2 + е-q4)(2куц'(у) - кц(у)) - 2^кр-,
— 2 2 2 А = (к - 1 )8У4 + 2#ку2 - 4к (уц'(у) + у ц''(у))(у2q2 + ^4) -
— — 2 — —
- (а q2 + р q4)(к - 1) + 2ка q4 - 2кр q2.
Подставив а— и р— из (2.7), (2.8) в выражения для А— и находим А~(I) = 1 + к2 Ф 0,
В ( Т) = -2ку( I) ц' (у) + 28(к2 + 1) ^(1)
(2.16)
(2.17)
у(Т) ' (2.18)
-(Т) = - 2 ку( Т) ц-(у(Т))
У( Т) 1 + к2
2.3. Оптимальное управление. Ищем траекторию, которая обеспечивает достижение конечной точки за минимальное время, при этом скорость нигде не обращается в нуль кроме начальной точки, а время прохождения каждой конкретной точки траектории является минимальным для этой точки. Согласно [2], оптимальное для такой траектории управление во время всего движения задается следующими выражениями:
и = ^ + {0, если и * 0, (2.19)
У [-О, если и < 0,
О = 2кУц'(У). (2.20)
1 + к2
Сюда следует добавить случай и = 0, который рассмотрим ниже.
Из вида оптимального управления (2.19), учи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.