ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2010, № 5, с. 41-52
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.1
БРАХИСТОХРОНА С ТРЕНИЕМ*
© 2010 г. Ю. Ф. Голубев
Москва, ИПМим. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 29.03.20 г., после доработки 05.05.10 г.
Решена задача о брахистохроне при действии сухого и вязкого линейного трения. С этой целью она представлена как задача о выборе оптимальной по быстродействию нормальной составляющей (управление) реакции опорной кривой, форма которой подлежит определению. Применен метод Охоцимского—Понтрягина исследования дифференциала функционала. Найдены необходимые условия оптимальности, которые при отсутствии трения дают решение классической задачи о брахистохроне, а при наличии трения — соответствующие оптимальные кривые. Аналитически найдены параметрические формулы для брахистохрон при действии сухого и вязкого трения. Исследованы их свойства. Установлены области достижимости. Для некоторых значений коэффициентов трения представлены результаты расчетов, показывающие форму найденных брахистохрон и оптимальное время движения.
Введение. Классическая постановка задачи о брахистохроне и ее первое решение принадлежат И. Бернулли. В 1697 г. он предложил в качестве соревнования геометрам задачу о кривой наискорейшего спуска. Задача была сформулирована следующим образом. Из некоторой точки О отпущено тело (материальная точка) без начальной скорости; требуется найти, по какой кривой оно должно двигаться, чтобы под действием силы тяжести прибыть наискорейшим образом в некоторую другую заданную точку Б.
Через несколько месяцев почти одновременно было получено четыре решения задачи. Авторами их были: Г. Лейбниц, Я. Бернулли, Г. Лопиталь и И. Ньютон. Все эти решения одинаково приводили к результату, что линия наискорейшего спуска есть выпуклая вниз циклоида с горизонтальным основанием, наивысшая точка которой находится в верхней из данных двух точек. Задача о брахистохроне привела к понятию функционала и положила начало изобретению вариационного исчисления. В настоящее время для ее решения чаще всего используется условие оптимальности, найденное Лагранжем и Эйлером [1].
Следует отметить, что формулировка и традиционное решение задачи о брахистохроне содержат предположение о потенциальном характере сил, действующих на точку. Если силы не потенциальны, то постановка и решение этой задачи в классическом варианте встречает затруднения, связанные с тем, что скорость движения точки будет зависеть не только от ее положения в пространстве, но и от пройденного пути по траектории. В [2—4] изучены различные подходы и реше-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00160).
ния задачи о брахистохроне с сухим трением. В [3] идея решения близка к применяемой в данной работе. В [5] авторы предложили метод исследования для задач о брахистохроне с сухим, нелинейным по силе нормального давления трением и о брахистохроне с вязким нелинейным по скорости трением. В перечисленных работах существенно применялась техника варьирования связей, что приводило к громоздким алгебраическим выражениям, затрудняющим анализ свойств движения. В [6] исследуется классическая задача о брахистохроне в предположении, что движущимся объектом является не материальная точка, а диск.
В предлагаемой статье задача о брахистохроне решается в предположении, что на материальную точку помимо силы тяжести действуют силы сухого и вязкого линейного трения. Поскольку в классической постановке считается, что точка не имеет начальной скорости, ее движение принимается плоскопараллельным в вертикальной плоскости, проходящей через две заданные точки в пространстве. Задача переформулирована в терминах теории управления, а в качестве управления выбрана нормальная составляющая реакции опорной кривой [7]. Это дало возможность получить необходимые условия оптимальности, полностью их исследовать, аналитически получить уравнения брахистохрон в параметрической форме, найти области достижимости и время движения, сформулировать численную процедуру расчета оптимальных траекторий и для некоторых конкретных значений коэффициентов трения продемонстрировать их вид.
1. Постановка задачи. Плоскопараллельное движение материальной точки массы т по кривой в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, вязкого и сухого трения можно опи-
сать следующей системой дифференциальных уравнений [7, 8]:
х — ^хх кх
до
N
т4х2 + ¿2 2 + ¿2'
г — -% - цг - кг
N1
^л/х2 + ¿2
: + X-
N
(1.1)
тГх2 + г:2'
где х — горизонтальная, г — вертикальная координаты точки, ц — коэффициент вязкого трения, к — коэффициент сухого трения, N — реакция опоры, зависящая от формы кривой, по которой точка вынуждена двигаться, g — ускорение силы тяжести. Определив требуемым образом реакцию N, можно найти и кривую, по которой точка будет двигаться. Обозначив
N
« = —т=-=, 41 = х, 42 = х,
т/ х2 + г2 (1.2)
4з = г, 44 = г, приведем уравнения движения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
(1.3)
(1.4)
41 = 42, 4з = 44,
42 = -42(\х + Щ) - 44«, 44 = -g - 44(и + к|«|) + 42«. Пусть I — время. Зададим при I = 0 начальные условия, а при I = Т — конечные условия
41(0) = 0, 4з(0) = Н, 42(0) = 44(0) = 0,
41(Т) = а, 4з(Т) = к, Н > к
Величины 42(Т), 44(Т) не заданы. В качестве функционала выступает время движения
Т
Ф= 11 сН. (1.5)
0
В данной постановке и служит управлением. Требуется найти управление и(-) е С1, доставляющее минимум функционалу Ф, и соответствующие этому управлению оптимальные траектории.
2. Необходимые условия оптимальности. Составим дифференциал функционала (1.5), воспользовавшись методом Охоцимского—Понтрягина [7, 9]. Гамильтониан задачи имеет вид
Ж = 1 + у 142 - V 2 [42 (^ + к«|) + 44«] +
+ V344 - V4^ + 44(и + к|и|) - 42«],
где сопряженные переменные у {, / = 1,..., 4, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
V1 = 0
V2 = -у1 + V2(ц + к«|) - V4«,
V 3 = 0,
V 4 = -у3 + V + к«|) + V 2« и условиям трансверсальности
(2.1)
(2.2)
уТ = а, у 2(Т) = 0, уз(Т) = р, у 4(Т) = 0,
(2.3)
1 + а42(Т) + р 44(Т) = 0. Здесь а и р — произвольные постоянные и
2 2
42(Т) + 44(Т) Ф 0. Дифференциал функционала (1.5) с учетом особенности при и = 0 выражается формулой [9]
Т
сСФ = |{у4 [42 - к44(2ф) - 1)] -
- V 2[44 + к42 (2ст(«) - 1)]} дudt,
где
<(«) =
1, « > 0,
[0, « < 0,
8и — изохронная вариация управления. Поскольку область допустимых значений и открыта, имеем условие экстремальности
/(42,44, V2, V4) = V4[42 - к44(2а(ы) - 1)] -- V2[44 + к42(2ч(ы) - 1)] = 0 на оптимальной кривой.
2.1. Пусть и > 0. Условие экстремальности принимает вид
/ + = ¥4(42 - к44) - ¥2(44 + к42) = 0. Функция /+ управления не содержит. Следовательно, равенство /+ = 0 должно выполняться тождественно на решениях гамильтоновой системы уравнений, объединяющей (1.3) и (2.2):
дЖ
ду/ т' д4{ Следуя [8] и воспользовавшись системами уравнений (1.3) и (2.2), найдем, что при и > 0 должно быть
_ с/+ _
41 = ■
(2.4)
Г _1 _ У
I = 2, 4
/ дЖ _д/_ дЖ \_dQi дцI дцI %] (2.5)
_ (а + кв)44 _ (в _ ка)42 + (кц4 + ц2)g = 0. Поскольку и в это равенство управление и не входит, выполним повторное дифференцирование в силу гамильтоновой системы уравнений
а
= А « + В + = 0,
(2.6)
А + = (а + кр)42 + (р - ка)44 + + ^2к(у2 + ку4) - (у 4 - ку2)], (2.7)
В+ = -2g[а + кр - ц(у2 + ку4)]. 2.2. Пусть и < 0. Условие экстремальности принимает вид
/- = ¥4(42 + к44) - ¥2(44 - к42) = 0. Левая часть этого уравнения не содержит и. С учетом (1.3) и (2.2) и того, что и < 0, найдем
0
f = = dt
(2.8)
= (а - кв^4 - (в + ка)#2 + 2 - ку4) = 0. Как и следовало ожидать, и в эту левую часть управление не входит. Повторное дифференцирование дает
djT dt
= Au + B = 0,
(2.9)
а =
ß = -
kq2(T) sign u - q2(T) qliT) + q42(T) ' kq2(T) sign u + q4(T) q2(T) + q2(T) '
(2.11)
Отсюда
в+(t) = в (T) = 2gq2(T)(1 + k),
q22 (T) + ql(T) A+(T) = A (T) = -(1 + k2), u(T) = 22gq2(T) , N(T) = 2mgq2(T)
(2.12)
ql(T) + ql(T)
^¡(T) + q42(T)'
3.1. Пусть и > 0. Если условие (2.6) выполнено, то система уравнений (2.4) имеет пять первых интегралов:
(3.1)
где коэффициенты A и B~ с учетом (2.8) имеют вид
A- = (а - kp)q2 + (в + ka)q4 -- g[2k(y 2 - ky 4) + (у 4 + ky 2)], (2.10)
B- = -2g[a - kp - 2 - ky 4)].
Схема поиска оптимального управления состоит в следующем. Задаются значения скоростей q2(T) и q4(T). При t = Тусловия (2.3), (2.5) или (2.8) образуют систему линейных уравнений относительно а и р
aq2(T) + рq4(T) = -1, (a + kp sign u)q4(T) -- (p - ka sign u)q2(T) = 0.
Решением ее служат
Vi = a, уз = p,
^ = 1 + aq2 - у2q2^ + Pq4 - v4(g + q4^) = 0, q2(v 4 - ky 2) - q4(v 2 + ky 4) = 0,
(a + kp)q4 - (P - ka)q2 + (ky 4 + у2)g = 0. 3.1.1. Вертикальное падение (u = 0). Положим q2(t) = q2(T) = 0. Равенства (2.11) и (3.1) примут вид
k
ß = -
1
a
q4(T) q4(T)
^ = 1 + Pq4 - ¥4(g + q4^) = 0, q4(y2 + ky4) = 0,
(ky 4 + ¥ 2)g = 0.
Отсюда ясно, что должно быть у 2 = -ky 4. Из (2.7) найдем
A+ = -(1 + k2)
q2
+ 2
в+ = 0.
Пусть q4 > = ^/ц. Величина q* = g/ц есть скорость парашютирования. Из условия равенства нулю гамильтониана получим
W 2
1 - q2/q2(T) g + q2^ '
При q2(T) > 0 видим, что и(Т) > 0 и величина N(7) > > 0. При q2(T) < 0 имеем и(Т) < 0 и N(Т) < 0. И тот и другой случай означают, что нормальная составляющая реакции брахистохроны в конечный момент времени имеет положительную проекцию на вертикальную ось.
После того, как краевые условия равенствами (2.11) доопределены, системы уравнений (1.3) и (2.2) при условии и = —В/А, если А Ф 0, интегрируются в обратном времени до тех пор, пока скорость не окажется равной нулю. Полученная кривая и будет брахистохроной с сухим и вязким трением.
3. Анализ необходимых условий оптимальности.
Рассмотрим возможные случаи.
Видно, что у 4(Т) = 0, т.е. краевое условие удовлетворяется. Далее
А+ =-(1 + к2) + ^(Т) .
q4(T)(g + ^4)
Поэтому если q4 > q4(T) > то А+ Ф 0 во все время движения и оптимальное управление и = 0.
Пусть q4(T) = -ф. Тогда при q4 = q4(T) величина у 4 не может быть найдена из условия равенства нулю гамильтониана. Вместе с тем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.