РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 4, с. 375-386
ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА
УДК 533:537
БРИЛЛЮЭНОВСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОТОКИ В НЕОДНОРОДНЫХ ВНЕШНИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
© 2014 г. В. А. Сыровой
Всероссийский электротехнический институт, Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 12 Поступила в редакцию 06.05.2013 г.
Для осесимметричных нерелятивистских течений с одной отличной от нуля азимутальной компонентой скорости и течений в ^-направлении получены новые точные решения в специальных и элементарных функциях.
БО1: 10.7868/80033849414030127
ВВЕДЕНИЕ
Цель предлагаемой работы — исследование двумерных осесимметричных нерелятивистских потоков с одной отличной от нуля азимутальной компонентой скорости ^ и аналогичных потоков
с трансляционной симметрией и vz Ф 0 как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае. Обзор литературы по течениям бриллюэновского типа приведен в работе [1]. Как показано в [2], при обращении в нуль обобщенного импульса1 Р = VI + Аг = 0 решение уравнений пучка сводится к интегрированию одного уравнения для кова-риантной компоненты А 3 = ЯАЧ = А векторного потенциала:
д2 А + д2 А -1 дА = 0 дЯ2 дг2 Я дЯ .
(1)
Бриллюэновские течения заставляют вспомнить о теории однокомпонентных потоков, обсуждаемой в [3]. В этой теории, однако, не предполагалось наличие магнитного поля. В работе [3] показано, что главными достижениями теории однокомпонентных пучков являются идея о введении системы координат, связанной с геометрией течения (хотя она ошибочно и предполагалась ортогональной), а также построение решения, описывающего эмиссию в р-режиме с плоскости по траекториям-окружностям [4].
При исследовании точных решений интересно выяснить их отношение к групповым свойствам уравнений пучка. В работе [5] показано, что большая часть известных решений представляет собой решения, инвариантные относительно групп преобразований, сохраняющих исходные уравнения.
1 Все последующие соотношения записаны в нормировках,
исключающих физические постоянные используемой системы единиц.
Там же перечислены решения, не имеющие, по-видимому, отношения к этим свойствам. Вновь полученные решения, за исключением двух случаев, не являются инвариантными.
При задании компонент магнитного поля Н'ге (и), НЯе (и) на кривой с параметрическими уравнениями
г = ^е (и) , Я = Яе (и)
(2)
решение уравнения (1) в криволинейной ортогональной системе и, V:
г +/Я = 2е + 1Яе (м>), w = и + V, в + /а = Ze (н>) + Я (н>)
(3)
может быть представлено в виде интеграла, содержащего аналитическое продолжение условий Коши Ае (и), Ат (и) = (дА/д V)е и функций, определяющих геометрию границы (2), а также гипергеометрическую функцию Гаусса Ш с комплексным аргументом X [6]:
А (и, V) = Яе 1 3
Я
1/2
¿е И + I ("Я
1/2
а--вА е
x В |-±,—; 1;хе) +
2 2 ) 8ЯеЯ
3Ае
2
Я2 - Я22 + (2е - г)
2Яе
ве +
+ (е - г)ае)В(2,2;2;Xе)
(4)
X е =-
(Яе - Я)2 + ( - 1 )2
4ЯеЯ
w
= и + /V, С, = и + /£,, Ае = |Яе (аНг - рНЯ )ейи,
Ае = Яе (вНг +аНЯ )е .
V
Индексом e отмечены функции на кривой V = 0 из (3); все функции с этим индексом зависят от ^ = и + .
Если магнитное поле Не задано на оси симметрии, то векторный потенциал A определяется выражением
A =
JVR2 - а2 Re He (z + ta) da.
(5)
z + tR = f (w), w = u + tV; h- = h2 = h2, h3 = R.
Учитывая закон преобразования плоского лапласиана в (1) и формулы для ЗА/ дЯ:
д2 А + д2 А _ ± (З^А + д2А ЗЯ2 дт2 Н2 \ди2 дv2
дА _ за Зи + За Зх
ЗЯ ~ ди ЗЯ дхЗЯ'
ди _ ЗЯ Зх _ 1. ЗЯ
ЗЯ Н2 ди' дЯ Н2 дх'
н2 _ (ЗЯ)2 + (ЗЯ)2 _ (ЗЯ)2 + ((2
Решение (4) выглядит достаточно сложным, особенно при расчете параметров потока, и может иметь смысл только в некоторой окрестности кривой (2), что связано с конструктивной невозможностью построения конформного отображения внешности произвольной кривой на какую-либо каноническую область. Попробуем найти более простые решения уравнения (1), сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое может иметь решение в специальных или элементарных функциях.
Мы не ставим перед собой цель построения общего решения уравнения (1) методом разделения переменных и не будем формулировать краевые задачи, интерес к которым с точки зрения физики представляется сомнительным. Наша задача состоит в поиске частных решений с учетом того обстоятельства, что решения линейного уравнения (1) одновременно являются решениями нелинейной системы уравнений пучка для азимутальных течений бриллюэновского типа. Из сказанного следует, что интерес представляют не только решения с мультипликативным, но и с аддитивным разделением переменных, которое оказывается возможным в тех же криволинейных системах.
Решения в специальных, а особенно в элементарных, функциях представляют собой ценные эталоны при тестировании приближенных и численных моделей.
1. КРИВОЛИНЕИНЫЕ СИСТЕМЫ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ
Мультипликативное разделение. Рассмотрим в меридиональной плоскости г, R криволинейные системы и, V с коэффициентами Ляме Нк и конформной метрикой:
(7)
\ди! \дх \ди! \ди, дЯ _ ЗЯ _ дт
ди дх дх ди в координатах и, V получаем
д2А + д2А _ \ дЯ дА _ 1 дЯ дА = 0 (8)
ди2 дv2 Я ди ди Я дv дv .
Для мультипликативного разделения переменных в (8) этим же свойством должна обладать функция Я (и, V):
Я (и^) = и (и)¥ (V)' (9)
которая в силу (6) является гармонической функцией (и, V):
3-Я + 3-Я = о
du2 dv2
В результате для функций U, Vимеем
(10)
U" - a2U = 0, V" + a2V = 0, a = const, (11)
где штрихи означают производные по соответствующему аргументу. Рассмотрим возможные комбинации решений уравнений (11). Вариант
a = 0, U = и, V = 1, к2 = 1 (12)
соответствует цилиндрической системе г, R. При a = 0, U = и, V = v (13)
получаем параболические координаты
= uv,
z + iR = - w2, z = -(u2 - v2), R 2 2V !
h2 = u2 + v2, u2 =Vz2 + R2 + z = 2rcos2-, (14)
2
(6)
2 I 2 ' ^2 ~ .2 0 v = Vz + Я - z = 2r sin -,
2
где r, 0 — сферические координаты, к которым приводит комбинация
a = 1, U = exp (u), V = sin v;
z + iR = lnw, z = exp(u)cosv, Я = exp(u)sinv,(15)
h2 = exp (2u), u = ln r, v = 0.
R
0
(16)
Полагая a = i, приходим к двум вариантам: U = sin u, V = shv; U = sin u, V = chv.
В первом случае имеем z + iR = cos(u - iv), z = cos uchv, R = sinushv, h2 = sin2u + sh2v, D = 1 (z2 + R2 -1), (17)
sin2u = VD27R2 - d, sh2v = VD27R2 + d.
Второй вариант описывается формулами z + iR = ¿sin(u - iv), z = cosushv, R = sinuchv, h2 = cos2u + sh2v, (18)
cos2u = 4D2+z2 - D, sh2v = VD2 + z2 + D.
Приведенные в [7] системы координат с осевой симметрией, в которых разделяются переменные в уравнении Лапласа, могут быть получены из систем (6)—(18) с конформной метрикой. Например, формулы (17), (18) соответствуют вытянутым и сплющенным сфероидальным координатам £,2, 2,3. Последние получаются из u,v, у
2
при преобразованиях перемаркировки :
= dshv, 2,2 = cosu, = cosy;
v = arshd), u = arccos£,2, y = arccos%3; (19)
z + iR = id sin (u - iv),
искажающих конформность метрики. Константа d при этом может быть обращена в единицу, что эквивалентно изменению масштабов по осям г, R в d раз.
Бисферические и тороидальные координаты получаются в результате вращения вокруг оси г системы u,v с конформной метрикой и переходов, аналогичных (19).
В первом случае имеем
v + i (п + u) 2
5i = sign(l + R2 -z2), S2 = sign(1 + z);
(' + R2)
z2-I
cos u = -S'
chv =
(1+R2)
4R 2z2
z2 +
lz2 - (1 + R2)]2
2 2
4R Zz
Тороидальные координаты определяются соотношениями
v - i (п + u) 2
z + iR = iath
a sin u chv - cos u
h2 =
R =
ashv
chv - cos u
(chv - cos u)
u = -
S2 (1 - S1) + 1 2
n + arctg
2rcos 6
1 2 , 1 - r
v = 1ln ( + R)2 + z2.
(21)
2 (1 - R)2 + z2'
1
S1 = sign1 - r 2, S2 = signz;
1 - R2
cos u = -s
2
1 - r
chv =
1 - r2) + 4z2 1 + r2
z = ■
z + iR = ath
ashv chv - cos u
h2 =•
(20)
(1 - г2)2 + 4г2
Константы а, как и в (19), могут быть приняты равными единице.
В плоском случае вместо (20), (21) получаем биполярные координаты
х + /у = лъ (^),
X = ■
a shv
R =
a sin u chv - cos u
chv + cos u h2 =
, У =
a sinu
chv + cos u
(chv + cos u)
u =
S2 С - S1) _ 1 2
(chv - cos u) n + arctg
R = a
sh
2Rz
2v + sin2u, v = arctg sin u
2
z _
(1+R2)
chv + cos u
u = arth
shv
(22)
1, (1 + z)2 + R2
v = - ln^---
2ax
\
2 , 2 , 2 a + x + y у
(1 _ z2) + R2'
' Маркировка координатных поверхностей на рисунках в [7] проведена для координат и, V.
V = аг^| 2 2у-2
у а - х - у
а системы (12), (14), (15), (17) переходят в системы на декартовой плоскости (х, у) при замене
2
a
2
a
2
a
2
г ^ х, R ^ у, превращаясь в декартову, параболическую, полярную и эллиптическую системы с Н3 = 1.
В постановке [8] о системах координат с разделяющимися для одночастичного уравнения Шредингера переменными коэффициенты Ляме произвольной ортогональной системы должны были удовлетворять условиям евклидовости пространства (шесть тождеств Ляме). Для осе-симметричных систем (6) единственное нетривиальное тождество
д2 lnh2 + д2 ln h2 _ о
3u2 dv2
(23)
Ф
= Vchv - cos u Ф.
(24)
Для векторного потенциала необходимо выполнить другой переход:
A =
Ф
Vch v - cos u
(25)
Линейность уравнения (1) позволяет рассматривать для образующих векторный потенциал функций комплексные решения:
А = и(и)У(V)' и = и1 + Ю2, V = V + 1У2. (26)
Физический смысл при этом имеют действительная и мнимая части произведения ЦУ:
A = U- (u)V- (v) - U2 (u)V2 (v), A = U- (u)V2 (v) + U2 (u)V- (v).
(27)
Если обе функции Ц, V комплексные, то решение (27) имеет новую структуру. Примеры подобного рода приведены ниже для сферических, сфероидальных, бисферических и тороидальных координат.
Аддитивное разделение. Аддитивное разделение переменных в уравнении (8) возможно при
ln R = U (u) + V (v).
(28)
Из проведенного рассмотрения видно, что это свойство на основании (9) имеет место в тех же системах, которые допускают мультипликативное разделение переменных.
Параметры потока. В цилиндрической системе г, R параметры потока определены соотношениями
A R'
2ф :
1
Р =
R2
Hr =-
H =
Al
R2'
.Af A
dR L R
1 dA
(29)
(дА )2 (дА" Ш/ [дг,
1 д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.