УДК 52-17::521.182::523.44
БЫСТРОЕ ЧИСЛЕННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СТОЛКНОВЕНИЯ АСТЕРОИДА С ПЛАНЕТОЙ
© 2014 г. В. А. Авдюшев, Т. Ю. Галушина
НИИ Прикладной математики и механики Томского госуниверситета, Томск e-mail: sch@niipmm.tsu.ru; scharmn@mail.ru
Поступила в редакцию 17.12.2012 г.
После исправления 14.10.2013 г.
В работе предлагается численный метод быстрого оценивания вероятности столкновения астероида с планетой. Метод основан на линейных отображениях начального облака виртуальных астероидов относительно столкновительной орбиты на моменты ожидаемого сближения астероида с планетой и регистрировании столкновений виртуальных объектов с массивным телом. Между тем обычно задача оценивания вероятностей столкновения решается путем численного моделирования эволюции облака неопределенности на основе пошагового интегрирования виртуальных орбит, что естественно сопряжено с колоссальными затратами процессорного времени. Предлагаемый метод тестируется на примере астероидов 2011 AG5 и 2007 VK184, которые на данный момент находятся в списке наиболее опасных объектов, и по Туринской (десятибалльной) шкале имеют пока наивысшую единичную оценку. В результате тестирования показано, что линейные отображения позволяют получать оценки вероятностей на несколько порядков быстрее, нежели при численном интегрировании виртуальных орбит.
DOI: 10.7868/S0320930X1404001X
ВВЕДЕНИЕ
Наблюдения любого астероида, как бы тщательно они не выполнялись, обременены ошибками различного происхождения, неустранимыми в силу их случайности. При определении орбиты они неизбежно передаются параметрам принятой орбитальной модели, а затем параметрические ошибки — моделируемым положениям объекта. Как же тогда оценить эту блуждающую неопределенность от наблюдений к моделируемым положениям?
Если ошибки наблюдений — случайные, следовательно, и моделируемые положения астероида становятся случайными, поэтому оценивание неопределенностей в орбитальном движении фактически сводится к исследованию вероятностной орбитальной эволюции. В этом случае уже нельзя точно определить положение астероида в пространстве, однако, тем не менее, оказывается возможным по крайней мере оценить вероятность пребывания объекта в некотором заданном объеме пространства. Именно по этой причине никогда невозможно с уверенностью и однозначно утверждать, столкнется ли с Землей приближающийся к ней астероид или нет; об этом можно говорить только с привлечением вероятностных оценок.
Численное оценивание вероятности столкновения астероида с планетой основано на стати-
1
стическом и динамическом моделировании . Применяя методы регрессионного анализа, из наблюдений определяют орбитальные параметры астероида, составляют ковариационную матрицу параметрических ошибок и статистическими методами формируют облако виртуальных динамических состояний астероида в фазовом пространстве орбитальных параметров (АуёушИеу, 2011). Затем, используя орбитальную модель астероида, облако отображают в физическое пространство на заданный интервал времени, когда ожидается тесное сближение астероида, и регистрируют попадания виртуальных астероидов в тело планеты. Число попавших виртуальных астероидов за одно сближение к общему числу дает оценку вероятности столкновения астероида с планетой. Очевидно, чем больше виртуальных астероидов, тем точнее оценка вероятности.
Отображение облака неопределенности на основе численного моделирования орбитального движения с необходимостью предполагает численное интегрирование орбиты каждого виртуального астероида, что требует значительных затрат процессорного времени, в особенности если
1 См., например, (МПаш и др., 2000).
сближение астероида ожидается в неблизком будущем. К тому же размеры планеты-мишени, как правило, чрезвычайно малы в сравнении с протяженностью моделируемого облака неопределенности в физическом пространстве, что, разумеется, сопряжено с малыми вероятностями столкновения астероида с планетой. Следовательно, вычисление таких вероятностей должно быть чрезвычайно трудоемким, поскольку оно фактически выполнимо лишь при наличии весьма большого количества виртуальных астероидов.
Эти проблемы решались бы весьма просто, если бы модель движения была линейной (либо по крайней мере почти линейной). Тогда было бы возможным использовать линейные (аналитические) оценки регрессионного анализа без статистического и динамического моделирования огромного количества орбит виртуальных астероидов. К сожалению, все орбитальные модели астероидов, тесно сближающихся с планетами, сильно нелинейны, причем существенное проявление нелинейности возникает при каждом тесном сближении с массивным небесным телом, когда облако неопределенности может быть буквально разорвано на части. Таким образом, статистического моделирования точно не избежать. Однако можно ли избежать численного интегрирования виртуальных орбит? Ведь именно на численное интегрирование, собственно, и тратится колоссальное количество процессорного времени, и только лишь для того чтобы из миллионного роя виртуальных объектов "поймать" несколько. Однако "ловить" надо, поскольку даже кажущаяся малой вероятность порядка один на миллион весьма значительна для такого явления, как столкновение астероида с планетой, а в особенности с Землей.
МЕТОД
Вследствие слабого приливного эффекта (до первого сближения астероида с планетой) облако неопределенности, каким бы оно ни было малым и как бы ни было ориентировано вначале, постепенно увеличивается, вытягиваясь вдоль орбиты, и от эллипсоидального превращается в бананооб-разное. Такая характерная трансформация облака может быть также интерпретирована как следствие ляпуновской неустойчивости и одновременно орбитальной устойчивости астероидного движения. Вблизи начальной эпохи ?0, когда облако неопределенности еще подобно эллипсоиду, оно достаточно хорошо описывается ковариационной мат-
рицей C p для текущего вектора динамического состояния p = p(t, q) на момент времени t:
cp =
dp dq
Cq ^
,q q dq
t,q
получаемой путем временного переноса ковариационной матрицы Сч для начального вектора динамического состояния (} на момент времени ^ посредством матрицы перехода др/^. Здесь (номинальный) вектор (} и ковариационная матрица Сч определяются из наблюдений, а динамическое состояние астероида задается его положением х и
скоростью х, т.е. р = (х, х)т и q = (х0, х0)т. Элементы матрицы перехода — это фактически изохронные производные, которые используются при определении орбит. В этом случае для формирования облака неопределенности р на текущий момент времени I вполне можно использовать линейное преобразование
- dp p = P
dq
(q - q),
(1)
t,q
где q — вектор виртуального динамического состояния на начальный момент времени ?0.
Вообще говоря, как бы сильна ни была нелинейность и как бы существенно ни трансформировалось облако неопределенности, вблизи номинального положения р линейное преобразование (1) достаточно хорошо описывает распределение виртуальных астероидов, и чем ближе к номинальному положению, тем лучше. Следовательно, если бы номинальная орбита была столкновительной, то линейное преобразование (1) можно было бы применить для отображения начального облака неопределенности на моменты сближения с планетой и для сопутствующего выявления других соседних столкновительных орбит с целью оценивания вероятности столкновения астероида с массивным телом. Совершенно неважно, что будет происходить на периферии линейно и нелинейно отображенных облаков неопределенности. Важно, чтобы в малой окрестности планеты-мишени облака хорошо согласовались. Даже если при сближении из-за сильной нелинейности, формально вызванной сингулярностью внутри планеты, согласованность слабая, можно прибегнуть к двойному последовательному временному отображению (Авдюшев, 2012): в преддверии сближения с планетой, за несколько часов до минимального планетоцентрического расстояния номинального астероида, сначала выполнить линейное отображение (1), а затем — нелинейное, основанное на формулах задачи двух тел, планета—астероид.
Как видно, такой подход позволяет избежать численного интегрирования виртуальных орбит. Однако это только в том случае, если номинальная орбита столкновительная, что, вообще говоря, исключительная редкость. Следовательно, в ином случае нужно найти из множества виртуальных орбит хотя бы одну столкновительную, относительно которой можно было бы сконструировать линейное отображение вида (1). Будем называть такую орбиту целевой.
Существуют различные способы поиска столк-новительных орбит (8кагзк1, 1999; МПат и др., 2002; Ивашкин, Стихно, 2008), однако в контексте поставленной задачи, на наш взгляд, было бы вполне уместным воспользоваться уже имеющимся у нас под рукой математическим инструментарием, вместо того чтобы прибегать к предлагаемым другими авторами.
Поиск целевой орбиты можно выполнять следующим образом (Авдюшев, 2012). Моделируем начальное облако виртуальных астероидов и отображаем его линейно на момент, когда номинальный астероид достигнет наименьшего расстояния до планеты. В данном случае номинальная орбита выступает в качестве нулевого приближения целевой орбиты. Затем из начального облака выбираем тот виртуальный астероид, который при сближении, согласно линейному отображению (1), обеспечивает минимальное плането-центрическое расстояние. Орбиту этого астероида принимаем за следующее приближение целевой орбиты. Теперь относительно нее строим линейное отображение, которое применяем к начальному облаку виртуальных астероидов, и так далее, пока на очередной итерации не получим ту же самую орбиту, как и на предыдущей итерации. Она и будет искомой целевой. Как показывает практика, для поиска целевой орбиты требуется всего лишь несколько итераций.
ТЕСТИРОВАНИЕ
Быстрые отображения были опробованы для двух астероидов: 2011 АС5 и 2007 УК184 (рис. 1; табл. 1), которые на данный момент возглавляют список наиболее опасных объектов (neo.jpl.nasa.gov), и по Туринской (десятибалльной) шкале имеют пока наивысшую единичную оценку. В табл. 1 для каждого астероида приведены позиционные орби
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.