АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 6, с. 920-925
^=ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА =
УДК 537.84:534.22
ЧАСТОТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ
© 2008 г. С. Одинаев, К. Комилов
Таджикский государственный национальный университет 734025 Душанбе, пр. Рудаки 17
E-mail: k.komilov@mail.ru Поступила в редакцию 29.11.07 г.
На основе молекулярно-кинетической теории найдены частотно-зависимые выражения для скорости и коэффициента поглощения звука в магнитных жидкостях с учетом вклада структурной релаксации при наличии внешнего неоднородного магнитного поля. Исследовано их асимптотическое поведение как при низких, так и при высоких частотах. На примере магнитной жидкости, приготовленной на основе керосина и магнитных частиц магнетита Fe3O4, проведено численное исследование. Результаты численного расчета показывают, что частотная зависимость скорости и коэффициента поглощения звука в магнитной жидкости находится в удовлетворительном согласии со статическими экспериментальными данными.
PACS: 43.20.Hq
Известно, что структура магнитной жидкости (МЖ) существенно влияет на ее акустические свойства. Основные акустические свойства МЖ характеризуются температурной зависимостью скорости распространения звуковой волны, коэффициентом поглощения и дисперсией. Скорость распространения и коэффициент поглощения звуковых волн являются параметрами, которые непосредственно связаны со строением МЖ. Эти параметры исследуются в зависимости от различных физических условий: температуры, плотности, давления, концентрации, частоты, внешнего магнитного поля и др.
Частотные зависимости скорости и поглощения звука являются важнейшими характеристиками быстрых молекулярных процессов. Частотная зависимость скорости и коэффициент поглощения звуковых волн в МЖ выражаются посредством динамических модулей упругости и кинетических коэффициентов, которые, в свою очередь, зависят от внешнего воздействия.
Исследованию скорости распространения и коэффициента поглощения звуковых волн в МЖ посвящено большое количество работ [1-5]. Однако вопрос о зависимости скорости и коэффициента поглощения звука от внешнего магнитного поля остается не совсем ясным.
Поэтому представляет интерес исследовать частотную зависимость скорости распространения и коэффициента поглощения звуковых волн в МЖ под воздействием внешнего неоднородного
магнитного поля с единой микроскопической точки зрения, с учетом вклада структурной релаксации, что и явилось целью настоящей работы.
Исходим из системы линеаризованных уравнений обобщенной гидродинамики при наличии внешнего неоднородного магнитного поля [6], которые были получены на основе молекулярно-кинетической теории. В представлении Фурье эти уравнения имеют вид:
р(ю, к) + гр0каиа(ю, к) = 0,
р0ю2иа(ю, к) + г'кваав(ю, к) = 0, р0юСгТ(ю, к) + IюТ0(др/дТ)ркаыа(ю, к) -
- ка Аю, к) = 0,
где аав(ю, к) = Щю)(ки(ю, к))5ав + 2г'Д (ю){квиа(ю, к)}
- тензор напряжения, 5а(ю, к) = Ю X (ю)каТ(ю, к)х -
вектор потока тепла, р(ю, к), Т(ю, к), и(ю, к) - Фурье-компоненты флуктуации плотности, температуры и вектора смещения, р0 - равновесная плотность МЖ, Т0 - равновесная температура, С^, -
теплоемкость при постоянном объеме, К (ю),
Д (ю) и X (ю) - комплексные динамические объ-
П*(ю) =
емные, сдвиговые и термические модули упруго сти, которые определяются выражениями:
nkTXi 27cnVr.,...3 í1Ф 5 д?
K(ю) = K(ю) - iюп.(ю); д (ю) = д(ю) - ifflns (ю); Z(ю) = Z(a) - iю^(ю),
(2)
K (ю) = Ks +
2 3
2 п n а ю г , з ¿Ф
Jdr^ír JG2(r, ri, ю)х
(3)
x
JdH \ so
Ф(r,) (MV )f ¡JJ jpT f dirk.
d r,,
Д(ю) =
+
1 + (ют,)
r
xJG2(r, r,, ю)|g?r
15
drr^ —— x J dr
пкТ(ют, )2 2nn2 а3^^.. „з ¿Ф 5 До
(M V
p, т
d r,,
) 5 f к^ To(ют?)2 4пn3а3ю x
Z(ю) = 2Pf ^ 7~(—)2--3— x
2 \mj i + (ют0) 3
Jr,(r)r2drj62(r, r,, ю)A,(r,)r,dr,
+
о
r)r2drj02(r, r,, ю)A2(r,)r,dr,
+
о
2V Я «' | "2
I
23
4пп а д?ю
(5)
+ —-г--— ms\V H Jr,( r)
9P
r2 dr x
о
xj02(r, r,, ю)
23
п. (ю) = -
2nn а
dgo(r, )Л 2 ,
-it-J z1 dr„
Jdrr3—JG,(r, r,, ю) x
d r,,
(6)
«-)+Ц? ( m—)f iH )p, t (S r,
, + (ют,) dg
,5
drr3-;- x J dr
xJ G, (r, r,, ю) -g- r
(7)
( mv )f Ш)
p, T
d r,,
где К(ю), |(ю) и Z(ю) представляют собой динамические объемные, сдвиговые и термические модули упругости; ^(ю), П*(ю) - динамические коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости; ^(ю) - динамический коэффициент теплопроводности МЖ, ю - частота процесса, к - волновой вектор. Аналитические выражения модулей упругости и кинетических коэффициентов вязкости, а также теплопроводности получены в [6, 7] и имеют вид:
=2 pf m),
т ?т
о2
.222 4 п п а
x
+ (ют2) 3 Jr, (r) r2 dr J в, (r, r,, ю) A, (r,) r, dr,
о
+ Jr2(r)r2drJe,(r, r,, ю)A2(r,)r,dr,
о
+
(8)
. 2 2 3 ~
4п n а д? . г 2 +--т^----?Ms| VH J Ф, (r)r dr x
9P
о
x J в, (r, r,, ю)
dg?( r, ^ 2 , Tof-J „r,dr,,
где т, = m/2p, т2 = m/3P, т0 = Ра2/2кТ, а - диаметр (4) частицы, Р - коэффициент трения, Ks = n(dp/dn)T +
+ (T/nCv)(dp/dT)l - адиабатический модуль упругости, ф,, 2(r, r,, ю) = (ют0/2)1/2(г + r,), G, 2(r, r,, ю) = = ±(т0/2)(2ют0)1/2[(8т ф, - cos ф1)ехр(-ф1) - (sin ф2 + - cos ф2)ехр(-ф2)].
Уравнения (1) совместно с выражениями (2)-(8) образуют замкнутую систему уравнений обобщенной гидродинамики и позволяют исследовать коллективные колебания в МЖ как в высокочастотном, так и в гидродинамическом режиме.
Решения этих уравнений относительно Фурье-образа вектора смещения и(ю, k) дают следующие дисперсионные соотношения: а) для продольных волн:
4 ,
ю--
P?
Ks + 3 д (ю) + K г(ю) + C¿ Z (ю)
22 ю к +
_1 P0
+ ----- 2
ер едю) + 3 Д (ю) + K r (ю^ Z(o>)
б) для сдвиговых волн:
_1_ -2---p----
д(ю)к ,
(9) к4 = ?,
(10)
где К г (ю) = К (ю) - К - комплексный релаксационный объемный модуль упругости, Ср - теплоемкость при постоянном давлении, к - волновое
r
о
+
о
о
r
о
о
о
о
о
+
о
r
2
юs =
число. Эти соотношения полностью описывают спектр коллективных мод МЖ в широком диапазоне частот.
Решая уравнение (9) относительно ю, получим спектр двух продольных акустических мод и одной тепловой моды:
2 I „2 1 ю = 1 С0 + Р
311 (ю) + К (ю) +
(11)
+ (с;1- с')X(ю) [к2,
юТ = -С X (ю) к2. р Ср
(12)
С (ю) = С \ 1 +
■ х
2 Р0 С
3 1(ю) + Кг (ю) + X (ю)
(13)
а(ю) =
ю
2Р0С0
4 у -1л"
3 П (ю) + П; (ю) + -С_ Х(ю)
(14)
а) в гидродинамическом режиме ют < 1 (ю —- 0, к —► 0) получим следующие асимптотические выражения:
С = С0( 1 + ю3/2 Б),
а ю
3/2
ю
2р С
Б ,
Подставляя выражения (2) в уравнение (11), учитывая к = к0 - га и решая это уравнение относительно реальной и мнимой части к для скорости С(ю) и коэффициента поглощения а(ю) продольных волн в МЖ, получим следующие выражения:
где Б - поправка к скорости звука, обусловленная вкладом низкочастотных асимптотик модулей упругости, - поправка к коэффициенту поглощения звука на длину волны, обусловленная вкладом низкочастотных асимптотик кинетических коэффициентов, (а/ю)кл - классическое значение а/ю, выраженное через статические коэффициенты вязкости и теплопроводности;
б) в высокочастотном пределе, когда ют > 1 (ю —»- получим асимптотические выражения в следующем виде:
С--С--------С----2--------
С0
1
2 Р0 С
а
ю
31- + (К - - К*) + (у -1) С-1 X-
-1- + (К - - К,)
2Р0С
Как видно из этого выражения, величина
а
ю
Здесь С0 - адиабатическая скорость звука, у = = Ср/С; - отношение теплоемкостей.
Отметим, что (13) и (14) являются общими выражениями для скорости и коэффициента поглощения акустических волн в МЖ с учетом вклада процесса перестройки структуры жидкости в широком интервале плотности, концентрации, давления, температуры и внешнего неоднородного магнитного поля. Эти соотношения полностью описывают частотную зависимость скорости и коэффициента поглощения звука в широком диапазоне частот. Следует отметить, что частотные зависимости динамических коэффициентов и модулей упругости, входящих в выражения (13) и (14), определяются с помощью Фурье-образов фундаментальных решений уравнения Смолухов-ского для бинарной плотности и бинарного потока частиц в конфигурационном пространстве [6], которые в основном обусловлены вкладами структурных релаксационных процессов.
Анализируем асимптотическое поведение выражений (13) и (14) в двух предельных случаях:
высокочастотном режиме не зависит от частоты, что находится в соответствии со статическими экспериментальными результатами для простых жидкостей [8].
Выражения для высокочастотных модулей упругости д^, К^, полученные в [6, 7] имеют вид:
К
23
/- ч /1 ч 7 г 2 пп а с й (1 dФ\ , . 6 , Xю) = (1 + у)пкТ + -п-9-17гЬ-----]г йг
2 п п Д0
3Р
1-(ю) = пкТ +
(м—)(дн I I к ^)г) -.
й ( 4 йф
23
2пп а т0
15
510„,„ чО Н
1 (м—
р, Т-1
г й ( 4 йФ] , , ,
Ч 7г{Г Тг )§0(г)йг,
„ 5 (к]„ 4пп2а3 2- = 2р(т] 0+ 3 х
+
х
0
х
0
х
|ф1 (г) Л1( г) Г2 йг + |ф2 (г) Л2 (г) гйг
'-0
+
+ ■
4пп о3|оЫ„\ —Н\
где
9 в
Л1 ( Г!) =
]Ф1 (г)
дЯо(г )
э т
г2йг,
кт (Э & о ( г1 -р1 э т
Л2( г1) = -
2 кТ
Э (Э 1п&о(г1 ) Эг11 дТ
Ф( г,,) = ФН + Ф5( г„),
(15)
где ФН (и,) = -
кТН( иН) Н
параллельно вектору ориентации магнитного момента частиц и; Н = |0тН/кТ - параметр Ланжеве-на, т - величина магнитного момента частиц, г, = = гг - г- - вектор относительного смещения частиц г и-, фя(г) = 4е(г-12 - г-6) - потенциал Леннард-Джонса, где г = |г | = |г- |/о - безразмерное взаимное расстояние.
В сферически-симметричном случае, следуя [10], радиальную функцию распределения частиц выбираем в виде:
&(г, п, Т) = у(г, р *) ехр
Ф (г) кТ
(16)
Для более детального анализа частотной зависимости скорости и коэффициента поглощения звука в МЖ необходимо проведение численных расчетов. Для этой цели в выражениях (13) и (14) ограничиваемся членами, учитывающими только вязкоупругие свойства МЖ, то есть слагаемыми, характеризующими термоупругие свойства ^(ю) и Х(ю)) пренебрегаем. Численные расчеты требуют знания явного вида потенциала взаимодействия Ф(|г |) частиц, а также радиальной функции распределения &(|г|, п, Т), так как коэффициенты переноса п*, П V и модули упругости |(ю), К(ю) зависят от них. Выбор явного
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.