ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ ГАУССА - БОННЭ И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПОИСКА
С. О. Алексеев*, К. А. Ранну**
Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга 119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 9 сентября 2011 1".
Обсуждаются следствия моделей гравитации с поправками второго порядка по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ и возможности (или невозможности) их экспериментального поиска или наблюдений. Рассматривается полная версия решения «четырехмерная черная дыра Шварцшильда-Гаусса-Боннэ» и ограничение на возможную минимальную массу черной дыры, следующее из данной модели. Использование полученного решения в качестве модели последних стадий хокинговского испарения черных дыр с небольшой исходной массой (до 101'' г), время жизни которых сравнимо со временем жизни нашей Вселенной, позволило выявить различия в картинах испарения: получены большие значения излучаемой энергии и показана невозможность экспериментального поиска первичных черных дыр по продуктам их испарения. Также обсуждаются сценарии испарения черных дыр Гаусса-Боннэ в многомерных моделях гравитации и возможности их экспериментального поиска.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение................................. 464
2. Решения для случая четырехмерных не-вращающихся черных дыр............... 465
2.1. Базовые решения......................... 465
2.2. Новращающаяся незаряженная черная дыра Гаусса Боннэ............................. 466
2.2.1. Пертурбатнвные решения............... 466
2.2.2. Численные решения и структура метрики ......................................... 466
2.3. Новращающаяся заряженная черная дыра Гаусса Боннэ............................... 468
3. Ограничение на минимальную массу черной дыры в гравитации Гаусса — Боннэ.. 471
4. Испарение черных дыр Гаусса —Боннэ....
473
4.1. Закон испарения.......................... 473
4.2. Спектр и интенсивность испарения...... 474
5. Пост-ньютоновский формализм....... 476
E-mail: alexeyevü'sai.msu.ru E-mail: rannu'fflxrav.sai.msu.ru
6. Многомерные невращающиеся черные
дыры Гаусса — Боннэ....................... 477
6.1. Черные дыры в физике высоких энергий (несбывшиеся надежды)..................... 477
6.2. Температуры многомерных черных дыр . 478
6.3. Испарение черной дыры Шварцшильда Гаусса Боннэ............................... 478
6.4. Практическая возможность измерения струнной константы связи...................... 479
7. Многомерная черная дыра Керра —Гаусса—Боннэ ................................. 481
7.1. Вырожденный случай для любого числа дополнительных измерений................. 481
7.2. Пятимерное аналитическое решение..... 483
7.3. Термодинамические свойства решения ... 484
8. Выводы................................... 484
Литература................................ 485
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия теоретическая физика предложила целый ряд концепций для объединения всех взаимодействий. При этом с появлением новой модели встает вопрос об ее подтверждении [1 14]. Так как прямая экспериментальная проверка таких теорий, как, например, суперструны, невозможна, огромную роль играет поиск косвенных следствий, доступных для экспериментальной или наблюдательной проверки. В связи с этим приобретают большую роль новые типы решений и их анализ на самосогласованность, а именно: если теоретическая модель, претендующая на фундаментальность, хорошо описывает один класс явлений (например, космологические решения), то она также должна давать адекватные результаты и в смежных областях (в частности, в физике черных дыр).
Исследования влияния членов высших порядков по кривизне в четырехмерном случае начались с работ Ланцзоша [19] 1932 и 1938 гг. Далее, в 1958 г. Стивенсон [20] и вслед за ним в 1959 г. Хиггс1'' [21] рассмотрели действия, состоящие из квадратов скалярной кривизны, тензоров Риччи или Римана. В работе [21] было отмечено, что все лагранжианы инвариантны относительно преобразования Вейля. Он показал, что при наличии квадратов скалярной кривизны и тензора Риччи в лагранжиане, уравнения поля сводятся к уравнениям, аналогичным уравнениям Эйнштейна с космологической постоянной в новой метрике. Второй набор уравнений характеризует связь старой и новой метрик. Решив эти уравнения, можно найти функцию перехода (калибровочную функцию). Для случая квадрата тензора Римана такого преобразования найдено не было. Это была первая попытка расширить гравитацию с помощью метрических членов высших порядков по кривизне.
Важный шаг в поиске путей модификации действия общей теории относительности в произвольном числе измерений был сделан в 1971 г. благодаря работам Лавлока [22]. Он обобщил требования к действию для гравитации, являющемуся суммой членов высших порядков по кривизне. Эти требования формулируются следующим образом:
1. действие представляет собой сумму членов высших порядков по кривизне;
Здесь необходимо отметить, что в те годы еще не было прямой необходимости в модификации общей теории относительности, это были попытки просто «выйти за рамки» и посмотреть, что будет, если немного расширить геометрическую формулировку теории.
2. сохраняется общая ковариантность теории;
3. полевые уравнения являются уравнениями второго порядка.
При выполнении этих требований лагранжиан будет представлять собой сумму эйлеровых характеристик. Таким образом, наиболее общий вид лагранжиана, не создающего дополнительных нефизичных решений в гравитации, следующий [23]:
Ь = у^Ч) (В - 2Л + а'2$2 + О'зй'з + ...). (1)
Здесь д детерминант метрического тензора, В скалярная кривизна, Л космологическая постоянная, а, константы связи при соответствующих порядках, 5-2 эйлерова характеристика второго порядка, т.е. топологический инвариант член Гаусса Боннэ 5'ов, имеющий вид
5ов = 1!,щ 11"и - I//,;//"' + I!1. (2)
5'з эйлерова характеристика третьего порядка.
В последние десятилетия одним из популярных направлений теоретического анализа стало изучение новых физических явлений в четырехмерной теории, являющейся низкоэнергетическим эффективным пределом теории суперструн с поправками высших порядков по кривизне, имеющими, независимо от общей формы действия (1) вид2^
5 = — / + 2д„фд,1ф -
107Г ]
- р-'2^,^" + Хе-^Бов + ...]. (3)
Здесь ф дилатонное поле, Р1Л1,Р>11' электромагнитное (максвелловское) поле, а А константа связи теории струи. Именно четырехмерные решения этой теории будут обсуждаться нами в разд. 2 настоящей работы. Важность рассмотрения классических решений определяется тем фактом, что в областях пространства-времени с малой кривизной именно классическое решение дает основной вклад в общую структуру пространства-времени [15]. Конечно, в случае достаточно большой кривизны квантовые поправки могут существенно изменить свойства пространства.
Обычно рассмотрение ограничивается поправкой второго порядка по кривизне членом Гаусса Боннэ. В этом приближении был найден ряд интересных решений [4,16 18], описывающих области
Именно поэтому развитие теории сунерструи и ее низкоэнергетического эффективного предела возродило интерес к гравитации Лавлока.
вне и внутри черной дыры. При этом поведение решения внутри горизонта интересно, прежде всего, с точки зрения возможности построения общей квантовой теории гравитации. Конечно, в рамках теории относительности внутренняя область черной дыры для нас недоступна. Однако математическое продолжение решений под горизонт позволяет выявить граничные случаи с нетривиальной топологией, которые могут реализоваться и наблюдаться в нашей Вселенной. Именно рассмотрению возможности такого экспериментального поиска посвящена настоящая работа.
Работа построена следующим образом. В разд. 2 представлены существующие решения для случая четырехмерной новращающойся черной дыры. Раздел 3 посвящен поиску ограничения на минимальную массу черной дыры в гравитации Гаусса Боннэ, а разд. 4 рассмотрению модели испарения черных дыр Гаусса Боннэ и возможности их экспериментальной регистрации. В разд. 5 рассматриваются 1'1'Х параметры модели Гаусса Боннэ в рамках пост-ныотоновского формализма. Раздел 6 посвящен случаю многомерных новращающихся черных дыр, возможной связи с физикой высоких энергий и работающему ускорителю БАК, а разд. 7 случаю многомерных вращающихся черных дыр. В разд. 8 приведены выводы.
Везде, где это не оговорено особо, мы пользуемся системой единиц, в которой Н = с = 1.
2. РЕШЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ ЧЕРНЫХ ДЫР
2.1. Базовые решения
Одним из первых решений струнной гравитации с поправками в виде члена Янга Миллса, которое впоследствии послужило «базовым» для моделей с поправками по кривизне, является решение Гиббон-са Маоды Гарфинкла Горовица Стромингора (ГМ ГГС) [24]. Поскольку рассмотренное решение должно быть сферически-симметричным, была выбрана наиболее общая метрика (являющаяся основой для всего дальнейшего изложения):
(h2 = Д(г) dt
г (г)
dr"
Д(г
/(г)2 (dO2 + sin2 в(1ф
(4)
где метрические функции Д, / и <т зависят только от радиальной координаты г. Для тензора Максвелла выбран анзац вида
F = q sin в d9 A df,
где q магнитный заряд. Решение было получено аналитически:
ds1 = 1
2 М\
г J
dt"
2 М
г
dr"
охр(^2 ф) = охр(^2ф0)
М
Г
Mr"
íin, (5)
(6)
F = q sin в d9 A df,
(7)
где фд асимптотическое значение дилатонного поля на бесконечности. Решение с электрическим зарядом может быть получено путем поворота в пространстве зарядов.
Теории гравитации с поправками вида /(Д) представляют интересную альтернативу моделям с космологической постоянной (темной энергией). Ускоренное расширение Вселенной описывается с помощью таких комбинаций метрических членов, как, например, 1пД или 1/Д, имеющих геометрическую природу [25]. Поправки подобного рода (логарифмические или с отрицательными степенями) становятся существенными в тех областях, где значение кривизны мало. Разложения по положительным или отрицательным степеням кривизны (тензоров Риччи, Римана и их комбинаций) не противоречат современным астрофизическим данным или точным измерениям в нашей Солнечной системе. Необходимо также отметить, что модели с разложением по степеням кри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.