ПРИБОРЫ И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА, 2015, № 1, с. 122-133
ОБЩАЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ТЕХНИКА
УДК 621.317.331
ЧЕТЫРЕХЗОНДОВЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ОБРАЗЦОВ, ИМЕЮЩИХ ФОРМУ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
© 2015 г. Л. Б. Луганский, В. И. Цебро*
Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН Россия, 119334, Москва, ул. Косыгина, 2 * Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН Россия, 119991, Москва, Ленинский просп., 53 E-mail: lugansky@kapitza.ras.ru Поступила в редакцию 01.07.2013 г. После доработки 22.05.2014 г.
Рассмотрена задача об измерении удельного сопротивления изотропных образцов конечных размеров, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, с помощью четырехзондовой методики. Изучено два варианта расположения контактов: 1) четыре коллинеарных зонда расположены на одной из сторон образца симметрично относительно других сторон и 2) два зонда на одной стороне образца и два на противоположной стороне расположены точно друг против друга и симметрично относительно других сторон образца (метод Шнабеля). Найдено решение задачи о распределении потенциала электрического поля в образце при различных расположениях токовых контактов. Решения получены в виде двойных рядов и представлены способы их суммирования. Полученные результаты распространены на случай измерения удельного сопротивления анизотропных образцов, у которых тензор удельного сопротивления имеет две независимые компоненты. Приведены результаты использования разработанной методики для измерений по методу Шнабеля удельного сопротивления такого сильноанизотропного материала, как высокоориентированный пиролитиче-ский графит.
DOI: 10.7868/S0032816215010206
1. ВВЕДЕНИЕ
Для измерения удельного сопротивления материалов широко используются четырехзондовые методы, суть которых заключается в следующем. На поверхности исследуемого образца размещают четыре точечных контакта и через два из них (токовые контакты) пропускают заданный ток I от внешнего источника, а между двумя оставшимися (потенциальными) контактами измеряют разность потенциалов АУ. Очевидно, что измеряемая разность потенциалов будет пропорциональна величине тока I:
АУ = Ы, (1)
где коэффициент Я, который мы будем называть условным сопротивлением, сложным образом зависит от геометрии образца, мест расположения на нем токовых и потенциальных контактов и, разумеется, от удельного сопротивления материала образца р.
Если исследуемый материал изотропен и доступен в виде длинных проволок или тонких длинных полосок, то задача является тривиальной. Токовые контакты размещают на концах образца, при этом ток по сечению S образца на до-
статочном удалении от его концов распределяется равномерно. Потенциальные контакты устанавливают на достаточном удалении от токовых контактов на заданном расстоянии I друг от друга и измеряют разность потенциалов АУ между ними при заданном токе I. Удельное сопротивление р материала определяется из формулы
Я = АУ/1 = р1/Б.
Эта методика общеизвестна и широко применяется на практике.
В более сложных случаях, когда исследуемый материал представляет собой, например, небольшие кристаллы (экспериментальная физика твердого тела), массивные полупроводниковые пластины кремния и германия (промышленное производство в микроэлектронике), массивные блоки сплавов (металлургия) и др., задача становится значительно более трудной. Для определения р из результатов измерения необходимо теоретически рассчитать вид функции Я в формуле (1) для конкретной геометрии эксперимента. Эта задача довольно сложна, особенно если удельное сопротивление р имеет анизотропный характер. Однако ее можно успешно решить для образцов определенной формы при специальном располо-
жении измерительных электродов на поверхности образца.
Ключевым моментом является решение уравнения Лапласа для потенциала электрического поля и(х, у, z) в исследуемом материале с соответствующими граничными условиями. В случае бесконечного изотропного проводящего полупространства или бесконечной пластины соответствующие решения хорошо известны и их можно найти, например, в [1—4].
На практике обычно бывает, что изучаемые объекты представляют собой образцы небольших размеров, в которых расстояние между измерительными контактами сравнимо с размерами образца. В этом случае изложенные в [1—4] результаты неприменимы, и следует искать решение уравнения Лапласа для образца с конечными размерами. В случае образцов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, эта задача может быть решена аналитически [5—9]. Ниже мы приведем это решение в виде, более удобном, по нашему мнению, для применения, чем в указанных работах. Дело в том, что решения, получаемые методом разделения переменных, имеют вид двойных рядов, которые, как правило, очень плохо сходятся. Ниже покажем, как следует корректно суммировать такие ряды и получать правильные результаты. Предлагаемая нами методика [10] позволяет рассматривать образцы, все три размера которых имеют конечную величину.
В настоящей работе мы попытаемся подробно рассмотреть теоретические вопросы таких измерений для изотропных веществ с последующим применением полученных результатов для некоторого класса анизотропных материалов. В связи с этим отметим, что в физике твердого тела, например, наибольший интерес в последние годы вызывают именно сильноанизотропные, имеющие слоистую структуру системы, такие как высокотемпературные сверхпроводники, топологические изоляторы на основе халькогенидов висмута, высокоориентированный пиролитический графит и др. Для таких материалов предлагаемая нами методика с использованием четырех точечных контактов является особенно удобной и позволяет получить абсолютные значения продольного (вдоль слоев) и поперечного (поперек слоев) удельного сопротивления и, соответственно, величину его анизотропии.
В работе рассмотрены два варианта расположения контактов: 1) четыре коллинеарных зонда на одной из граней образца; 2) два контакта на одной стороне образца и два — на другой, расположенные точно друг против друга (так называемая геометрия Шнабеля [1, 2]).
■ x(x1)
У^2)
¿(х3)
Рис. 1. Образец конечных размеров в виде прямоугольного параллелепипеда длиной а, шириной Ь, толщиной й и соответствующие направления координатных осей х, у, z (изотропный образец) и х1? х2, Х3 (анизотропный образец). Начало координат находится в центре параллелепипеда.
2. ИЗОТРОПНЫЙ ОБРАЗЕЦ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Рассмотрим изотропный образец в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, Ь и толщиной й, а оси координат направим, как показано на рис. 1.
2.1. Два токовых контакта, расположенные симметрично на одной грани образца
Рассмотрим сначала случай, когда точечные токовые контакты расположены на одной грани образца: z = —й/2. Для упрощения задачи с самого начала будем рассматривать практический случай, когда оба токовых электрода размещены симметрично на этой грани (см. рис. 2а), т.е. имеют координаты (±х0, 0, —й/2).
Если пропускать стационарный ток I через контакты А, В, то в образце установится электрическое поле, потенциал которого и(х, у, ¿) удовлетворяет уравнению Лапласа:
А , ч д2 и , д2 и , д2 и А А и (х, у, г) = —2 + —2 + ~ _ 0
дх ду дг
(2)
с граничными условиями:
ди дх
ди д-
х _ ±а /2
_ о д и
_ 0, дУ
у _ ±Ь /2
_ о д и
_ , дг
_ 0,
г _ й/2
(3)
_ -рI[5(х + Хо) - 8(х -Хо)]5(у).
г _ -й/2
Первые три условия в (3) означают отсутствие тока через границы раздела между образцом и окружающим пространством, а последнее условие соответствует точечности контактов, через которые протекает измерительный ток I.
Стандартный метод разделения переменных [3] заключается в том, что решения уравнения (2) ищутся в виде произведения трех функций и(х, у, ¿) = = Х(х)У(у^^), каждая из которых зависит только от одной переменной, при этом функции Х(х),
а
Ь
й
(a) I . Г
Л /d/ / / / ЛУ /D , /в /// /////
(б) I/2 Л I/2 . i
/ / / / / / //^
(в)
I/2\ \ I/2
I/2 I/2 I/2 I/2
It .ti
Рис. 2. Геометрия размещения контактов на гранях образца в форме прямоугольного параллелепипеда в четырехзондовом методе: а — два токовых контакта А, В с входящим и выходящим током величиной I соответственно расположены симметрично на одной грани образца, если потенциальные контакты В, С размещены симметрично токовым на противоположной грани образца, мы имеем так называемую вторую геометрию Шнабеля; б — четыре токовых контакта с входящим и выходящим током величиной 1/2 (как показано стрелками) расположены на противоположных гранях образца; в — четыре токовых контакта с входящим и выходящим током величиной 1/2 (как показано стрелками) расположены на одной грани образца; г — первая геометрия Шнабеля (токовые контакты располагаются в точках А, В, а потенциальные — в точках В, С).
У(у), Z(z) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям 2-го порядка:
dW(w)
dw2
- cW(w) _ 0 ,
которые в зависимости от величины и знака константы с имеют одно из трех фундаментальных решений: М"^) = С^ + с2, W(w) = А^тА^ + + А2со8А™ или W(w) = + В2в-Ч
Общее решение уравнения Лапласа (2) компонуется из частных решений этого вида. Граничные условия (3), а также соображения симметрии позволяют значительно уменьшить количество допустимых частных решений. В работе [10] показано, что для данной геометрии решение урав-
нения Лапласа (2) с граничными условиями (3) описывается выражением
и (х, у, I) =
_ 8 р Id ^ 6 я ch y ( z - d/2) . ( 2 к + 1) nx,
ab
i
к, n _ 0
Y d sh y d
Б1П-
(4)
. (2к + 1 )nx 2nny x sin---—cos--,
ab где величина Ykn определяется формулой
Yкп _ п
№)2+(2п);
а коэффициент 6„ равен
6n _
1, п ф 0, 1/2, п _ 0.
(5)
(6)
Полученный результат можно сразу применить к измерениям удельного сопротивления р как во 2-й геометрии Шнабеля (рис. 2а), так и в 1-й коллинеарной геометрии, когда токовыми являются крайние контакты А, В, а потенциальными — внутренние контакты В и С, подобно тому, как это для другого случая изображено на рис. 2в. Но это мы сделаем несколько позднее, а сейчас рассмотрим две вспомогательные задачи с четырьмя токовыми контактами.
2.2. Четыре токовых контакта на противоположных гра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.