ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 3, с. 331-343
УДК 551.511.32;551.513;551.515;519.63
ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЙ, ГЕНЕРИРУЕМЫХ ИСТОЧНИКАМИ И СТОКАМИ В КОЛЬЦЕВОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ
© 2014 г. A. E. Гледзер
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова PAH119017Москва, Пыжевский пер., 3
E-mail: lgg@ifaran.ru Поступила в редакцию 20.11.2012 г., после доработки 20.03.2013 г.
Приведены результаты численных расчетов в рамках уравнений мелкой воды для течений в лабораторных экспериментах с вращающимся кольцевым каналом. Для моделирования экспериментальных источников-стоков жидкости в уравнения для глубины слоя вводится осесимметричная функция источника массы, которая вместе с силой Кориолиса создает встречные зональные потоки. Различные конфигурации и амплитуды источников массы приводят к возникновению вихревых движений в канале с различными циркуляционными движениями в вихрях и азимутальными перемещениями их центров вдоль канала. Приведены диаграммы режимов в параметрах относительных угловых скоростей осредненного зонального потока и переноса вихрей вокруг оси вращения системы. Обсуждаются отличия теории от реальных экспериментов с течениями конечной глубины в канале.
Ключевые слова: кольцевой канал, источники массы, диаграммы режимов.
Б01: 10.7868/80002351514030043
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах [1, 2] приведены результаты измерений поля скорости на поверхности жидкости в экспериментах с вращающимся кольцевым каналом в вихревых течениях, генерируемых различными распределениями источников и стоков массы. Последние с учетом влияния сил Кориолиса создают осесимметричные зональные встречные потоки, которые приводят к возникновению вихрей циклонического и антициклонического характера в возмущениях поля скорости. При этом определяющими параметрами для диаграммы режимов были выбраны средняя угловая скорость вращения жидкости в канале и угловая скорость азимутального переноса вихрей.
Предварительные оценки этих величин на основе линеаризованных уравнений мелкой воды показали возможность их использования для расчетов всего поля скорости для течений в канале. Уже в ранних работах, посвященных эксперименту в кольцевых каналах, уравнения мелкой воды использовались в теоретическом плане, в частности, в [3] рассмотрены приближения трехмерной динамики, приводящие к уравнению для высоты свободной поверхности. Ранее аналогичные уравнения присутствовали в [4] для течения в прямоугольном бассейне, а также в [5] при исследовании долгоживущих планетарных вихрей для геострофической модели.
Среди относительно современных экспериментально-численных работ по кольцевому каналу отметим [6], где в эксперименте с твердой крышкой и коническим дном наблюдались блокирующие образования и проточные течения, а в теории применялся численный метод, основанный на уравнении Чарни—Обухова в приближении прямоугольного канала. В работе [7] для экспериментов с параболической формой дна также использовалось квазигеострофическое уравнение вихря для двумерных течений в полярных координатах. Экспериментальные и теоретические исследования с использованием уравнений мелкой воды во вращающемся прямоугольном канале с наклонным дном рассматривались в работе [8].
Отметим, что сами уравнения мелкой воды применялись уже давно, начиная с 50-х годов, при численном решении задач, связанных, например, с приливами и штормами. Из недавних работ отметим решение задач гидравлики течения воды в каналах под действием ветра, силы тяжести и силы трения по Маннингу.
Основной акцент в этих работах делается, конечно, на формулировку численного метода решения именно двумерных нелинейных уравнений мелкой воды, и существенным является дивергентный вид решаемых уравнений.
В основу вычислений, проводимых в данной статье, положен метод, разрабатывавшийся с начала этого столетия [13—16]. В нем осуществляет-
ся контроль за численнои диссипациеи посредством переменной площади, по которой проводится интегрирование уравнений мелкой воды в дивергентной форме. Наглядность вывода этого метода, простота в аналитической записи и в программировании, очень малая искусственная вязкость явились решающими факторами в выборе этого метода в качестве рабочего инструмента.
Однако следует отметить, что все указанные методы не рассматривают и не включают в себя силу Кориолиса, самую главную силу в геофизической гидродинамике. Ускорение Кориолиса не является консервативной силой, поэтому возникает трудность в ее дискретизации.Источник массы в указанных работах также не предусмотрен. Лишь рельеф подстилающей поверхности входит в схемы.
Кроме этого, для геофизических целей, в отличие от указанных работ, расчет должен вестись на очень длительное время, к которому все переходные процессы давно прекратятся, и на главный план выступают эволюция и движение вихрей в Р-плоскости. В баротропных задачах геофизической гидродинамики присутствуют корокие временные масштабы, связанные с поверхностными гравитационными волнами и долгие временные масштабы, связанные с волнами Россби. Два сильно разделенных временных масштаба представляют характерную для геофизических приложений трудность в решении задач на основе уравнений мелкой воды.
В разделе 2 будет представлена подлежащая решению система уравнений, описывающая эксперимент. В разделе 3 кратко, почти без вывода, представлен численный метод решения с обсуждением основных его свойств. В разделе 4 описаны полученные результаты расчетов.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ
Уравнения мелкой воды будем рассматривать в потоковой (дивергентной) форме
щ+то)+дс(д) = К(()
дг дх ду с трехкомпонентным вектором неизвестных Q(x, у, 1) = {к, и, V}, где глубина (толщина слоя) жидкости к(х, у, г), а потоки скоростей Щ(х, у, 1) = ык, V(х, у, г) = Vк связаны со скоростью {и, V}. Физические потоки Е и О определяются через компоненты вектора О выражениями Е = (Щ, Щ/к + gкг/2, УЩ/И),
О = ('V,UV/h, V2¡к + бН2/2). Правая часть ЩО)
представлена неконсервативными членами: источник массы воды S(x, у), кориолисово ускорение, градиент от рельефа дна В(х, у) и центробежного ускорения, трение {Яи, Щ-}, входящее в уравнения
для Щ и V. Таким образом, правая часть может быть представлена следующим образом:
ВД = [Б(х, у),
и
- ёк
дх
ёк ду
Б(х, у) + 20 „V -к
В(х, у)-О ( + у2)
5(х,у)У - 200и -к
В(х,у) -О(( + у2)
+ Яи
(2)
+ IV}.
Кольцевой контейнер ограничен внешней радиуса ^ощ и внутренней радиуса Дп цилиндрическими поверхностями и вращается на платформе с угловой частотой Рельеф дна В (х, у) = В(г), г =
= 4х2 + у2 отсчитывается от платформы и представляет собой коническую поверхность (рис. 1а). Вращающаяся поверхность жидкости в данном цилиндрическом кольцевом контейнере принимает в равновесии и при отсутствии источника массы
форму параболоида Нраг(г) = Н0 {х2 + у2] —
2 б
По (о 2 ■ "2
Яои4 + Я;п I, где Н0 — высота слоя жидкости в
4 ё
состоянии покоя, отсчитываемая от платформы. Поверхность жидкости свободна, по ней переносятся поверхностные гравитационные волны. Отклонение свободной поверхности от равновесного параболоида п(х, у, г) = к(х, у, г) + В(г) - Нраг(г).
Сила трения жидкости о дно может быть взята либо по линейному закону Яи = -X и, Яу = -к V с коэффициентом X ~ 0.0Ю0, либо по принятой в большинстве работах по уравнениям мелкой воды для природных течений в каналах форме закона Маннинга (аналог квадратичного трения)
- б 2,2 7+3 У- {и, V} с размерным постоянным кок 7
(1)
эффициентом £, ~ 10 3—10 2 с/м1/3.
Легко видеть, что уравнения (1), (2) эквивалентны стандартным уравнениям мелкой воды, которые без трения записываются [9, 10] в виде уравнения
д{ и, V} д{ и, V} д{ и, V} для вектора скорости д{ + ду +
+ 2^0 {-V, +и} = -б {дх, ду} П(х, у, г) и уравнения для
глубины § + Уй + Цк = 5 (х, у).
дг дх ду
Вводятся следующим образом безразмерные переменные: х = х/Яои , У = у/Яои1, Г2 = х2 + у2;
Рис. 1. Схематичные представления экспериментальной установки (а), двух возможных вариантов функции интенсивности источника массы (б), (в).
г = ю0; и =
и
Я О И' V = Я о И ; Л =
= В/Н0; = Дп/ Д^ > Гои1 = Дий/ = 1; Д = = Д Н0^0
; X = Х/^0 ; Яраг = Да/Н = 1 + Щ(2 - 1/2) ,
О
где гравитация входит в безразмерный параметр
Я 2 О 2'
лойО 0
Внешний радиус Обухова—Россби определяет масштаб распространения поверхностных гравитационных волн за время одного оборота полости
Яе =41н~0/(0) Отсюда § = 4^/^)
Рельеф дна, необходимый для генерации волн Россби, был конусом В(г) = В0 (1 - г/Яои1), спадающим до уровня платформы на внешнем крае кольца при г=Яои1. В безразмерном виде В = (В0 /Н0) (1 - г).
нялась масса воды
Величина Б(х, у) описывает производительность источника, нагнетающего воду и отсасывающего такое же количество воды. Эта функция может быть параметризована различными способами, главное, чтобы она была аксиально-симметричной, сохра-
Г ои / 2 2
Б(г)гйг = 0, г = Vх + у , и у
-.п
краев при г = Л^, г = Дп был отток (вток), а в центральной части при г = Яс был вток (отток) (используются схемы Е с двумя источниками при Дп, Яои1 и стоком при г = Вс и обратная схема Я по терминологии статьи [2]). В данной работе расчеты проводились для следующей кусочно-гиперболической функции источника массы, которая в безразмерном виде имеет параметризацию для численных расчетов 1—11, 16—24, 27, 29: она соответствует притоку при Е > 0 (оттоку при Е < 0) массы в кольце шириной Ас вблизи радиуса Яс и оттоку
при Е > 0 (притоку при Е < 0) в кольцах ширины Ак вблизи и Яои1 (рис. 1б),
S(r) = -E%, RJ Rout < r < Rin/Rout + A J Rout ,
r
^qout
- с,+1Д(0- Щ^(О +
5у у
где Оу — усреднение по прямоугольнику [х1-1/2, X + 1/2] х [ у у-1/2, у у+1/2 ] полиномиальной функции Ру(х, у), которая определяется через искомую функцию ((х, у, г), задаваемую в узлах сетки, в простейшем варианте по формулам Ру(х, у) = = + (( х (х - х) + (О у )у (у - у у) с аппроксимациями производных по одному из вариантов из-
вестного правила minmod, впервые использованного в конце 70-х годов:
S(r) = -E^, RouJ Rout - A J Rout < r < Rout/Rout , r
S(r) = +EqC, r
Rc/Rout - (A d2)1 Rout < r < Rc/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.