ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 10, с. 1629-1638
УДК 519.65
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ С ШЕСТЬЮ ПРЯМЫМИ УГЛАМИ^
© 2013 г. О. А. Григорьев
(119333 Москва, ул. Губкина 8, ИВМ РАН) e-mail: guelpho@mail.ru Поступила в редакцию 24.01.2013 г.
Предлагается численно-аналитический метод конформного отображения прямоугольного де-вятиугольника на верхнюю полуплоскость. Приводятся результаты вычислений. Библ. 8. Фиг. 5.
Ключевые слова: конформные отображения, 9-функции Римана, абелевы дефференциалы, численно-аналитический метод конформного отображения.
DOI: 10.7868/S0044466913100074
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена развитию нового численного метода конформного отображения прямоугольных многоугольников на верхнюю полуплоскость, сформулированного в [1] и [2]. Подробно рассматривается случай прямоугольного девятиугольника с тремя вершинами на бесконечности. Конформное отображение верхней полуплоскости на девятиугольник представлено в виде композиции отображения Абеля—Якоби и отображения, представляющего собой комбинацию 0-функций на якобиане некоторой гиперэллиптической римановой поверхности. Приведена система уравнений, связывающая вспомогательные параметры этого представления.
Рассмотрен алгоритм численного решения системы и вычисления самого конформного отображения. Обратное отображение также дается в терминах 0-функций. Для вычисления последних имеются надежные методы с контролем точности (см. [3]).
Ввиду значительной технической сложности используемого алгебро-геометрического аппарата подробные обоснования в большинстве случаев опущены. Сложные понятия теории алгебраических кривых, знакомство с которыми было бы полезно для понимания приводимых выкладок, описывают настолько более общую ситуацию, что их введение будет оправданным в последующих работах. В них будет описано расширение метода на случай численных отображений многоугольников с большим числом прямых углов и приведен детальный вывод всех соотношений. В данной работе описывается идеология подхода, его преимущества и недостатки по сравнению с другими подходами, что, несомненно, представляет больший интерес для вычислителей.
Среди преимуществ метода можно указать следующие:
— контроль точности — для приближенного вычисления 0-функций, в отличие от интеграла Кристоффеля—Шварца, существуют универсальные устойчивые методы, которые, к тому же, допускают распараллеливание;
— в частности, это позволяет использовать данный метод для тестирования других методов конформных отображений и решения краевых задач для гармонических функций;
— эффективное уменьшение количества неизвестных параметров за счет линейности части соотношений;
— расширение границ применимости, метод гарантированно сходится для любого многоугольника. В частности, его можно применить и к сильно вырожденным многоугольникам, возникающим в задачах математической физики;
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 10-01-00407, 10-01-00513, 13-01-00115).
1629
Vа пНа
пН
12
W1
пН
16
пН
56
^6
Н>5
пкь
пН.
45
И>6
пН
wr
Фиг. 1. Прямоугольный девятиугольник 9.
а1 а2
Фиг. 2. Базисные циклы на поверхности.
— в рамках данного подхода может также быть осуществлено решение задач дизайна области (таким образом настроить параметры области, чтобы решение некоторой краевой задачи обладало определенными свойствами).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача вычисления конформного отображения многоугольника 9, представленного на фиг. 1, на верхнюю полуплоскость (задача Римана), и обратного к нему.
Отображение верхней полуплоскости на 9 имеет вид интеграла Кристоффеля—Шварца (см. [4])
к*) = с г р - ) а - х4 ) о - х х(- _с_. (1.1)
N (I - *2)С - *3 ) (! - * а ) (t - Хь )(1 - Хс)
ха
Обычно задача сводится к нахождению параметров XI интеграла — прообразов вершин многоугольника и константы С. В рассматриваемом методе предлагается перепараметризовать задачу, что возможно благодаря следующему наблюдению (все необходимые определения можно посмотреть в [5] и[6]).
Отождествим верхнюю полуплоскость с областью на гиперэллиптической римановой поверхности
2
у = -(х - Хх)(х - Х2)(Х - Х3)(х - Х4)(х - Х5)(х - Х6). (1.2)
Если (х, у) — точка на данной поверхности, то (х, у) —»- х — разветвленное накрытие сферы с шестью точками ветвления. Пусть точка х* отлична от точки ветвления. Тогда она имеет ровно
два прообраза, которые обозначим через Р* и Р* (* здесь обозначает произвольный индекс). Точка ветвления имеет единственный прообраз, который обозначим через Р*.
Зафиксируем базис гомологий на кривой (1.2) так, как показано на фиг. 2, где а-циклы полностью лежат на одном листе поверхности, штрихами обозначены части циклов, выходящие за пределы листа.
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1631
Определение 1.1. Пусть цРд — дифференциал с двумя простыми полюсами в точках P и Q и вычетами в них, равными, соответственно, 1 и —1. Такие дифференциалы называются абелевыми III рода. Предположим, что
|Про = 0, j = 1, 2,
тогда они называются а-нормированными.
Утверждение 1.1. Подынтегральное выражение в (1.1) является на (1.2) следующей суммой абеле-вых а-нормированных дифференциалов III рода и голоморфного дифференциала ю
dw{x) = ha Црр,а + ihbnpbp, + ihc Црр, + ю. Доказательство. Перепишем интеграл следующим образом:
w (x) = C J"
(t - x 1 ) ( t - x5 ) ( t - x4)(t - x6 ) dt
(t - xa)(t - xb)(t - xc) /
Дифференциал в (1.1) можно представить в виде следующей суммы (здесь nP P; — нормированные абелевы дифференциалы III рода, ю — некоторый голоморфный дифференциал (см. [6]):
dw(x) = Resdw(x)nP P. + Resdw(x)nPP■ + Resdw(x)nPP■ + ю. (1.3)
Pa " " Pb b b Pc C C
Найдем вычет dw(x) в точке Pa. Для этого рассмотрим лист кривой, на котором лежит эта точка (на другом листе будет лежать точка P'a), и рассмотрим контур Cp в виде окружности радиуса р с центром в Pa (разумеется, р должен быть таким, чтобы весь контур попадал в лист). Обозначим
через C+ лежащую в верхней, а через Cp — в нижней полуплоскости половину контура. Поскольку
J dw = J dw,
с+
так как дифференциал имеет вещественные нули и полюсы, то
с—
р
Jdw = 2 iIm J dw,
с+
где Ср — контур, составленный из С+ и — Ср . Далее, значение |с dw не зависит от р, значит, и 1т Г + dw также не зависит от р. Тогда оно может быть вычислено как 1т(Нтх^х _0^(х) — — Нтх^х + 0w(х)) = 1т(я/Аа). Следовательно,
Res dw(x) = — fdw = ha. p 2 n i J
Аналогично вычисляются вычеты в точках Рь и Рс. Окончательно имеем
^(х) = Прра + &ьПРьР'„ + ¡К + ю, (1.4)
что и требовалось.
Задача Римана для многоугольников с геометрией, представленной на фиг. 1, имеет единственное решение с точностью до конформного автоморфизма верхней полуплоскости (см. [4]). Поэтому, чтобы предъявить искомое конформное отображение, следует описать кривую (1.2) с помощью достаточного числа параметров, инвариантных при конформных отображениях. Пространства, координатами на которых служат такие параметры, называются пространствами модулей.
a
x
x
CP
CP
CP
Фиг. 3. Течение идеальной жидкости в прямоугольном одиннадцатиугольнике.
2. ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ
Многоугольник, приведенный на фиг. 1, характеризуется семью параметрами, которые должны удовлетворять следующим неравенствам:
¿12, К, Нь, К, ¿45 > 0, Н% + На + ¿12 > 0, (2.1)
¿16 < 0 ^ ¿56 + Ка > 0.
Они задают некоторую область в Я7, являющуюся объединением двух выпуклых областей. Далее, будем считать эквивалентными многоугольники, отличающиеся друг от друга гомотетией (этого можно добиться, приняв, например, ha = 1).
Определение 2.1. Область в Я6, задаваемая системой уравнений (2.1), в которых полагается ha = 1, назовем пространством модулей прямоугольных девятиугольников конфигурации, показанной на фиг. 1 или просто пространством девятиугольников и будем обозначать через Рдоп (допустимое).
Рассмотрим пересечение кривой (1.2) с {(х, у) : х е К}. При этом у может быть только действительным или чисто мнимым.
Определение 2.2. Вещественными овалами называют компоненты связности множества точек кривой с х е К, у е К, ковещественными — компоненты связности множества точек кривой с
х е К, у е К.
Кривая (1.2) имеет ровно три вещественных овала, которые можно обозначить индексами лежащих на них точек ветвления 04-5, O1-6 и O2-3.
Определим теперь пространство модулей гиперэллиптических кривых рода 2, конформно эквивалентных кривым вида (1.2), с отмеченной точкой на каждом из овалов O1-6, O5-6 и O3-4. Координаты на этом пространстве можно ввести естественным образом, взяв в их качестве нули многочлена в правой части (1.2) и три действительных числа ха, хь, хс, удовлетворяющих неравенству
Х2 < Х1 < Ха < Хб < Хь < Х5 < Х4 < Хс
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1633
с точностью до некоторого отношения эквивалентности. Поскольку эквивалентные наборы точек должны отвечать конформно эквивалентным кривым, то вышеупомянутые наборы чисел необходимо рассматривать с точностью до дробно-линейных преобразований. Это требование можно убрать, если зафиксировать положение трех точек (например, Х1, Хб, Х3 в 0, 1 и да). Получаем
Определение 2.3. Рассмотрим шестимерное вещественное координатное пространство, коор-
'2, Ха, ХЬ, Х5, Х4, Хс.
динаты в котором обозначим через Х2, Ха, ХЬ, Х5, Х4, Хс. Область в R6, задаваемая неравенствами
х2 < 0 < ха < 1 < хь < х5 < х4 < хс, (2.2)
назовем пространством модулей М21К3.
Из определений можно видеть, что решение задачи Римана для многоугольника, приведенного на фиг. 1, с произвольными геометрическими размерами, задает взаимно-однозначное отображение из Рдоп в М2^3.
Традиционные подходы к решению задачи сводились к построению такого отображения. Идеология метода, развиваемого в этой статье, состоит в введении более естественной системы координат на М21К3. Нам потребуются еще некоторые определения.
Пусть базис гомологий на кривой выбран так, как показано на фиг. 3. Размерность простран-
-1-1-1 ... л -11 dx х(1х /—
ства голоморфных дифференциалов на кривой равна 2, приче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.