научная статья по теме ЧИСЛЕННО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОВРЕЖДЕННЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ Механика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОВРЕЖДЕННЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2013

УДК 539.3

© 2013 г. Д. Л. БЫКОВ, Е. Д. МАРТЫНОВА

ЧИСЛЕННО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОВРЕЖДЕННЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

Разработан метод определения материальных функций нелинейной эн-дохронной теории стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ), получивших предварительные механические повреждения. Излагаемый метод основан на анализе различий между двумя графиками зависимости напряжений от времени, полученными при растяжении с одинаковой постоянной скоростью образцов, изготовленных из одного наполненного полимерного материала. Один из образцов ранее не нагружался, а другой прошел предварительное нагружение. Входящее в определяющие соотношения НЭТСВУМ приведенное время [1] и его зависимость от реального времени определяются расстояниями от оси напряжений двух точек, соответствующих одинаковому значению напряжений и лежащих на графиках для поврежденного и неповрежденного образцов. Ядро релаксации находится из эксперимента с неповрежденным образцом. С использованием этих двух материальных функций и кривой, полученной для поврежденного образца, находится функция старения НЭТСВУМ, после чего вычисляется функция вязкости. В результате становятся известными все характеристики поврежденного материала и можно проводить расчеты прочности сделанной из него конструкции.

Ключевые слова: нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупру-гих материалов, высоконаполненные полимерные материалы, поврежден-ность.

1. Введение. Решаемая проблема связана с важной практической задачей оценки длительной прочности конструкций, изготовленных из наполненных полимерных материалов и подвергнутых различным видам нагружения в течение длительной эксплуатации. Существующие подходы к решению поставленной задачи опираются на проведение экспериментов, имитирующих нагружение конструкций в течение всего времени их использования. Поскольку в лабораторных условиях полные сроки реальной эксплуатации во многих случаях не могут воспроизводиться точно, проводят так называемые форсированные испытания. В них, используя повышенные нагрузки, за более короткое время достигают в образцах уровень накопленных повреждений, соответствующий уровню в натурных конструкциях.

Поврежденные в результате предварительных форсированных нагружений образцы затем подвергают контрольным испытаниям, результаты которых позволяют определить механические характеристики реальных конструкций после длительной эксплуатации. Наблюдаемое при этом снижение сопротивления материала действующим на него нагрузкам свидетельствует о необратимом изменении внутренней структуры материала, вызванном накоплением повреждений. При отработке прочности изделий используются контрольные испытания разных видов, соответствующие реальным нагрузкам, приложенным к конструкции на последнем этапе ее использования.

а 12

10

8

6

4

2

■ 1

2 3

4

/

10

20

30 40 Фиг. 1

50

60 t

В данной работе предлагается способ описания свойств поврежденного материала, основанный на сравнении результатов контрольных испытаний образцов, полученных до и после форсированных нагружений. Для примера используются экспериментальные данные для материала ВНПМ-8. В дальнейшем в качестве контрольного выбиралось нагружение с постоянной скоростью деформации е = 10 2 с 1. Кроме неповрежденного образца использовались еще три образца, предварительно прошедшие форсированные испытания, в качестве которых брались различные по амплитуде циклические нагрузки при одинаковом числе циклов.

Зависимости напряжений от времени при контрольных нагружениях упомянутых четырех образцов приведены на фиг. 1 ([а] = кгс/см2, [г ] = с, кривая 1 соответствует неповрежденному образцу, кривые 2, 3, 4 построены для образцов, подвергнутых предварительно форсированным нагружениям). В работе [2] аналогичные данные приведены для высоконаполненного полимерного материала, 86% веса которого составляла смесь перхлората аммония и мелких алюминиевых частиц, и 14% — связующее вещество бутадиен.

Предполагается, что поведение неповрежденного материала описывается линейной интегральной теорией вязкоупругости Максвелла, согласно которой в одномерном случае напряжения а и деформации е связаны соотношением [3]:

>(t) = J R(t -x)d б(т)

(1.1)

где R(t ) — ядро релаксации. Для поврежденного материала в настоящей работе используются соотношения нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) [1]:

<(t) = ф(0{R(t *(t) -1 * (x))ds(t)

(1.2)

*(t) = i g(T)d т= J ^

(1.3)

0

0

0

3 Механика твердого тела, № 4

65

Здесь ?*(?) — приведенное время, ф(0 и /() — функции старения и вязкости соответственно. Выражающаяся через них функция g(t) характеризует скорость изменения приведенного времени.

2. Определение ядра релаксации. Ядро релаксации Щ) находится из эксперимента с неповрежденным образцом (кривая 1 на фиг. 1) в предположении, что оно представи-мо отрезком ряда Прони. В результате получается следующее выражение:

Щ) = 3.31 + 27.24е (2.1)

= кгс/см2, [?] = с. Последний участок кривой 1 (при t > 45 с) не используется, т.к. он предшествует разрушению, и вследствие накопленных повреждений материал уже не является линейно вязкоупругим.

3. Метод определения функций ф(0, /(() и g(t), входящих в соотношения НЭТСВУМ.

В имевшихся до сих пор исследованиях, посвященных идентификации соотношений НЭТСВУМ (1.2), (1.3), кроме ядра релаксации находились две функции: функция старения ф(0 и функция вязкости /((). При этом заранее предполагалось, что эти функции имеют вид определенных зависимостей от выбранных аргументов, после чего входящие в них коэффициенты уточнялись на основании имеющихся экспериментальных данных. В настоящей работе для каждой из кривых, построенных для предварительно поврежденного материала, сначала будем находить приведенное время ?*(?) и после этого, исходя из соотношений (1.2), (1.3), определим соответствующую функцию ф(0 по формуле

«О = 7-^--(3.1)

JR(t*(t) -1* (т))/б(т)

где o(t) — напряжение в поврежденном материале. По известным функциям t*(t) и ф(0 найдем g(t) и f (t):

g(t) = dt * (t)/dt, f (t) = Ф(0/ g(t) (3.2)

3.1. Определение функций t*(t) и g(t). Приведенное время t*(t), входящее в (1.2), (1.3), отражает тот факт, что материал, подвергнутый предварительным форсированным испытаниям, ведет себя при контрольном нагружении не так, как неповрежденный. В частности, поврежденный образец к моменту возникновения в нем некоторых заранее заданных напряжений нагружается дольше и оказывается ближе к исчерпанию своего ресурса, чем неповрежденный (фиг. 1). Учитывая это, определим t*(t) так, чтобы выполнялось условие t*(t) > t. Выберем некоторый момент времени t, которому соответствует точка B на верхней "неповрежденной" кривой (фиг. 2). Отметим точку C на кривой для поврежденного материала (для примера взята кривая 2), в которой напряжение то же, что и в точке B. Длину отрезка АС, будем считать значением t* в этой точке.

Выбирая различные точки Bhi = 1...N на участке ОFверхней кривой и для каждой из них применяя предложенный выше способ, найдем соответствующие этим точкам значения t* для второй кривой (показаны квадратами на фиг. 3). В точке F (фиг. 2) кривые 1 и 2 сливаются и, следовательно, t* становится равным t. Предполагается, что после точки F и вплоть до разрушения t*(t) = t (нет основания считать, что на этом участке t* будет больше t, поскольку к точке F они сравнялись).

Аппроксимируя показанные на фиг. 3 значения t* при t < tF (т.е. на участке OF) функцией

о

Фиг. 2

Фиг. 3

(*(() = -0.214 +1.772X10Л3 397 -45.591(е"0 11( -1) -2.857(е0 07' -1)

и полагая (*(() = t при t > (р ([?] = с), получим кривую, изображенную сплошной линией на фиг. 3. Индекс 2 у функции (*(() показывает , что она относится к кривой 2.

Дифференцируя функцию (*((), получим функцию g2(()• g2(t) = -0.214 + 6.019 х 10-4(2 397 + 5.015е"ОЛ1( - 0.2е"0 07( при ( < g2(() = 1 пРи ( > (р.

3.2. Определение функции ф((). Подставляя найденную в п. 3.1 функцию (*(() в формулу (3.1), где с(() значение напряжения для поврежденного материала в момент I, получим функцию ф(() для кривой 2. На фиг. 4 квадратами показаны ее значения в конкретные моменты времени, сплошная линия — аппроксимация этих значений кусочно гладкой функцией ([?] = с)

ф2(() = -0.557 + 2.533 х 10-5(1529 + 2.793е~0М2( - 26.736е~0Л25( при ( < ф2(() = -0.4 + 3.598 х 10-4(2'236 + 2.503е-°МЪ - 1.76е~0Л14( при ( > (р

3.3. Определение функции /((). Зная функции ф2(() и g2((), по формуле (3.2) найдем /2(() (фиг. 5). Скачки функции /2(() в окрестности объясняются тем, что для аппрок-

3* 67

Ф

0.5

f 1.0

0.5

0 20 40 t

Фиг. 5

симации ф2(0 и g2(() использовались не непрерывно дифференцируемые функции, а кусочно гладкие. Заметим однако, что ни в выражение для напряжений (1.2), (1.3), ни в выражение для удельной поглощенной энергии, характеризующей необратимые изменения внутренней структуры материала [4], f (t) непосредственно не входит, туда входят лишь ф(0 и g(t).

4. Функции t*(t), ф(0, g(t), f(t) для четырех кривых. Используя описанную в п. 3.1 методику, получим функции t*(t) для кривых 2, 3 и 4 (на фиг. 6 линии с квадратами, кругами и треугольниками соответственно). Для неповрежденного предварительно образца (кривая 1) считаем всюду t*(t) = t.

Заметим, что предложенный в п. 3.1 способ определения приведенного времени позволяет находить его для кривой 4 до t < 30 с (см. фиг. 1). Чтобы определить напряжения до момента разрушения, наступающего при t = 55 с, надо знать t*(t) при 0 < t < 55. Следовательно, надо или экстраполировать функцию t*(t), найденную при 0 < t < 30, или продлить кривую 4 (штриховая линия на фиг. 7). Второй способ использовался для получения верхней кривой на фиг. 6 при 30 < t < 55.

Функции старения ф(0 для кривых 3 и 4 определяются так же, как и для кривой 2. При рассмотрении кривой 1 в п. 2 отмечалось, что для описания поведения неповрежденного предварительно о

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком