М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 532.517.4
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ
СТРУКТУР В ТРУБАХ
© 2015 г. Н. В. НИКИТИН, В. О. ПИМАНОВ
МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва е-mail: nvnikitin@mail.ru, pimanov-vladimir@yandex.ru
Поступила в редакцию 04.03.2015 г.
Численно исследовано течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе при переходном значении числа Рейнольдса Re = 2200. Изучено предельное решение уравнений Навье— Стокса, возникающее на сепаратрисе, разделяющей в фазовом пространстве области притяжения решений для ламинарного и турбулентного режимов течения. Решение имеет вид локализованного в пространстве, перемещающегося вниз по потоку образования, по ряду качественных признаков близкого к турбулентным порывам, наблюдающимся в опытах с трубами в диапазоне переходных чисел Рейнольдса. Характерное свойство предельного решения на сепаратрисе — его условная периодичность во времени (периодичность в подвижной системе отсчета), допускающая проведение полного исследования деталей механизма его самоподдержания. В подвижной системе предельное решение представимо в виде суперпозиции стационарного среднего течения и периодических пульсаций. Показано, что пульсации возникают в результате линейной неустойчивости среднего течения, отличающейся от неустойчивости Кельвина—Гельмгольца.
Ключевые слова: уравнения Навье—Стокса, прямой расчет, локализованные решения, турбулентные порывы, решение на сепаратрисе, пристенные полосы.
Общеизвестно, что течение жидкости в трубах происходит ламинарным образом при малых скоростях и турбулентным при больших. Переход наступает, когда безразмерный параметр — число Рейнольдса Re = UR/v (U — максимальная скорость, R — радиус трубы, v — кинематическая вязкость жидкости) превышает значение около 2000. Этот факт был установлен в основополагающих экспериментах О. Рейнольдса [1], в которых было замечено, что турбулентность первоначально проявляется перемежающимся образом — участки возмущенного и спокойного движения следуют вдоль трубы друг за другом, практически не меняя своей протяженности. На тот момент причина пространственной локализации турбулентности установлена не была.
Подробное экспериментальное исследование локализованных турбулентных структур в трубах выполнено в работе [2]. Установлено, что в разных условиях возникают структуры различного типа.
Структуры первого типа — турбулентные порывы — появляются при сильной возму-щенности потока на входе в трубу в диапазоне 2000 < Re < 2700. Порывы сносятся вниз по потоку со скоростью, близкой к средней скорости течения в трубе, практически не изменяя своей протяженности. Для них характерны размытость переднего фронта, на котором скорость на оси трубы постепенно уменьшается от ламинарного значения на 30—40%, и резкость заднего фронта, на котором происходит возвращение к ламинарному течению. В работе [3] установлено, что при Re < 2100 турбулентные порывы подвержены спонтанному исчезновению, а при Re > 2300 возможно деление порыва на два следующих друг за другом. Введено понятие равновесного порыва, ха-
рактеристики которого не меняются по мере его продвижения вдоль трубы. Согласно [3], это наблюдается при 2100 < Яе < 2300.
Другой тип локализованных турбулентных структур — турбулентные пробки появляются при больших числах Рейнольдса Яе > 3200, только когда возмущенность потока на входе недостаточна для непосредственного возникновения турбулентности. Переход возможен через турбулентные пробки — локализованные образования, расширяющиеся по мере сноса вниз по течению. Продвигаясь по трубе, пробки нагоняют друг друга (передний фронт пробки перемещается быстрее заднего), сливаясь в конечном итоге в единую турбулентную область.
В последние годы выполнен ряд подробных экспериментальных и численных исследований характеристик и свойств турбулентных порывов [4—10]. Установлено, что турбулентный порыв является нестабильным образованием, склонным либо к исчезновению, либо к делению. С каждой из двух конкурирующих тенденций может быть связано характерное время: среднее время жизни порыва до его исчезновения и среднее время до его разделения. Если первое увеличивается с ростом Яе, второе уменьшается. Согласно [10], значение Яе = Яе* = 2040, при котором происходит смена доминирования тенденций, является точкой статистического фазового перехода и может быть принято в качестве минимального критического числа Рейнольдса в круглой трубе. При Яе < Яе* турбулентный порыв скорее исчезнет, чем успеет разделиться, так что возникновение развитого турбулентного течения невозможно. Наоборот, при Яе > Яе* порыв скорее успеет разделиться прежде, чем пропадет, что приводит к развитию незатухающего турбулентного движения.
Турбулентный порыв представляет собой интересный гидродинамический объект, который в некотором отношении можно рассматривать как структурную единицу турбулентности. Можно сформулировать ряд вопросов, касающихся поведения порыва. До конца не понятен механизм, обусловливающий пространственную локализацию и самоподдержание порыва, не ясны причины, побуждающие его к делению или затуханию, не известны факторы, определяющие его протяженность и скорость перемещения вдоль трубы.
В последние годы акцент в изучении механизма самоподдержания турбулентности в пристенных течениях смещается от лабораторного эксперимента в сторону эксперимента вычислительного, основанного на численном решении уравнений Навье— Стокса. Турбулентные порывы впервые рассчитаны в [4], где показано, что пространственная локализация есть внутреннее свойство решений уравнений Навье—Стокса при переходных числах Рейнольдса, а не следствие специальных начальных условий. Попытка объяснения механизма самоподдержания турбулентного порыва была предпринята в [11]. В системе отсчета, связанной с порывом, пульсации в осевой части трубы сносятся вниз по потоку. Их нелинейное взаимодействие порождает медленно меняющиеся полосчатые структуры, концентрирующиеся в пристенной области трубы, где относительная скорость течения отрицательная. Из-за этого полосчатые структуры отстают от порыва. В хвостовой части порыва в областях расположения полос замедления образуются интенсивные сдвиговые слои с точкой перегиба в профиле скорости, где в силу неустойчивости типа Кельвина—Гельмгольца порождаются мелкомасштабные пульсации, попадающие в приосевую область трубы и сносящиеся вниз по потоку. Так, согласно [11], выглядит цикл самопроизводства турбулентных пульсаций внутри порыва и цикл самоподдержания самой этой структуры.
Идеализированная схема, предложенная в [11], выглядит вполне правдоподобно, однако, на наш взгляд, сделанные выводы в должной мере не подкреплены фактическими данными. Реальная динамика порыва сложнее и неопределеннее. Ее изучение осложнено в первую очередь стохастичностью процесса, когда отдельные его фазы следуют друг за другом случайным образом. В этих условиях определенная ясность может быть получена из анализа более простых структур, аппроксимирующих порыв,
3 Механика жидкости и газа, № 5
недавно найденных в [12, 13]. Это предельные решения, возникающие на сепаратрисе, разделяющей в фазовом пространстве области притяжения решений, соответствующих ламинарному и турбулентному режимам течения. Такие решения, наследуя ряд качественных характеристик турбулентного порыва, оказываются периодическими по времени в системе отсчета, перемещающейся вдоль трубы с постоянной скоростью. Простота поведения позволяет провести исчерпывающее исследование свойств таких условно периодических решений, которые, по мнению авторов, проясняют определенные детали поведения турбулентного порыва.
1. Постановка задачи и метод решения. Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в прямой трубе круглого сечения. Движение вызывается внешним градиентом давления, направленным вдоль трубы. Формулировка задачи традиционна для прямого расчета турбулентных течений в прямых каналах. Течение описывается уравнениями Навье—Стокса для несжимаемой жидкости. На твердой стенке трубы ставятся условия прилипания, а в направлении движения — условия периодичности. Величина среднего градиента давления, вызывающего движение, определяется из условия постоянства расхода жидкости. Длина (период) Lx расчетной области выбирается достаточно большой для возможности адекватного воспроизведения протяженных локализованных турбулентных структур.
Численное решение задачи проводится методом [14], сочетающим консервативную конечно-разностную схему аппроксимации уравнений по пространственным координатам и полунеявный метод Рунге—Кутты третьего порядка [15] интегрирования по времени. Все величины представляются в безразмерном виде. В качестве масштабов длины и скорости принимаются радиус трубы и максимальная скорость течения Пуа-зейля (удвоенная средняя скорость течения). Приводимые ниже результаты расчетов в диапазоне 1670 < Яе < 2800 получены при Lx = 200 с пространственным разрешением 2048 х 64 х 128 в продольном, радиальном и угловом направлениях соответственно. Расчеты на более грубой сетке 1024 х 32 х 64 во всех рассмотренных случаях дают результаты, совпадающие качественно и близкие количественно.
Стартуя с начальных данных в виде некоторого трехмерного возмущения течения Пуазейля, уравнения Навье—Стокса интегрируются до выхода решения на тот или иной режим. Установление решения, отвечающего турбулентному течению, происходит в том случае, когда амплитуда начального возмущения достаточно велика, в противном случае возмущения затухают со временем, и решение в конечном итоге возвращается к ламинарному течению Пуазейля.
Турбулентный режим за пределами диапазона переходных чисел Рейнольдса Яе > > 3000 имеет вид статистически стационарного процесса и не зависит от конкретного вида начальных условий, при которых он был получен. Течение при этом однородно в продольном направлении, его статистические характеристики согласуются с имеющимися экспериментальными данными. При Яе < 2600 в распределении скорости вдоль трубы появляется неоднородность, которая при Яе < 2200
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.