ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 9, № 1, 2013, стр. 3-7
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 519.633 : 532.53 : 532.72
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ МЕЛКОГО ПРОТЯЖЕННОГО РУСЛОВОГО ПОТОКА
© 2013 г. И.В. Жиляев1
Представлены результаты численного тестирования редуцированной трехмерной модели мелкого протяженного потока. Для верификации модели были проведены расчеты полных уравнений гидродинамики в конечноэлементном программном комплексе СОМБОЬ. Сравнивались значения продольной скорости потока, полученные по формулам редуцированной модели после численного решения начально-краевой задачи для функции возвышения свободной поверхности, и данные прямого численного моделирования СОМБОЬ для ламинарных и турбулентных течений вязкой жидкости. Полученные результаты позволяют утверждать, что предложенная редуцированная модель мелкого протяженного руслового потока адекватно описывает его гидродинамику.
Ключевые слова: численное моделирование, редуцированные модели, русловые потоки, свободная поверхность.
ВВЕДЕНИЕ
В гидрологии водных объектов суши важен количественный анализ и прогноз основных гидрологических характеристик русловых потоков (реки, ручьи, каналы и т.п.). При гидрологических исследованиях таких водных объектов активно используются методы математического моделирования и вычислительные эксперименты [1, 2].
Для расчетов гидрологических характеристик водотоков применяются математические модели разных типов. Наиболее простыми в использовании являются формульные ("нульмерные") и балансовые (камерные) модели. Широко используются также одномерные модели, полученные, например, осреднением по живому сечению потока. Однако применение таких моделей весьма ограничено, поскольку они позволяют вычислять лишь интегральные и усредненные характеристики потоков (расход воды, средняя скорость течения и т.п.). Во многих случаях требуется более детальное описание течения, например, учет его поперечной структуры или учет возникновения в верхнем слое противотока, вызванного действием ветра. Строго говоря, такой анализ требует привлечения трехмерных моделей, точно описывающих исследуемые процессы и основанных на полных уравнениях гидродинамики турбулентных течений. Однако на практике получить высокую точность моделирования не удается, поскольку имеющиеся данные гидрологических измерений обычно не обладают точностью,
1 Южный научный центра РАН, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: Zhilyaev@mail.com
необходимой для задания гидрофизических параметров, а также начальных и граничных условий для трехмерных уравнений в частных производных. Кроме того, сложность и трудоемкость вычислительных экспериментов на основе трехмерных математических моделей усугубляется геометрией расчетной области, сильно вытянутой в продольном направлении: отношение между характерной глубиной и характерной шириной речного русла колеблется в пределах от 0,1 до 0,005. Все сказанное выше объясняет интерес к двумерным и редуцированным трехмерным математическим моделям русловых потоков, сложность которых адекватна точности имеющихся гидрологических данных.
В работе [1] представлен подход, позволяющий конструировать математические модели русловых потоков пониженной размерности. Данная работа посвящена вычислительным экспериментам с одной из предложенных в [1] редуцированных математических моделей, а именно модели мелкого протяженного потока. Тестирование модели проводится путем сравнения данных прямого численного моделирования на основе полных уравнений гидродинамики и массопереноса в двумерном потоке вязкой жидкости и результатов, полученных на основе редуцированной модели. Расчеты проводились с использованием конечноэлемент-ного комплекса COMSOL Multiphysics (Femlab), а также программных пакетов Matlab и Maple. Рассмотрены как ламинарные, так и турбулентные течения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Скорость течения жидкости в соответствии с редуцированной трехмерной математической моделью мелкого протяженного потока определяется в безразмерных переменных следующими формулами [1]:
и = Яе О1 (У2 - и1) + Кх(к - 2),
V = Яе О ^ уг- р^) + Еу(И - 2), (1)
ду
w = Яе О
I и3) + ^" ((Л-)
дХ ду ду
+(к - 2) (^ — + К
дН_
дх
Здесь и(х, у, 2, t), v(x, у, 2, t), ^(х, у, 2, t) - компоненты вектора скорости, р(х, у,t) - неизвестная функция, определяющая свободную поверхность потока; к(х, у) - известная функция, задающая форму русла; параметры ¥х и ¥у характеризуют внешнее (например, ветровое) воздействие. Число Рей-нольдса Яе, гравитационный параметр О и уклон потока I определены согласно [1]. Функционалы J1, J2, J2 и J4 имеют вид
к к
^ = УА, Л = У
J V J V
2 к
(2)
J3 = У J1 dх, J4 = У J2 dх,
дt
Яе О
IН^- Р^)-(J2- и1)"^
\ дх дх
2
+ ^ - &з)—р + ^ ^4 - &3) -
ду2 ду ду
(3)
-(Л-РЛ)
(дР)
+к,
+ (к-Р) (К
дк
дх дх
Для уравнения (3) требуется задать условие Коши (начальную форму свободной поверхности), а также граничные условия во входном створе х = 0 и на берегах потока. Например, если предполагать, что в начальный момент времени свободная поверхность плоская, то условие Коши имеет вид
•П(х, у, 0) = 0. (4)
Соотношения (1), (2) определяют приближенные значения гидродинамических полей мелкого протяженного потока.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Для вычисления функции ^(х, у, 0 возвышения свободной поверхности уравнение (3) решалось при начальном условии (4) и граничных условиях
Р (0, у, t ) = 0, Р (х,±Ь, t)- к(х,±Ь ) = 0, (5)
где Ь - полуширина потока.
Численное решение начально-краевой задачи (3)-(5) осуществлялось средствами конечноэле-ментного программного комплекса СОМБОЬ [3]. Использовались следующие значения параметров безразмерной задачи: Яе = 125, О = 9800, I = 0,008, Ь = 0,5, ¥х = Гу = 0. Дно потока задавалось функ-
у2
цией вида к (х, у) = (1- а 8т шх)
1-
\
при
где V - функциональный параметр турбулентной вязкости, возникающий в уравнениях Рейнольдса согласно гипотезе Буссинеска. Этот параметр зависит от координат и нормируется таким образом, чтобы на свободной поверхности он был равен единице [1].
Для определения возвышения свободной поверхности р(х, у, t) используется кинематическое краевое условие
у ду ду
где функции Ji, I = 1, 2, 3, 4, и их производные вычислены на свободной границе при 2 = р.
а = 0,01 и ш = 10.
Выбранные значения параметров соответствуют водотоку глубиной 1 м и соотношением глубина : ширина : длина 1 : 10 : 100, характерной скоростью течения 1 м/с, и уклоном 1° при отсутствии внешних ветровых воздействий.
Скорость течения, вычисленная в соответствии с редуцированной трехмерной математической моделью мелкого протяженного потока, сравнивалась с результатами прямого численного моделирования, проведенного на основе полных трехмерных уравнений гидродинамики программного комплекса СОМБОЬ МиШрЬуэкэ [3].
ЛАМИНАРНЫЙ ПОТОК
В случае потока постоянной вязкости выполняется условие V = 1, и функционалы (2) могут быть вычислены явно:
J1= к - 2, Л^'2- 2^ - 2)2,
J4 = —(к - 2 )2(2к + 2 ).
6
(6)
С учетом представления (6), формулы (1) для компонент скорости и свободной границы
2
к
2
2
2
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ
5
принимают вид
и = |яе в1((к - р)2 - (г - р)2) + Рх(к - г),
V = -^Яе в ^(к -р)2 - (г - р)2+ Ру(к - г), 2 ду
о г пп ^п 1 „ ,2
w = Яе в - -
I ((к - р )(к - г (к - г )2-^
дх 2 дх
1 2 „ З2р
+^(к - г)2(2(к - р)+ г - р+ (7) 6 ду2
, (/7 К, ч2 др \ 5р
+( (к - р)(к - г)— - -(к - г)2 — I—
\ ду 2 ду ду
+ (к - г ) ( + ^ ^ I
дк_
дх
дк
^ = —Яе в (к - р )2 дг 2 v 7
1-3-^
дх дх
Л(2 а»-э* )+!(*-р)«
ду\ ду ду) 3 Эу2
А
дх
а
+(к - р) ( (к - р)+ Ру -ду (к - р) I.
Отметим, что формула для продольной скорости (7) имеет вид параболической функции по переменной г.
Предположение о постоянной вязкости жидкости фактически означает ламинарное течение, которое детально изучено в классической гидродинамике [4]. Например, известно, что ламинарное течение в открытом наклонном прямолинейном канале описывается квадратичной функцией глубины (парабола Пуазейля). Это позволяет согласовать редуцированную модель (7) с моделью ламинарного течения в СОМБОЬ, где численно решаются трехмерные уравнения Навье-Стокса [3].
На рисунке 1 приведены графики изменения продольной скорости по глубине потока. Сплошной линией нанесена скорость, полученная по формулам (7), а штрихов - рассчитанная программным комплексом СОМБОЬ.
Дно потока соответствует значению г = 1, а поверхность г = 0 преобразованной безразмерной координаты.
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОТОК
Для расчета турбулентного течения в СОМБОЬ была выбрана к - е модель турбулентности. Скорость турбулентного потока в редуцированной модели определялась формулами (1), (2) при вы-
0,8 1 и, м/с
Рис. 1. Изменение продольной скорости по глубине ламинарного потока
боре функционального параметра турбулентной вязкости вида ^(г ) = с 1+ с 2 г + с3 г2. Коэффициенты с1 (/ = 1, 2, 3) находятся из условия корреляции скорости модельного и эталонного потока и имеют значения с1 = 1,45; с2 = -10-3; с3 = 0,83.
Графики изменения продольной скорости по глубине потока приведены на рисунке 2. Сплошной линией нанесена скорость, полученная по формулам (1)-(3), а штрихов - рассчитанная программным комплексом СОМБОЬ.
На рисунке 2 приведены данные турбулентного потока, по которому была проведена калибровка модели. Рисунок 2а соответствует расчету, при котором использовалось сгущение конечноэле-ментной сетки в придонном пограничном слое, что приводит к более точному результату, но заметно увеличивает время расчета.
На рисунке 3 приведены данные вычислительных экспериментов для турбулентных потоков, значение максимальной продольной скорости которых отличается от аналогичного значения для эталонного потока в меньшую (рис. 3а) или большую (рис. 3б) сторону на 20% (сгущение конечноэле-ментной сетки в придонном пограничном слое не используется).
Рис. 2. Изменение продольной скорости по глубине эталонно- Рис. 3. Изменение продольной скорости по глубине потока: го турбулентного потока: при расчете с мелкой сеткой в погра- медленное течение (а); быстрое течение (б) ничном слое (а); при расчете без с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.