мально к набегающему сверхзвуковому потоку. Все представленные результаты получены численным решением кинетических уравнений с Я-модельным (см. [7]) и 8-модельным (см. [8]) интегралами столкновений для двух- и одноатомного газов соответственно. Обе модели обеспечивают правильный переход к уравнениям сплошной среды при малых числах Кнудсена. Для двухатомного газа используется зависимость частоты столкновений от поступательной и вращательной температур (см. [9], [10]), аппроксимирующая имеющиеся экспериментальные данные работы [15] для азота. Полученные результаты позволяют проанализировать картину сверхзвукового обтекания пластины азотом для практически произвольной степени разреженности газа.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУХАТОМНОГО ГАЗА
Рассмотрим поперечное обтекание разреженным двухатомным газом пластины нулевой толщины и конечной ширины Ь. Невозмущенный поток характеризуется плотностью птемпературой Тм и скоростью и„. Температура поверхности пластины задана и равна Т„. Введем систему координат: ось х направим по нормали к пластине в направлении скорости набегающего потока, ось у - вдоль пластины, ось г - по размаху пластины. Считаем пластину однородной, функция распределения не зависит от г.
Будем предполагать, что температура газа не слишком высока, так что колебательные степени свободы не возбуждены, и не слишком низка, так что вращательные степени свободы можно рассматривать классически. Для описания состояния двухатомного газа будем пользоваться функцией распределения /У, г, X, е), зависящей от времени t, пространственной координаты г, скорости молекулы X и энергии вращательного движения е. Модельное кинетическое уравнение для функции / берется в виде (см. [7])
1 + «- S + 5, | = f - f> + v-<■' - f) •
(1.1)
Здесь V,. и vt - частоты неупругих и упругих столкновений, которые выражаются через макропараметры; /г и/ - функции распределения частиц, испытавших неупругое и упругое столкновения. Введем функции (см. [7])
fo(t, r, 5) = Jfde, fi(t, r, 5) = Jefde.
Умножая уравнение (1.1) последовательно на 1, е и интегрируя по переменной е, получаем замкнутую систему уравнений для /0, /1:
где
+ 5 - if° + 5 y if° = Vr (fo- fo) + v-(fO- f0 ), f + 5-^ + 5yd£-- Vr(fi-f 1) + Vt(f1-f1),
Vr = V- = 1-1
(1.2)
fO = fu( T)
■ , 2 , q'a v af v2 1 + -Й0- —
15 0 pRT у 2 RT 2)_
f0 fM( Tt)
1 + 2_qa va
15 ptRTt 1.2 RTt 2)_
fr1 = mRTfM( T)
t
1 + jL, qaf v2 5 1+ 15 ®0 p RT у 2 R T 2
+ rn1 (1-5)
qav a pRTJ
f = mRTrfM( Tt)
1 + 2-qaZaf v2 5^ + ( 1 - 5) qrava
15 ptRTt U RTt 2j ( ) ptRTr
0
0
/М = -^-—^ХРI -Т72-1, У i = ^ - иг, 5 = ^
(2пЯТ)3'2 V 2ЯТГ i ^ " тпБ-
Здесь т - масса молекулы, ц = ц(Тх) - вязкость газа, п - плотность, и = (иъ и2, и3) - вектор скорости, Т, Тг - температуры поступательной и вращательной степеней свободы, Т - температура,
- тепловые потоки, соответствующие переносу поступательной и вращательной энергии, В -коэффициент самодиффузии; величина 2 показывает, сколько столкновений приходится на одно вращательное. Предполагается суммирование по греческим индексам.
Макропараметры газа выражаются через функции /0, /1 по формулам
п =
| /о dX, nUi = d£, 2 тпЯТ( + 2 тпи2 = | т-/^,
г
qi
2
I V т/Х, тпЯТг = J/ldX, ъ = | V/, (1.3)
5 3
2 тЯТ = 2- тЯТх + тЯТг, р = тпЯТх, р = тпЯТ.
Чтобы сделать полностью определенной систему (1.2), (1.3), необходимо задать конкретные выражения для ц, 2, 5, ю0, ю1. Вязкость ц и величина 2 выбираются в виде (см. [9])
ц( Т,) = ц( Т *) ¿2/3'у( X), X = Т/ Т *, у(0 = 0.767+ 0.233Г1/бехр [-1.17(X -1)],
= 3 (^Г0.461 + 0.5581 (Т) + 0.0358( ^ '
2 (Тг) 4 П ^ ^ +8 V Т
Выражение для 2 аппроксимирует результаты из [15]. Параметры ю0, ю1 выбираются из условия совпадений значений коэффициента теплопроводности, полученного из модельного уравнения, и экспериментальных данных и зависят от газа, для которого производится расчет. Для азота (см. [11]) имеем
Т* = 91.5 °К, ю0 = 0.2354, ю1 = 0.3049, 1'5 = 1.55.
Граничные условия задачи таковы. На бесконечности вверх по течению задавалась равновесная функция распределения с макроскопическими параметрами п., и., Т.. Для/0,/1 имеем на бесконечности условия
/0 = -- 3-2ехр [-(X - и.)2'Т.], / = тЯТ./{).
(2 п ЯТ.)
На поверхности пластины функция распределения отраженных молекул задавалась в виде
п 2 X
/0м, = —^—ехр(-Х'Та), = тЯТа/0для ^п >0. (1.4)
( 2п ЯТ!)
Плотность отраженных частиц п„ находится из условия непротекания:
2П
- N, N = -
2ЯТа 1п < 0
Здесь N - поток падающих частиц. Параметры Та, Тга определяются из условий баланса поступательной и вращательной энергии газа при его взаимодействии со стенкой (см. [12], [13]):
тЯТ а = (а, + аГ)(р - тЯТк\ + 1 аГ М - тЯТ>
тЯТга = N - («г + аг- тЯТ^ + 2аГ(Е - тЯТ^,
где
х 2
Е = - | ^^/а^х, Е = - | /х.
^ < а ^ < а
Здесь аг, аг - коэффициенты аккомодации поступательных и вращательных степеней свободы
соответственно; коэффициенты а'г, а^ характеризуют переход энергии из поступательных степеней свободы во вращательные и наоборот при взаимодействии газа со стенкой. Значения аг,
г í
аг, аг, аг определяются из условия согласования расчетных и экспериментальных данных.
Согласно кинетическому уравнению, краевые условия при х —► . также должны быть выставлены. Принималось, что вниз по потоку при х > 1 функция распределения близка к локаль-но-максвелловской. В практических расчетах данное условие выставлялось на правой границе расчетной области. При этом неизбежные ошибки, связанные с таким заданием граничного условия на бесконечности, практически не распространяются вверх по потоку в силу сверхзвукового характера течения.
2. УПРОЩЕНИЕ ЗАДАЧИ
Перейдем к безразмерным величинам, выбрав в качестве масштабов пространственных координат, времени, плотности, скорости, температуры и вязкости, соответственно, величины
Ь, и,ЩТх, п„, 72дТ:, Т., 156 тп^ 2п ЯТД„,
в качестве масштабов потоков (поступательной и вращательной) энергии и функции распределения /0,/ - соответственно,
тп.( 2 ЯТ.)3/2, п.( 2 ЯТ.) ~3/2, тп. ЯТ.( 2 ЯТ.) ~3/2.
Здесь - длина свободного пробега в невозмущенном газе. В дальнейшем безразмерные величины обозначаются теми же буквами, что и соответствующие им размерные. Следуя [16], понизим размерность задачи, проинтегрировав по ^ и перейдя от/0, / к тройке функций g = g2, g3y по формулам
§ = |(/а,£/а, /1)
В безразмерных переменных модельное кинетическое уравнение записывается в форме
I + ^Ц + - ■ = V+ V,С - (Уг + V,)§.
Величины Сг, С,, входящие в правую часть уравнения (2.1), имеют вид
гг (7лГ1 -и 8 Ч хУх + Ч уУу(У2 + V2 ~
= Ит(Т) 1 + 15 юа рТ У у (—Т^ "2
(2.1)
0 = gm( Т,)
1
г .г ,2,2
Ух + ЧуУу(Vх + Уу _2
15 Р,Т,
Т
г1
О = 2 Tgm (Т)
г. г 1 г /-2.2
1+ 8 _ Чх Ух + ЧуУу (У х + Уу ,
1 + 15 ®а РРТ I ~ 1
02 = 1 Ttgm ( Т г )
г .г ,2,2
х У х + ЧуУ у ( V х + Уу _ 1
15 рТ
Т
G3 = T
G1 + 4Qi( 1- 8)gÑ(T)
r r
v x + qyvy
pT
G = Tr
G1 + 4( 1- 8)gm(tt)^p^y
где
gM( T) = птexp (- t
2 . 2 V x + Vy
^ и = T213 V(B) )' И T V( BTt
_ T „
t)' B = T*'
7(T T ) 3V ( BTt) 9BTt (T,
Z(Tt> Tr) = -
4 (BTt)
1/6 BTt + 8 V T
0.461 +0.55811 T) + 0.0358"
Tt
Tt
Безразмерные частоты неупругих и упругих столкновений принимают вид
1 nTt 1
v = —
r 5Vñ Kn^tZ
_ v = -8__^ nTt ( 1 -1
где Кпм = Хм/Ь - число Кнудсена набегающего потока.
Макропараметры газа выражаются по следующим формулам:
n =
\Я&Лу, пих = ^х^у, пиу = ^ ^х^у,
3 пТ + п (Ы2Х + Ы2у) = + ^ + £ ] ^у, пТг = ^«у, (2.2)
() = 11( ^у)[( + ^)£ + &2]^xd%y, (Чх, Ь) = 21( ух' уу)&3^
Сформулируем граничные условия задачи в безразмерных переменных. На бесконечности вверх по течению g задаются по формулам
(£1, £з)» = 1 Г1,1, 1)ехр [- (^ - ^)2- ^].
(2.3)
Граничные условия (1.4) на поверхности пластины принимают вид
tel, g2, g3 )w = M 1 1 Ta, Tal exp [-(^ + ф/Tj для > 0, П ТУ 2 )
rt rrrF t
a, T a находятся по формулам
= N - («t + «r)VN - Tw) + 2«r(2N - T
T'a = 2N - (ar + ar)(2| - Twj + 2ar(N - Tw),
E = -2 J + ^)g1+ g2dx^, E = -^j J t,ng3d£,xdt,y
In < 0
Ni = - J ^ngid^xd^
L < 0
In < 0
ynw = 2JTN
r
3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Расчет обтекания пластины одноатомным газом ведется на основе 8-модельного кинетического уравнения (см. [8]). Для плоских течений функция распределения/зависит от времени г, пространственных координат х,у и трех компонент молекулярной скорости (^1, = (^х, Ъу,, Понизим размерность задачи, перейдя от / к паре функций ф = (ф1, ф2) по формулам
Ф = |( /Л7)тмг.
В безразмерных переменных модельное кинетическое уравнение для ф имеет вид
Эф й Эф й дф , ,,+ ,. 8 пТ 1 „и
^ = -цх+ ф -ф), V = —-—-—, ц = Т , дг Ъхдх Ъуду у ^' Кп.'
ф+ = фМ(1 + 5(1 - Рг)(Яхсх + SyСy)(с^ + с2 - 2)),
Ф+ = 1Т ф М (1+4 (1-Рг)( ^хС х + SyСy )(с2 + с2 -1)),
(3.1)
Ф/ т"т\—1 / 2 2Ч гт1—1/2 о ^ —1 т>—3/2
М = п(пТ) ехр (- Сх - Су), сг = VТ , = 2чгп Т .
Здесь Рг - число Прандтля, которое принималось равным Рг = 2/3. Макропараметры газа выражаются через ф в виде интегралов по молекулярной скорости:
п = !ф1 ^х^ (их, иу) = 1х, ^у)фЛЛу,
3 пТ + п( и2х + и2у ) = + ^ )ф 1+ ф2 ] ^ х^у,
( Чх, Чу) = 11( Ух, Уу)[(V2 + У2у )ф 1+ ф2 ] Л^х^у.
На пластине принималось граничное условие диффузного отражения с полной тепловой аккомодацией:
ф" = (1' 1Т*)ехр ["(^ + €)/Т*] для > а, (3.2)
где плотность п* отраженных молекул находится по формулам
Е 1~к
Та = аеТ* + (1- аЕ) N, п* = 21 ^г N,
Ег = -1 \ ^ ((£ + ^ )ф 1+ ф2) ^у, N = - | ^у.
< а < а
Здесь аЕ - коэффициент аккомодации энергии. На бесконечности вверх по течению имеет место условие невозмущенного потока
ф(г,у,^Ду) = ф(г,*,±~ДхДу) = П( 1,2)ехр[-(^- и.)2 + ф.
4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Сформулированная задача решалась численно методом конечных разностей. Как обычно, в расчетах выбиралась конечная область изменения переменных х, у, так, чтобы влиянием расположения ее границ, соответствующих бесконечности, можно было пренебречь. Для больших чисел Кнудсена Кп. > 1 использовался улучшенный вариант метода (см. [17], [4]). Поскольку для малых чисел Кнудсена сходимость данного метода существенно ухудшается (см. [18]), для Кп. < 1 использовался квазимонотонный метод сквозного счет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.