ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 1, с. 78-84
УДК 533.6.011.7
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА ВНУТРИ ВИБРИРУЮЩЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
© 2015 г. А. А. Губайдуллин1,2, А. В. Яковенко1
1Тюменский филиал Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
2Тюменский государственный университет E-mail: annyakovenko@yandex.ru Поступила в редакцию 21.01.2014 г.
Проведено численное исследование вибрационного воздействия на цилиндрическую полость, внутри которой находится вязкий совершенный газ. Границы полости поддерживаются при постоянной температуре, равной начальной. Задача решена в двухмерной осесимметричной постановке. Выполнено сравнение численного решения задачи с аналитическим в линейном приближении. Описаны нелинейные эффекты.
DOI: 10.7868/S0040364415010081
ВВЕДЕНИЕ
Вибрация может быть как сопровождающим фактором при работе различных технических устройств, так и частью технологического процесса. Наличие пусть даже маленьких пустот или трещин в материале, из которого изготовлено изделие, подверженное высокочастотным вибрациям, может привести к нарушению работы механизма, вплоть до серьезных аварий. Поэтому важно изучить процессы, протекающие в полостях при наличии вибрационного воздействия. Различного рода вибрационным воздействиям на полости (трубы) посвящен ряд экспериментальных, теоретических и численных исследований [1—11]. В работе Саенгера и Хадсона [1] экспериментально и теоретически (в одномерной постановке) исследованы волновые процессы в трубке Кундта при малой амплитуде колебаний поршня и частоте, близкой к собственной частоте системы. В работе [2] описано экспериментальное и теоретическое исследование колебаний в резонансной трубе, заполненной воздухом. Результаты показали охлаждение в среднем за период участка в центре трубы, на котором скорость принимает максимальное значение, и нагрев в среднем за период у закрытого конца трубы и у поршня, где находится узел скорости. В [3] волновые процессы описаны в одномерной постановке на основе численного интегрирования уравнений газовой динамики, рассмотрены переходные процессы из начального состояния до периодически повторяющегося режима без жестких ограничений на амплитуду вибрации. Частота вибрации взята в окрестности половины собственной частоты си-
стемы. В [4] проведено сравнение решения задачи при двух моделях идеального газа, отличающихся уравнением энергии. Изучен переходный режим и режим установившихся колебаний, а также влияние начальных условий. Результаты численного решения сравнивались с аналитическими и экспериментальными результатами. В [5] приведен полный обзор экспериментальных и теоретических работ по исследованию нелинейных колебаний газа в трубах с различными условиями на концах. В [6] выполнено аналитическое исследование акустического течения, образованного стоячими волнами в трубе произвольной ширины, с учетом теплопроводности и зависимости вязкости от температуры. Получено решение задачи в линейном приближении. Рассмотрены как плоский двухмерный случай, так и осесимметричный. В [7] численно исследовано акустическое течение в прямоугольной полости с разнонагретыми горизонтальными границами и адиабатическими вертикальными. Волновое движение вызвано вибрацией левой границы полости с частотой, приводящей к образованию стоячих акустических волн. Описано влияние вибрации на тепловую конвекцию. В работе [8] проведено численное исследование нелинейного акустического течения в прямоугольном закрытом канале при наличии стоячих волн высокой интенсивности. Получено существенное искажение акустического течения, смещение центра вихрей к концам канала, определена средняя за период температура в канале. В [9, 10] проведено численное исследование нелинейных эффектов при вибрационном воздействии на полость, представляющую собой
плоский слой газа, при изотермических [9] и адиабатических [10] граничных условиях. Выполнено сравнение с аналитическим решением задачи в линейном приближении. В [11] при той же постановке задачи описан режим установившихся колебаний при двух типах граничных условий.
В данной работе в двухмерной постановке исследован процесс теплообмена и распространения волн в цилиндрической полости, подверженной вибрационному воздействию. На стенках полости заданы условия прилипания и постоянная температура. Частоты вибрации выбраны в соответствии с [9—11]. Диапазон частот вибрации включает в себя как слабые воздействия, приводящие к малому изменению параметров, так и сильные, ведущие к проявлению нелинейных эффектов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим цилиндрическую полость (трубу) длиной Ь и диаметром 2М с непроницаемыми торцами (рис. 1). Пусть (х', г') — неподвижная система отсчета, (х, г) — подвижная система отсчета, связанная с вибрирующей полостью. Полость заполнена совершенным вязким газом (воздухом). Пусть изначально газ в полости находится в состоянии покоя при постоянной температуре Т0 и постоянном давлении р0. Система выводится из равновесия вибрационным воздействием Аео8(ю?) с постоянными амплитудой А и частотой ю. Боковая поверхность цилиндра и его торцы поддерживаются при постоянной температуре, равной начальной. Коэффициенты теплопроводности, теплоемкости и вязкости будем считать постоянными.
Система уравнений, описывающая движение газа относительно вибрирующей полости в цилиндрической системе координат (X, К) в безразмерных переменных имеет вид
дР + +1 дКР V = о
дт дХ Я дЯ ,
р ди + р и ди + р V ди
дх дХ дЯ
+ Ш
ЯдЯ\ дЯ
дР + N № +
Х
дХ2
N [ди +1Л (У )
з (дх2 я дХ( дя !!
+ рАО.2 ео8(Ох),
+
дх2
р дУ + р и дУ + р V дУ = -дР + N
дт дХ дЯ дЯ
+ 1_д_ (яЩ ) + N (1_д_ (ядУ ) №
ЯдЯ\ дЯ)) 3 \ЯдЯ\ дЯ! дЯ\дХ
- 4 N
3 Я2
Газ -> —
-у-
Аооз(ю^)
2М
Ь
Рис. 1. Исследуемая область.
р 50 + р и д® + р V д^НО-н1А (Я д®) ]-
дт дХ дЯ ^дХ2 Я дЯ\ дЯ!)
- (г- ( + Я д-Я)-3 г (г-1 (§ +
+1 дЯГ )2 + у (У-(ди + д!\2
Я дЯ !
\дЯ дХ!
+ - (г- 1)N [ ((Х)() $), р р (© +1).
У
Начальные и граничные условия примем в виде т = 0: и = 0, V = 0, © = 0, Р = 1/у- 0.71, р = 1, Х = 0: и = 0, V = 0, 0 = 0, Х = 1: и = 0, V = 0, © = 0, Я = М: и = 0, V = 0, © = 0.
Введены следующие безразмерные переменные и параметры:
Х = х, Я = г ,т = ^0, Р = ,р = р ,0 =
ь ь ь
УР0 р0
т - Т
Т0
и = л, V = г =
- V ук
Р0с0Ьс
-, N =
_ И
Р0СЬ
М ~л А 0 юЬ М = —, А -—, 11 =-, С0
УРо
. Нижним ин-
Ь Ь С0 ^Р0. дексом "0" отмечены параметры невозмущенного газа.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Для численного моделирования был использован метод, описание которого для одномерного случая приведено в [11]. Численная схема является неявной, консервативной и позволяет проводить сквозной счет течений с ударными волнами. В описанных ниже расчетах использовались следующие
значения параметров: у = 1.4, М = 0.02, А = 2, О = = 0.14, 0.29, 0.43, 0.58, 0.72, 0.86, Г = 1.7 х 10-5, N = = 1.2 х 10 5. Расчетная сетка для частот вибрации 0.14, 0.29, 0.43 0.58, 0.72, 0.86, Г = 1.7 х 10-5, N = 1.2 х х 10-5. Расчетная сетка для частот вибрации 0.14, 0.29, 0.43 имела 1002 х 22 расчетные точки, а для ча-
г
X
X
С
С
С
С
0
0
V
0.69 ©
0.005 0
0.005 -0.010
(б) /AN
Jv \ч Гf \% { ' Ч * / /
-X' \\ /.' \\ А \\ //
, / \ V // \\ / / \\ //
■ ■ 2
I
0
50
100
150 т
Рис. 2. Изменение давления и температуры с течением времени при X = 0.25, Я = 0, ^ = 0.14: 1 — численное решение, 2 — аналитическое решение (Ш), 3 — аналитическое решение (2D).
©
0.010 0.005 0
(а)
-0.005
-0.010 U 0.002
0.001 0
0.001
(б)
0.002
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 X
ч ÄO cos (От) sin (О (X - 0.5)) 1
P (X, т) =--—---—--— + -,
v 7 cos (0.50) Y
U(X,т) =
ÄO sin (От) cos (О (X - 0.5))
+ Ä О sin (От),
Р (X, т) 0 (X, т) = (у-1)
: + 1,
Рис. 3. Распределения температуры и скорости по области при Q = 0.14: 1 - т = 99, R = 0; 2 - т = 99, R = = 0.01; 3 - т = 104.2, R = 0; 4 - т = 104.2, R = 0.01; 5 -т = 121, R = 0; 6 - т = 121, R = 0.01; 7 - т = 126.2, R = 0; 8 - т = 126.2, R = 0.01; сплошная линия - численное решение, пунктир - аналитическое (2D).
стот вибрации 0.58, 0.72, 0.86 — 1002 х 32 расчетные точки. Таким образом, на толщину акустического пограничного слоя, которая в безразмерном виде
определяется формулой 5 а = V О, приходилось 8—14 расчетных точек. Шаг по пространству выбирался по методике двойного пересчета Рунге, по времени — исходя из условия устойчивости Куранта.
Можно получить аналитическое решение задачи в одномерной постановке в линейном приближении, без учета влияния боковой поверхности полости [12]:
cos (0.50) _ ÄQ cos (От) sin (О (X - 0.5)) cos (0.5Q) 4ÄO cos (От) sin (О (X - 0.5)) cos (0.50) .
Данное решение описывает процесс установившихся колебаний, т.е. не учитывает свободные колебания, которые возникают в начальной стадии процесса и затухают с течением времени из-за вязкости среды. Волны давления в рамках аналитического решения представляют собой стоячие волны с узлом в центре области. Скорость же принимает в центре максимальное значение (пучность). При численном решении задачи в одномерной постановке [9, 10] было получено хорошее согласование с одномерным аналитическим решением [12], в [9] отличие наблюдается лишь вблизи границ полости, поскольку в аналитическом решении не учтена изотермичность границ. В [6] получено аналитическое решение задачи в двухмерной осесимметричной постановке в линейном приближении при условии постоянной температуры боковой поверхности полости. При этом условие на температуру торцов не задавалось.
Рассмотрим случай вибрации с частотой О = = 0.14, наименьшей из выбранного диапазона. На рис. 2 показано изменение давления и температуры с течением времени в сечении X = 0.25. При заданных условиях давление однородно по радиальному сечению. Из рис. 2a видно, что колебания давления хорошо согласуются с одномерным аналитическим решением [12]. Температура, плотность и скорость газа, в отличие от давления, изменяются с радиальной координатой. На рис. 2б проиллюстрировано влияние неодномерности процесса. Видно, что происходит сдвиг фазы и уменьшение ам
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.