ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 5, с. 101-105
УДК 539.12
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ АТОМА В ПОЛЕ ИОНА
© 2004 г. В. И. Савельев, Г. М. Филиппов
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, Чебоксары, Россия
Поступила в редакцию 10.10.2003 г.
Путем применения разностных методов к нестационарному уравнению Шредингера решается ряд задач квантовой теории рассеяния быстрого атома на одном и двух кулоновских центрах. Рассчитаны процессы ионизации, перезарядки, упругого и неупругого рассеяния, процесс туннелирования атомного электрона в поле иона. Выделен вклад основного состояния в задаче эволюции молекулярного иона водорода.
ВВЕДЕНИЕ
Для описания процессов столкновений ионов низких и промежуточных энергий, движущихся со скоростями, меньшими и соизмеримыми со скоростями атомных электронов, обычные методы теории возмущений неприменимы. Это делает особо актуальной разработку новых, не основанных на теории возмущений методов расчета атомных столкновений. Такую возможность дает численное решение многомерного нестационарного уравнения Шредингера.
В настоящей работе временная картина рассеяния атома водорода в поле иона прослеживается при помощи применения метода конечных разностей к нестационарному уравнению Шредингера. В качестве первого приближения движение тяжелых частиц рассчитывается при помощи уравнений классической механики и только движение единственного электрона описывается квантово-механически. Расчеты позволяют проследить всю эволюцию волнового пакета электрона и обладают поэтому большой наглядностью. Как правило, пакет в процессе рассеяния распадается на две или более частей, каждая из которых обладает своими отличительными особенностями. Диффузные части отвечают делокализованным типам движения, в отличие от локализованных частей, которые в ряде случаев можно рассматривать как классические частицы. Оценка вероятностей исследуемых процессов производится путем накопления статистики. Метод может быть применен и в некоторых других задачах, в частности в задаче рассеяния атома на цепочке двух и более рассеивателей, и может служить для проверки точности различных приближений в теории упругого и неупругого рассеяния. В работе применяется система атомных единиц.
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Существуют различные методы численного решения уравнения Шредингера
(0 = - 1 г'1) + и(г'1 г'1) • (1)
Например, в работе [1] использован алгоритм, состоящий из трех операций, выполняющихся последовательно для каждого временного интервала. Схема имеет второй порядок сходимости по времени. В ряде работ [2, 3], применяется соотношение
х, г + Лг) = ехр [-¡Н(х, г)Лгх, г), (2)
более правильно учитывающее эволюцию волновой функции. В [4] применен конечно-разностный метод расцепления операторов в сочетании с быстрым преобразованием Фурье [5].
В данной работе используется разностная схема типа "предсказание-коррекция" [6]:
Ф ,-1
I = -1 (ЛхФ;д + + Л^к)+
■Х - ку к _
-- (Лх Ф, + Л уХ^к + Л^к) + и^к,
(3)
+1
1
=--(ЛхФт+ЛуХ^к+лж,+1)+ и^к,
2 V х цк 1ул ¡¿к £ ¡¿к
■}к 1 чк'
где = *¥(хь у, 1к, г^) - значение волновой функции (ВФ) электрона в точке с координатами х = х0 + + ¡к, у, = у0 + }к, £к = г0 + кк в момент времени = VI (к - шаг по декартовым координатам, т - шаг по времени); Фр и Хук — временные массивы; Лх, Лу,
Лг - разностные операторы, аппроксимирующие вторые производные по декартовым координатам, например
Лх Фцк =
ф,
1;к -2 + Фi +
1 ]к
(4)
Данная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком по Н и первым - по т. Небольшой порядок аппроксимации по т компенсируется устойчивостью схемы. Используя критерий невозрастания амплитуд независимых фурье-мод [7], можно показать, что схема устойчива при т/Н2 < 1/2 для свободного движения (и = 0) и для постоянного потенциала и > -1/2т. В ходе расчета норма ВФ
(х, у, г, г,,)Т(X, у, г, гV)йхйуйг ■■
(5)
* ^ = р2 1, ], к
может незначительно изменяться. Для "коррекции"
,.,
нормы достаточно разделить на р, т.е. произвести замену:
\и
_ 11 т
'к р Чк"
(6)
Использование обычных массивов при расчетах требует большой объем оперативной памяти ЭВМ и больших вычислительных затрат. Поэтому в компьютерной программе реализован алгоритм разреженного массива. Данный алгоритм выделяет память только для тех элементов массива, норма которых больше некоторого £ (для кулоновского потенциала £ можно взять равной
_|_I_I_I_I_I_I_I_I_I_1_
-10
-5
_|_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_|_
10
-5
Рис. 1. Столкновение атома водорода в основном состоянии с энергией 918 а.е. (25 кэВ) с неподвижным протоном. Прицельный параметр равен 0.001 а.е. (0.529 • 10-13 м).
10 8). Если для какого-либо элемента память не выделена, то ее значение в расчетах принимается
за 0. Далее вычисление значений т 1, Фр и Хук производится только в тех случаях, когда в правых частях соответствующих уравнений существуют отличные от нуля слагаемые.
Разностная схема (3) тестировалась для случаев свободного движения волнового пакета т(г, г =
= 0) = ехр(-г2/2 + 1кх)/ , для стационарных состояний сферического осциллятора и для движения в кулоновском поле путем сравнения значений ВФ точного и численного решений.
РАСЧЕТ СТОЛКНОВЕНИЙ
В качестве бомбардирующей частицы в данной работе взят атом водорода в основном состоянии. Мишень представляет собой жестко закрепленную в пространстве частицу (или цепочку частиц) с известными потенциалами взаимодействия с протоном и электроном. Начальное расстояние между атомом и мишенью достаточно велико (Ь = 10 а.е.), чтобы можно было пренебречь их взаимодействием.
В данной постановке в начальный момент времени атом можно рассматривать как свободную частицу, движущуюся со скоростью V. В этом случае волновые функции стационарных состояний электрона в движущемся атоме получаются из волновых функций электрона в неподвижном атоме путем перехода к галилеевым координатам и умножения на множитель ехр['(кг - юг)],
тк(г, г) = тк0)(г - К(г), г)ехр[ 1 (кг - юг)], (7)
где к = V, ю = у2/2, К(г) - радиус-вектор ядра движущегося атома, тк0) (г, г) = ук0) (г)ехр(-г'£кг) -волновые функции стационарных состояний электрона в неподвижном атоме.
Один из результатов проведенных расчетов показан на рис. 1. Общим для всех рисунков данного типа является малая относительная величина плотностей вероятности распределения электронов, оторванных от атома вследствие ионизации. Эти электроны распределены по большому объему и вследствие этого, как правило, не видны. Исключение представляют те случаи, когда оторванные электроны сгруппированы в пакет, не успевший расплыться к моменту наблюдения (как, например, на рис. 1). Здесь прицельное расстояние отлично от нуля, но много меньше размера атома. Атомный протон рассеивается на большой угол, унося с собой незначительную долю первоначального волнового пакета электрона. Основная часть пакета остается в связанном состоянии с рассеивателем, фиксируя тем самым значительную вероятность перезарядки. Замет-
х
5
0
5
г
ная часть пакета "сбрасывается" атомом и, двигаясь в первоначальном направлении, постепенно расплывается, внося заметный вклад в вероятность ионизации. На рис. 1 показано состояние системы в момент времени, когда налетающий протон уже столкнулся с рассеивателем и движется под острым углом к первоначальному направлению движения, а электронный пакет связывает оба протона и пока еще не разделился на две слабо взаимодействующие части. Начальная скорость атома водорода (в атомных единицах) равна (0, 0, 1). Текущее значение вектора скорости равно (0.8397, 0, 0.5429). Модуль этого вектора меньше единицы благодаря тому, что электрон оказал тормозящее воздействие на процесс разлета.
При лобовом столкновении вследствие большой скорости атома (около 1 а.е.) при приближении к рассеивателю поляризация электронной оболочки остается незаметной вплоть до того момента, когда электронное облако достигнет рас-сеивателя. Дальнейшая эволюция волнового пакета электрона содержит явления колебательного типа вследствие переходов большей части пакета от одного протона к другому с образованием короткоживущего состояния, подобного иону гелия. При отражении ядра налетающего атома от рассеивателя часть электронного облака проходит "по ту сторону" от рассеивателя, в дальнейшем расплываясь и образуя состояния ионизованного атома. Отраженный атом теряет часть своей первоначальной энергии и уносит с собой только часть начального электронного облака, которое на начальном этапе обратного движения оказывается сильно вытянутым в сторону рассеивателя.
На рис. 2 показана эволюция волнового пакета электрона при столкновении атома водорода в основном состоянии с энергией 918 а.е. (25 кэВ) с двумя неподвижными протонами, выстроенными параллельно начальной скорости атома на расстоянии 2 а.е. Прицельное расстояние равно 1 а.е. На рис. 2а показано начальное состояние, когда атом еще не вступил во взаимодействие с протонами. Затем происходит его быстрая поляризация, и по мере продвижения вперед электронный пакет претерпевает сильные деформации. На рис. 2а, б и в показаны линии уровня функции
/ (X, г, г) = ; (X, у, г, г )|2 ёу -
х, а.е.
(а)
-10
х, а.е.
-10
х, а.е.
-5
-10
5 10
г, а.е.
(б)
-5
5 10
г, а.е.
(в)
1
--------
1 1
-5
10 г, а.е.
Рис. 2. Столкновение атома водорода в основном состоянии с энергией 918 а.е. (25 кэВ) с двумя неподвижными протонами для разных значений г, а.е: 0.0 (а); 6.25 (б); 12.50 (в). Прицельный параметр столкновения с первым протоном равен 1 а.е. (0.529 • 10-10 м). На графиках показаны линии уровня, получающиеся интегрированием плотности вероятности по перпендикулярному к плоскости рисунка направлению.
-Цт, л к 2н . )=1
представляющей собой плотность вероятности, проинтегрированную по у (ось у перпендикулярна плоскости рисунка). Ядро движущегося атома, обладающее большой энергией, почти не изменя-
ет своей первоначальной прямолинейной траектории и уносит с собой часть электронного пакета. Однако большая часть пак
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.