МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.3:534.1
© 2008 г. С.А. БОЧКАРЁВ, В.П. МАТВЕЕНКО
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ДИНАМИКУ ПОВЕДЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ
Рассматривается конечно-элементный алгоритм, предназначенный для исследования динамического поведения упругой цилиндрической оболочки, содержащей неподвижную или текущую жидкость. Для опирания жидкости используется потенциал возмущений скорости, уравнение для которого с соответствующими граничными условиями решается с помощью метода Буб-нова-Галеркина. Для оболочки используется вариационный принцип возможных перемещений, в который включается линеаризованное уравнение Бернулли для вычисления гидродинамического давления, действующего со стороны жидкости на оболочку. Решение задачи сводится к вычислению и анализу собственных значений связанной системы уравнений, полученной в результате объединения уравнений для потенциала возмущений скорости и перемещений оболочки. Рассмотрен ряд тестовых задач, в которых помимо сравнения результатов расчетов с ранее опубликованными экспериментальными, аналитическими и численными данными, также исследуется динамическое поведение системы "оболочка-жидкость" при различных граничных условиях для потенциала возмущений скорости.
1. Введение. Известно, что для круговой цилиндрической оболочки с протекающей внутри нее жидкостью характер динамической неустойчивости зависит от вида граничных условий на ее торцах. Если для двустороннего свободного описания [1, 2] или защемления [3] потеря устойчивости осуществляется в виде дивергенции, то в случае оболочки, защемленной на том торце, где входит поток, и свободной на другом, потеря устойчивости осуществляется в виде флаттера с одной степенью свободы [3, 4]. Классифицируя последние граничные условия как несимметричные, в [5] делается вывод об особенном механизме потери устойчивости и для других несимметричных способов закрепления, например, типа защемление - свободный край.
В перечисленных работах применяются аналитические методы решения и для описания потенциального течения идеальной сжимаемой жидкости используется линеаризованная потенциальная теория, в которой в качестве единственной искомой величины является потенциал возмущений скорости. Для решения поставленной задачи различными методами (преобразование Фурье, метод разделения переменных) выводится аналитическое выражение для давления, действующего со стороны жидкости на оболочку. Однако эти соотношения не учитывают вид граничных условий для потенциала возмущений скорости на входном и выходном сечениях оболочки.
Исследование динамического поведения цилиндрической оболочки с жидкостью осуществлялось и различными численными методами. Для анализа открытых оболочек в [6] используется метод конечных элементов с гибридным конечным элементом, в котором функции перемещений определяются непосредственно из уравнений теорий оболочек Сандерса. Как и в работах, использующих аналитические методы решения, здесь в рамках потенциальной теории для давления текущей несжимаемой жидкости получено явное выражение. Аналогичный подход для вычисления гидродинамического давления использован в [7] при исследовании ортотропных предварительно нагруженных ци-
линдрических оболочек. Сжимаемость текущей жидкости учтена в [8]. В этой работе представлен конечно-элементный алгоритм, в котором предварительно нагруженная круговая цилиндрическая оболочка описывается в рамках трехмерной теории упругости. Гидродинамическое давление определяется из уравнений Эйлера с учетом специально сконструированных динамических граничных условий, учитывающих течение жидкости. Потенциальная теория для описания жидкости используется также в работах [9] и [10]. В [9] представлен конечно-элементный алгоритм, предназначенный для исследования многослойных вязкоупругих оболочек, взаимодействующих со сжимаемой жидкостью. Для уравнения потенциала возмущений скорости, как и в настоящей работе, применяется метод Бубнова-Галеркина. Полученные в данной работе результаты для консольных оболочек качественно отличаются от результатов, полученных аналитическими методами [3]. Также в этой работе установлена зависимость между критической скоростью потока жидкости и номером гармоники с низшей частотой колебаний вне зависимости от геометрических параметров оболочки и граничных условий. Аналогичный подход используется в [10] для исследования композитных оболочек. В [11] для несжимаемой жидкости используется метод граничных интегральных уравнений совместно с методом отображений.
В большинстве из перечисленных выше численных работ для описания жидкости, как и в настоящей работе, используется потенциальная теория. Однако и в этих работах не приводится информация о граничных условиях для потенциала возмущений скорости. Поэтому, целью данной работы является анализ различных граничных условий для потенциала возмущений скорости и оценка их влияния на динамическое поведение системы "упругая оболочка - жидкая среда".
2. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассматривается упругая цилиндрическая оболочка длиной Ь, радиусом Я и толщиной Н. Внутри оболочки находится идеальная сжимаемая жидкость, которая является покоящейся или течет со скоростью и. Для безвихревого движения жидкости в области V р вводится в рассмотрение потенциал возмущений скорости ф, который в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае малых возмущений описывается следующим уравнением [12]:
у2ф. д!ф + 1д!ф + д!ф + 1дф = I
Эг2 г2 Э02 э х2 г дг с2
д ггд--т + и -Т
дг д х.
2
ф (2.1)
где с - скорость звука в жидкости. Давление жидкости Рр на упругую конструкцию вычисляется по линеаризованной формуле Бернулли
= -Р/(дф + идгф) на - Б (2.2)
Здесь рр - удельная плотность жидкости; з - меридиональная координата оболочки; Бр Б,, - площади, ограничивающие объемы жидкости и оболочки, соответственно. На поверхности раздела оболочка - жидкость задается условие непроницаемости
дф д^ ггдw „ „
-г3- = т—+ и г— на Бр п Б, (2.3)
дп дг дз Iя
где п - нормаль к поверхности, ^ - нормальная составляющая вектора перемещений оболочки. Кроме условия (2.3) может быть задан один из следующих вариантов граничных условий для потенциала возмущений скорости на входе и выходе в оболочку
дф/дх = 0 (2.4)
ф = 0 (2.5)
Условие (2.4) соответствует равенству нулю осевой скорости жидкости, а условие (2.5) предполагает отсутствие возмущенного давления. Для текущей жидкости возможно также задание условия дф/дх = -1/идф/дг, которое при выводе разрешающих соотноше-
ний не будет приниматься во внимание, поскольку в рассмотренных ниже примерах учет этого условия не оказывает существенного влияния на получаемые результаты.
Уравнение в частных производных для потенциала возмущений скорости (2.1) с граничными условиями (2.3)-(2.5) приводится к системе уравнений с помощью метода Буб-нова-Галёркина [13].
Выберем пробное решение в следующем виде
Фа = l*aF(r, 8, х)
(2.6)
i = i
Здесь Шф - число подобластей (конечных элементов), на которые разбивается область Ур фа1 - узловые значения фа; Е1 - глобальная базисная функция (функция формы), одинаковая для всех элементов.
Выражение (2.6) можно записать в матричной форме для отдельного, например, трехузлового конечного элемента
3
(Фа} = хФаЛ = [ Л{ф6}
I = 1
Здесь {ф6} - вектор узловых неизвестных; [Р] - матрица функций формы.
В результате подстановки выражения (2.6) в исходное уравнение (2.1) получим отличную от нуля невязку Яф, выраженную в виде
R
Ф
V2 Фа -12
С
=f + U-f dt д х.
фа
(2.7)
По методу Бубнова-Галеркина неизвестные коэффициенты фа1, входящие в выражение (2.6), должны определяться из решения следующей системы уравнений
J Rф FkdV, k = 1...
m,
Ф
(2.8)
Здесь ¥к - те же самые функции, которые фигурируют в выражении (2.6). В результате подстановки выражения для невязки (2.7) получим
(V>a, Fk) -
2
1 д_Фа
c dt
, Fk
Л Г2 U
2 dtdx
, F
2
г2 О ф
M
д х
2 ' Fk
0
(2.9)
Здесь М = и/с - число Маха, а слагаемые в круглых скобках представляют внутренние произведения, которые определяются следующим образом: (р, 2) = | .
Аналогичным образом вводятся невязка и разрешающая система уравнений для условия (2.3) на совместной поверхности оболочки и жидкости
Як = дфа/дп - дц>а/дг - идwa/дs
wa = £ waiNW(s, 8) i = i
j RwFrdS = 0, r = i.
ms
Эф,
д w
dWa
(2.10)
(2.11)
j daFrds = j ~dfFrds+u j idsFrds
m
2
V
m
Sf П Ss
Sf n Ss
Sf n Ss
Sf n Ss
Здесь т, - число конечных элементов, на которые разбивается оболочка; М - функции формы нормальной составляющей вектора перемещения оболочки.
Одним из существенных преимуществ метода Бубнова-Галеркина является возможность понижения порядка старшей производной за счет перенесения этого порядка на производную поверочной функции. Преобразуем первое слагаемое в (2.9) по первой формуле Грина
Г ^2ф р Гдфар Г Гд Рк дфа 1 д Рк дфа д Рк дФа) п
/V фаРк<1У = 1 дпаРкЛБ - + + уу (2.12)
У/ Б/ У/ Представим поверхностный интеграл в (2.12) в виде трех интегралов (по образующей поверхности и основаниям):
1 Чпа^ = 1 +1 +1
(2.13)
За счет граничных условий (2.4-2.5) два последних интеграла в (2.13) равны нулю, а первый интеграл преобразуем с учетом невязки (2.11). Интегрируя последнее слагаемое в (2.9) по частям и подставляя во все полученные интегралы выражения (2.6) и (2.10), после сокращения и смены знаков получим
i
I = 1
Г(д Р1 д Рк 1 д Р1 д Рк ,д Р1 д Рл
кЭ7¡дТ + ^эё Э0- +(1-М)их эт)йУ
1-у
Фа/ +
i
I = 1
1 1 РР^У
i
I = 1
1-у
г 2 ид Р1Т7 „, 1 -д-ркау
ф аI -
- i
1 = 1
1 К*РкйБ
т
:аг - I 1 = 1
г дм: -1 и 1м~ рй
= 0 к = 1. тф
Здесь точка означает дифференцирование по времени. Полученное уравнение можно представить в матричном виде
[К + Аф]{ф-} + [Мф]{фа} - [Сф]{фа} - [Сф]{:} - [Аф]{} = 0
[ К ф] = ц
%Р]Тд.ш 1дРТдР' э [ р] тд [ р]Л
д г д г + г2 д 0 д 0 + дх дх
тф Ур\ У
йУ
[мф] = ц \ [р]т[р]йу, [сф] = i 1 [р]т[м:]йб
тф У
фУ /
0/1 ю,
(2.14)
[ сф] = -Ц
2и д[ Р] т
с2 дх
[ Р ] йУ
тф У
/
Т д[ N.
[ Аф] = I 1 и [ Р]Т —ч-^йБ, [ Аф] = -Ц М
2д[ Р] ' д[ Р] дз д з
йУ
тф У
/
Б
Б/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.