№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 536.2:532.5
© 2008 г. КУЗНЕЦОВ Г.В., МАКСИМОВ В.И.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УСЛОВИЙ НЕОДНОРОДНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА СМЕШАННУЮ КОНВЕКЦИЮ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ С ЛОКАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ВВОДА И ВЫВОДА МАССЫ*
Решена задача смешанной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной области с источниками ввода и отвода массы в рамках приближения Бусси-неска с учетом неоднородного теплоотвода на внешних границах области решения. Область решения была ограничена двумя вертикальными и одной горизонтальной стенками конечной толщины и одной свободной поверхностью. Рассмотрена плоская нестационарная смешанная конвекция в модели Навье-Стокса для жидкости и теплопроводности для твердых стенок. Распределения гидродинамических параметров и температур при различной интенсивности теплоотвода на внешнем контуре рассматриваемой полости показывают, что изменение интенсивности теплоотвода на границах области решения приводит к масштабным изменениям структуры течения и температурных полей жидкости.
Введение. Режим смешанной конвекции типичен для многих задач теплоэнергетики, строительства, химической технологии и других отраслей промышленности. В большинстве случаев этот режим реализуется в полостях, заполненных жидкостью с наличием источников ввода и вывода массы и достаточно значимых градиентов температур [1, 2]. При решении таких задач часто возникает необходимость учитывать теплоотвод с внешних границ области решения, так как он может играть важную роль в формировании теплового режима объекта моделирования [3]. До настоящего времени анализ смешанной конвекции в сопряженной постановке [3-6] с учетом влияния внешних условий на гидродинамику и температурное поле среды не проводился. Цель данной работы - численное моделирование смешанной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной полости с источниками ввода и вывода массы с различной интенсивностью теплоотвода с внешних границ в сопряженной постановке.
Физическая модель. Рассматривается течение несжимаемой вязкой жидкости и теплообмен в полости, имеющей две вертикальные и одну горизонтальную стенки конечной толщины, одну свободную поверхность, с участками ввода и вывода жидкости (рис. 1).
При постановке задачи принимается, что температура вводимой жидкости существенно превышает начальную температуру среды в полости и считается известной. Массовый приход также известная величина. На внешних границах области заданы неоднородные граничные условия. Неоднородность обусловлена различными тепло-физическими характеристиками внешних сред и условиями теплообмена на границах области решения. Жидкость считается вязкой, теплопроводной, режим течения ламинарным. Отток массы с верхней границы за счет испарения не учитывается. Все гра-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Томской области. Грант № 0502-98006 конкурс р_обь_а.
Рис. 1. Область решения задачи: 1 - твердая фаза; 2, 3 - участки ввода и вывода жидкости в полость; 4 ■ жидкость; 5 - свободная поверхность жидкости; 6 - внешние границы
У
6
0
6
х
ницы кроме участков ввода и отвода массы считаются непроницаемыми для жидкости. Теплофизические свойства жидкости и материалов стенок не зависят от температуры.
Задача рассматривается в нестационарной постановке в связи с необходимостью учета способности материала твердых стенок аккумулировать тепло и значительными перепадами температур между вводимой в полость жидкостью и начальной температурой твердых стенок. Возможны различные варианты расположения отверстий для ввода и вывода жидкости. Выбран типичный вариант (рис. 1), реализация которого приводит к формированию интересных для анализа структур течения жидкости. При постановке задачи предполагается, что контакт на границах раздела "жидкость -твердая стенка" идеален, а условия теплообмена на внешних границах области решения не зависят от времени.
Особое значение в рассматриваемой задаче имеют граничные условия на внешних границах области решения (рис. 1). Эти условия определяют интенсивность теплоот-вода и могут оказывать существенное влияние на режим течения жидкости. Соответственно, возможно изменение интенсивности теплопереноса в жидкости. Из анализа различных вариантов реализации рассматриваемой схемы на практике можно на правой, левой и нижней границах области решения выставлять граничные условия первого, второго, третьего и четвертого рода. Но для корректного использования условий четвертого рода необходимо расширить размеры области решения введением дополнительных подобластей до значений х и у, при которых фронт прогрева в любых режимах не доходит до этих внешних границ. Такой подход существенно усложняет алгоритм решения задачи. Использование условий теплоизоляции на внешних границах области (рис. 1) вносит большие погрешности в решение, так как в реальных условиях даже при умеренных градиентах температур всегда осуществляется сток тепла во внешнюю среду с этих границ. Поэтому для анализа были выбраны граничные условия второго рода на внешних границах.
Еще одна особенность рассматриваемой задачи заключается в граничных условиях на свободной поверхности и для уравнения энергии, и для уравнений движения. На практике эти условия не могут быть определены точно. При математическом моделировании решение сопряженной задачи и на этой границе создает практически непреодолимые препятствия в связи с трудностями описания свободноконвективного течения газовой (как правило, воздушной) среды вблизи свободной поверхности движущейся жидкости. Примеров реализации таких задач пока нет. Поэтому область решения в рассматриваемом случае ограничивалась сверху свободной поверхностью. При этом предполагалось, что на этой границе реализуются граничные условия третьего рода для уравнения энергии. При решении задач свободно-конвективного теплообмена чаще всего на внешних границах используются условия первого рода для уравнения энергии [7—10]. Такой подход удобен при численной реализации и в целом не выглядит противоречивым. Но анализ типовых примеров подобных задач показал, что условия первого рода в целом почти адекватны условиям теплоизоляции, не соот-
ветствуют реальным режимам теплообмена на практике и могут быть использованы только в качестве условий для модельных задач.
Моделирование теплоотвода с трех внешних ("твердых") границ области решения проводилось при использовании граничных условий второго рода. При этом величина отводимого теплового потока q была параметром задачи и выбиралась из реального диапазона его возможного изменения. Такой прием позволяет не расширять область решения до размеров, при которых было бы правомерным применение условий четвертого рода на границах сопряжения разнородных сред. Но такое расширение области анализа делает практически невозможным сам численный анализ рассматриваемой нелинейной задачи. Выбор же значений q всегда может быть проведен с требуемой для практики или для обоснования достоверности результатов теоретического анализа точностью. Так, например, такой выбор может быть реализован по итерационной схеме путем расчета на каждой последующей итерации величины q, исходя из полученного на предыдущей итерации градиента температур вблизи границы. Кроме этого достаточно точно могут быть определены величины q из исходных данных каждой задачи. Последнее создает объективные условия для получения достоверных результатов.
Математическая модель и метод решения. Перенос массы, количества движения и энергии в такой постановке описывается системой нестационарных уравнений Навье-Стокса для жидкой фазы и уравнением теплопроводности для твердой фазы [7, 8]. Задача решалась в безразмерной постановке.
Для приведения системы уравнений неразрывности, движения и энергии к безразмерному виду использовались следующие соотношения:
X = л/Ь; У = у/Ь; т = г/г0; и = и/Уы; V = и/Уы; 0 = (Т- Т0)/АТ; ¥ = у/уо; о = Ю/Юо; АТ = т1п - т0; ¥0 = УщЬ; щ = у0/ь,
где л, у - размерные координаты; X, У - безразмерные координаты, соответствующие л, у; Ь - длина полости по оси л; ^ - масштаб времени; т - безразмерное время; и, и -скорости по осям л, у соответственно; и, V - безразмерные скорости, соответствующие и, и; УПп - масштаб скорости (скорость жидкости на входе); 0 - безразмерная температура; Т0 - температура жидкости и твердого тела в начальный момент времени; Тп - температура жидкости на входе (2, рис. 1); у - функция тока; у0 - масштаб функции тока; ¥ - безразмерный аналог у; ю - вихрь скорости; ю0 - масштаб вектора скорости; О - безразмерный аналог ю.
Соответственно, безразмерные уравнения Навье-Стокса в приближении Бусси-неска в переменных "вихрь скорости-функция тока-температура" для жидкой фазы (режим смешанной конвекции) и уравнение теплопроводности для твердой фазы будут иметь вид
/о о \
(1)
К-еРг [ ЭХ2 + дУ2);
Э0 1 Гд20 д2 0^ _ — _ _ _1_ _ •
(2)
д2¥ д2¥ „ —- + —т = О; д X2 дУ
(3)
1 д0 д20 д20
2
2
Ро дт дХ2 + дУ2'
(4)
Здесь вг = gвL3AT/v2 - число Грасгофа; в - температурный коэффициент объемного расширения; g - ускорение, создаваемое массовыми силами; Яе = 2VL/v - число Рей-нольдса; Рг = v/a - число Прандтля; Бо = а?^2 - число Фурье; а - коэффициент температуропроводности; V - коэффициент кинематической вязкости.
Начальные условия: ¥(Х, У, 0) = 0; 0(Х, У, 0) = 0; ©(X, У, 0) = 0.
Граничные условия:
- на внешнем контуре рассматриваемой области (кроме свободной поверхности
жидкости) задаются граничные условия второго рода
Э©
дп
■■ Ю;
- на свободной поверхности жидкости д© } (X, У)
¥ = 0;
д2¥
т;
Б1 © }(Х, У) + Б1
Т о - Т е;
Тт - Т0
дУ/ " дУ
- на внутренних границах раздела твердой и жидкой фазы, параллельных оси 0У '©„ = ©}
д^ дХ
¥ = 0,
д¥
дХ
0;
}
= К
д©.
} д X '
- на внутренних границах раздела твердой и жидкой фазы, параллельных оси 0Х
¥ = 0,
д¥
д У
0;
©^ = ©}
д© = х д© дУ } д У ;
- участок ввода жидкости
¥
У
© =1;
1;
- участок оттока жидкости
д ©(X, У) Э¥ = л
дУ = 0; д У =
Здесь Ю = qLfkw(T¡n - Т0) - число Кирпичева; тг = - безразмерное касательное
напряжение; Bi = аLA - число Био
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.