ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 155-161
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН И ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ1
© 2007 г. С. П. Попов
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: sppopov@ccas.ru Поступила в редакцию 27.04.2006 г.
В рамках одномерных уравнений Эйлера для идеального газа численно исследовано взаимодействие ударных волн и волн разрежения. Выявлен особый вид решений, названных контактными областями. Они представляют собой протяженные зоны непрерывного изменения плотности и температуры при постоянных значениях давления и скорости. Определено, что решения задач о взаимодействии стремятся при больших временах к решениям задач о распаде разрыва, в которых контактный разрыв заменяется контактной областью. Библ. 2. Фиг. 6.
Ключевые слова: одномерные уравнения Эйлера для идеального газа, численное исследование ударных волн, волны разрежения.
ВВЕДЕНИЕ
Основными решениями уравнений газовой динамики идеального газа являются ударные волны, волны разрежения и контактные разрывы. На эти решения распадается заданный в начальный момент разрыв произвольно заданных плотностей, температур и скоростей. Аналитические исследования взаимодействия ударных волн между собой или с контактными разрывами приведены в [1]. Там же содержатся результаты по взаимодействию волн разрежения и ударных волн в изотермическом и изобарическом приближениях. Численные исследования данной работы посвящены взаимодействию волн разрежения и ударных волн в общем случае. Оказывается, что получающиеся решения могут быть объяснены в рамках установившихся представлений о виде решений задачи о распаде разрыва, составленного из значений параметров газа перед волной разрежения и за ударной волной в начальный момент взаимодействия. Только контактный разрыв надо заменить на протяженную контактную область, формирующуюся в процессе прохождения ударной волной профиля волны разрежения.
В зависимости от первоначального расположения волны разрежения и ударной волны можно выделить два основных режима течений. В первом случае ударная волна нагоняет волну разрежения и распространяется по профилю увеличивающейся плотности. При этом в зависимости от интенсивности ударной волны она может либо пройти волну разрежения, либо оказаться встроенной в ее структуру, превратившись со временем в ограничивающий волну разрежения слабый разрыв. Во втором случае ударная волна встречает волну разрежения и распространяется по понижающемуся уровню плотности. Конкретные примеры, реализующие эти возможности, будут разобраны далее.
Исследовалась система уравнений Эйлера
5р+Spu = 0, 51 5x
Spu + 5pu2 _ 5p 5t 5x 5x'
5E + 5Eu _ Spu 5t 5x 5x
где p - плотность, u - скорость, E - полная энергия, p - давление. Газ считается идеальным.
^Работа выполнена при поддержке программы Отделения математических наук РАН < 3.
В начальный момент волна разрежения, соединяющая два состояниея газа (индексы 0 и 1), определялась формулами
( Y -1 u A2/(Y -1 >
(1 Y - 1u i V Y/(Y 1} T /р Pi = Po ^ 1-2~ ~J , Ti = Pi/Pi-
Считалось, что распределение скорости u1 линейно в пространственном интервале, занимаемом волной разрежения.
На ударной волне выполнялись условия Гюгонио. Взаимное расположение ударной волны и волны разрежения, а также пространственная протяженность последней варьировались от варианта к варианту.
Расчеты проводились по численной схеме из [2]. При вычислении конвективных частей уравнений Эйлера применялась схема SHASTA с корректирующими потоками явной антидиффузии с коэффициентом 0.125. Для аппроксимации правых частей в уравнениях импульса и энергии на каждом шаге по времени использовались значения давлений и скоростей на границах счетных ячеек, которые находились из решения задачи о распаде разрыва в соответствии с методом С.К. Годунова. В [2] приведены примеры численных расчетов, иллюстрирующие преимущества данной схемы. В связи с этим приводимые в данной работе результаты могут рассматриваться как тестовые для схемы расчета.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
1. Первый тип взаимодействия
Рассмотрим нестационарное течение, реализующееся при задании следующих начальных данных (см. верхнюю часть фиг. 1). Пусть волна разрежения находится при 0.575 < х < 0.625. Ее профиль соответствует аналитическим выражениям, связывающим состояние газа перед ней (область 1) и за ней (область 2). Плотность, скорость и давление газа в них, соответственно, рав-
t
0.15
0.10
0.05
0
0.15
0.10
0.05
0
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
х
Фиг. 1.
ны рх = 1, и1 = 0, Р1 = 1 и р2 = 0.168, и2 = 1.77, Р2 = 0.0823. Ударная волна находится в точке х = 0.72, и параметры за ней (область 3) равны р3 = 0.920, и3 = -3.11, Р3 = 5. Показатель адиабаты g равен 1.4. Порядок формирования начальных профилей таков. Сначала задавались все значения в области 1, потом и2 полагалась равной скорости звука в области 1, умноженной на 1.5. Затем определялись р2, Р2. Величины р3, и3 за ударной волной находились при фиксированном давлении Р3, которое было единственным параметром, варьируемым в данной серии расчетов.
Теоретически размер области, занимаемой волной разрежения, и расстояние до ударной волны не должны влиять на получаемое решение. Они только масштабируют и сдвигают точку отсчета независимых переменных. Для численного решения перечисленные параметры важны, поскольку появляется дополнительный характерный размер, равный длине счетной ячейки. При выбранном общем пространственно-временном интервале он и начальная протяженность волны разрежения определяют точность получаемого решения. В рассматриваемых случаях вся область счета заключалась в пространственном интервале от 0 до 1. На границах поддерживались начальные значения, и за время наблюдения решения возмущения до них не доходили. Число расчетных точек по координате было равно 1600. Это обеспечивало точность до третьего знака.
Развитие численного решения в плоскости х, t показано на фиг. 1 в виде распределения плотности. Значительная часть решения представляет собой зоны почти равномерных течений, разделенных узкими областями их резких изменений в ударных волнах и контактных разрывах. Для удобства представления результатов зоны помечены цифрами. В тексте приводятся соответствующие значения плотностей, скоростей и давлений в них. Для описания распределенных в пространстве частей течений (волн разрежения и контактных областей) даются значения интервала между изолиниями плотности, обозначаемого через ф. В данном примере dр = 0.05.
При прохождении вглубь волны разрежения скорость ударной волны постепенно уменьшается и одновременно образуются две пространственно протяженные структуры. Одна из них, разграничивающая области 3 и 4, с течением времени ^ > 0.25) стягивается в разрыв, представляющий собой отраженную ударную волну. Дополнительно возникает структура конечного размера, которую назовем контактной областью. Ее ширина после t > 0.07 не изменяется. Она связывает состояния газа за прошедшей и отраженной ударными волнами. В области 4 имеем р4 = 1.26, и4 = -2.20, Р4 = 7.82, а в области 5 имеем р5 = 3.47, и5 = -2.20, Р5 = 7.82. Сравнение данных величин указывает на постоянство скоростей и давлений по обе стороны и внутри контактной области. По этим признакам она близка к обыкновенному контактному разрыву. Только плотность, температура и энтропия меняются в ней не скачком, а постепенно.
Теперь несколько видоизменим постановку задачи, предположив, что в начальный момент волна разрежения отсутствует, а в точке х = 0.72 находится разрыв. Справа от него газ имеет параметры, соответствующие области 3, а слева - области 1 (нижняя часть фиг. 1). Эта задача имеет решение, которое можно найти из соотношений на разрыве с помощью простого итерационного метода, который применяется в используемом в данной работе методе численного решения для нахождения давлений и скоростей на гранях счетных ячеек в каждый момент времени. Внизу фиг. 1 приведено соответствующее распределение плотности ^р = 0.2). Сравнение с верхней частью этой фигуры показывает совпадение решений при достаточно больших временах, когда отраженная ударная волна в задаче о взаимодействии окончательно сформировалась. В обеих постановках задач значения всех величин в областях 4, 5 совпадают с точностью до трех-четырех знаков. Если пренебречь шириной контактной области, то согласование решений задачи о взаимодействии и задачи о распаде соответствующего разрыва при достаточно больших временах можно считать абсолютным.
Для лучшего пространственного разрешения процесса взаимодействия уменьшим интенсивность ударной волны, приняв в области 3 величины р3 = 0.847, и3 = -1.62, Р3 = 2.5. Значения величин в областях 1 и 2 оставим прежними. Численное решение представлено на фиг. 2. Изолинии плотности проведены через dр = 0.02. По сравнению с предыдущим вариантом формирование отраженной ударной волны идет медленнее, а контактная область существенно шире, становится различимой ее внутренняя структура. На нижней части фигуры приведено решение соответствующей задачи о распаде разрыва. Значения параметров газа в областях 4, 5 в обоих случаях таковы: р4 = 1.05, и4 = -1.16, Р4 = 3.40; р5 = 2.28, и5 = -1.16, Р5 = 3.40.
Решение в момент t = 0.328 представлено на фиг. 3, где цифрами 1, 2, 3, 4, соответственно, отмечены распределения давления, плотности, энтропии и скорости. Вместо энтропии отложена пропорциональная ей величина натурального логарифма от P/рg. Отраженная ударная волна (х = 0.80) находится в финальной стадии формирования, что отмечено небольшой областью неЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 47 < 1 2007
х
Фиг. 2.
х
Фиг. 3.
г
0.3
0.2
0.1
0
0.3
0.2
0.1
0
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
х
Фиг. 4.
постоянства всех величин за ней. Прошедшая ударная волна почти достигла левой границы. При 0.2 < х < 0.3 находится контактная область, в которой, как указывалось выше, непрерывны скорость и давление, а плотность уменьшается с 2.28 до 1.05. Отметим, что скорость распространения контактной области направлена в сторону увеличения значен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.