БИОФИЗИКА, 2015, том 60, вып. 4, с. 748-757
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 531/534: [57+61]
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИР ОВАНИЕ РАСП P ОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ В СЕРДЕЧНОЙ СТЕНКЕ С УЧЕТОМ ЕЕ ВОЛОКНИ СТО-СЛОИ СТОЙ СТРУКТУРЫ
© 2015 г. И.Н. Баееерман, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков, А.П. Шестаков
Институт мех аники сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. А кадемика Королева, 1
E-mail: igorw@icmm.ru Поступила в p едакцию 10.12.14 г.
Посте доpаботки 06.04.15 г.
И сследованы особенности pаcпpоcтpанения волны возбуждения в неодноpодно анизотpопныx конечноэлементныx моделях миокарда. Неоднородность в данной модели заключается в повороте осей анизотропии по толщине стенки и обусловлена волокнисто-слоистой структурой сердечной мышцы. Для описания проводимости сердечной мышцы была взята однодоменная модель, а в качестве соотношений между трансмембранным током и трансмембранным потенциалом - уравнения Алиева-Панфилова. Численное решение осуществляли с помощью алгоритма метода расщепления, в котором нелинейная краевая задача в частных производных сводится к последовательности более простых: обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных краевых задач в частных производных. В качестве моделируемой области взят прямоугольный блок сердечной ткани, наименьший размер которого соответствует толщине сердечной стенки. Показано, что анизотропия сердечной ткани, обусловленная ее волокнисто-слоистой структурой, оказывает значительное влияние на форму фронта волны электрического возбуждения. П редставлены два типа распределения угла ориентации волокон. Первый случай соответствует левому желудочку собаки. На эндокарде и эпикарде волокна ориентированы в основном в меридиональном направлении. Угол ориентации плавно меняется по толщине, изменяя свое значение примерно на 180°. Кольцевой слой, где волокна ориентированы в окружном направлении, расположен в толще стенки. Результаты расчетов показывают, что для этого случая форма фронта волны сильно зависит от места первоначального возмущения. При эндокардиальном и эпикардиальном начальном возбуждении наблюдается значительное опережение на эндокарде и эпикарде соответственно. При интрамуральном начальном возбуждении возбуждение эндокарда и эпикарда происходит практически одновременно, но наблюдается отставание в толще стенки. Второй случай соответствует правому желудочку свиньи. Для него характерны ориентация волокон в окружном направлении на эндокарде и эпикарде и резкое изменение угла ориентации в субэпикардиальной области. В этом случае результаты показывают слабую зависимость формы фронта волны от места первоначального возмущения: имеет место опережение в середине стенки. Однако скорость формирования данного фронта разная: раньше всего фронт формируется при интрамуральном возмущении, позже всего - при эндокардиальном.
Ключевые слова: возбудимые среды, однодоменные модели, ионные модели, метод расщепления, слоисто-волокнистая структура.
Сердечно-сосудистые заболевания являются одной из главных причин преждевременной смерти в развитых странах, и поэтому само сердце стало одним из важнейших объектов исследования в биофизике и биомеханике. Среди процессов, происходящих в сердечной ткани, важную роль игр ает распр остранение электрического возбуждения. Следует отметить основные причины особого внимания к этому явлению. Электрическое возбуждение определяет и запускает все процессы в миокарде. Поэтому для изучения сокр атительной и насосной функции сер дца необходимо знать, как распр остра -
няется во времени и пространстве импульс электрического возбуждения. К р оме того, опасные нар ушения сер дечного ритма являются одними из самых распространенных сердечно-сосудистых заболеваний и изучение причин их возникновения может способствовать своевременному предупреждению этих опасных состояний.
В сердечной мышце ее клетки (миоциты) находятся в межклеточной среде. Содержимое миоцитов (миоплазма) отделено от межклеточной среды клеточной мембраной, обладающей низкой проводимостью. Благодаря этой мембране сохраняется разность потенциалов между
миоплазмой и межклеточной cp едой. Клеточная мембрана пронизана ионными каналами, делающими возможным обмен зарядами между разделяемыми cp едами.
Смежные клетки связаны щелевым соединением (gap junction), через которое они могут обмениваться питательными веществами, про -дуктами обмена веществ и ионами [1]. Благодаря щелевому соединению миоплазма может рассматриваться как единое внутриклеточное пространство [2].
С макроскопической точки зрения сердечная мышца может рассматриваться как две неоднородные анизотропные проводящие среды -внеклеточное и внутриклеточное пространство, взаимодействующие через мембрану. Построенная на этом предположении модель называется бидоменной [2].
Если принять предположение о подобии тензоров проводимости, внутриклеточного и внеклеточного пространства, то получается монодоменная модель, которая оперирует в два раза меньшим объемом данных при решении уравнений проводимости.
Для изотропной среды результаты, полученные с помощью бидоменной и монодоменной моделей в точности совпадают (поскольку для нее условие подобия вне- и внутриклеточного пространств выполняется автоматически). Что касается анизотропных моделей сер дечной ткани, то для них, при надлежащем выборе пар аметров, результаты, описывающие распро -странение волны возбуждения, различаются незначительно [3-6]. Однако бидоменная модель необходима в тех случаях, когда принимается во внимание сам процесс возбуждения сердечной ткани через внеклеточную среду [3,6], что необходимо, например, при изучении процесса дефибрилляции [7] и когда необходимо сравнение с р еально измеренным внеклеточным потенциалом [6].
Многочисленные исследования показали, что сердечная ткань обладает сложной иерархической структур ой [8-21]. Мышечные клетки сердечной ткани (миоциты) имеют форму вытянутых цилиндров диаметр ом от 10 до 20 мкм и длиной от 80 до 100 мкм. Миоциты соединены между собой и образуют трехмерную сеть. Смежные миоциты расположены практически параллельно, поэтому в каждой точке сердечной ткани может быть определено среднее направление, которое называется направлением волокна. Миоциты сгруппир ованы в слои толщиной в тр и-четыре клетки. Эти слои ветвятся, соединяются в некоторых местах, но в основном разделены промежутками значительной толщины (deavage р1апе8), заполненными коллагеном.
Благодаря такой организации сердечная ткань обладает значительной анизотропией и неоднородностью. Сердечная мышца, в отличие от трансверсально-изотропной скелетной мышцы, имеет ортотропные свойства. О си материальной симметрии определяются ориентацией вышеупомянутых элементов структур ы [15]. Значения проводимости в разных напр авлениях р азлича-ются на порядок. Имеет место очень сильное изменение ориентации осей анизотропии по толщине стенки. Поэтому учет структуры сердечной ткани весьма важен пр и построении корректных моделей распространения волны возбуждения в сер дечной ткани.
Как бидоменные, так и монодоменные модели в зависимости от того, как описываются соотношения между трансмембранным потенциалом и тр ансмембр анным током, могут быть разделены на два класса: феноменологические и ионные.
В феноменологических моделях описывается только макр оскопическое поведение клетки. И с-пользуемые внутренние переменные не имеют четко выраженного физического смысла. В ионных моделях макроскопическое поведение клетки описывается через движение ионов сквозь клеточную мембрану, изменение концентрации ионов и ферментов, изменение проводимости ионных каналов. Достаточно основательный обзор феноменологических и ионных моделей дан в работе [2].
Макр оскопическое моделир ование сердечной мышцы приводит к нелинейной жесткой краевой задаче в частных производных. Для ее решения наиболее часто используется метод расщепления, сводящий решение исходной задачи к последовательному решению более про -стых: обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных краевых задач в частных производных [2].
В настоящей работе проведено численное исследование влияния обусловленной волокнисто-слоистой структурой анизотр опии миокарда на особенности распространения в нем волны электрического возбуждения.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Нами была использована монодоменная модель распространения возбуждения, описываемая следующей системой уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений [2]:
Уф = 5 ^ (1)
Рис. 1. Единичные векторы, определяющие направление материальных осей: а - вдоль мышечного волокна, Ь - перпендикулярно волокну в плоскости, касательной средней поверхности слоя, с - перпендикулярно этой плоскости.
ёУ п
I = с —т т т ёг
+ Аоп^тА
(2)
Волокнисто-слоистая структура миокарда приводит к сильной анизотропии его проводимости. В каждой точке миокарда может быть построено три единичных ортогональных вектора, а, Ь, с, определяющих направление материальных осей: один - в направлении мышечного волокна, второй - перпендикулярно волокну в плоскости, касательной к средней поверхности слоя, третий - перпендикулярно этой плоскости (рис. 1).
Тензоры пр оводимости в матер иальных осях являются диагональными [2]:
Б,е =
О}-
00
0 а| е 0 0 0 оПе
(6)
где а|'е, а|'е, опе - значения пр оводимости со -ответственно вдоль волокна, в плоскости слоя перпендикулярно волокну и в напр авлении, перпендикулярном слою.
В глобальных осях тензоры проводимости вычисляются [2] как:
Ае = АЧАТ,
(7)
| - К(У = ^
где
Б =
X
1 + X
Б;
(3)
(4)
приведенный тензор пр оводимости. Граничное условие в этом случае будет иметь вид
п(БУУт) = 0.
(5)
где А - матрица, чьи столбцы представляют собой компоненты единичных векторов материальных осей а, Ь, с:
А =
ах Ьх Сх ау Ьу Су
С
(8)
Здесь У; - внутриклеточный потенциал, Уе -внеклеточный потенциал, Ут = У; - Уе - трансмембранный потенциал, Б; - внутриклеточный тензор проводимости, Бе - внеклеточный тензор проводимости, X - коэффициент подобия между внеклеточным и внутриклеточным тензором проводимости, 1т - трансмембранный ток, 1;оп-ток, обусловленный движением ионов чере
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.