ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 426, № 5, с. 621-625
= МЕХАНИКА =
УДК 532.517.4
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ДАЛЬНЕМ СЛЕДЕ ЗА САМОДВИЖУЩИМСЯ ТЕЛОМ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ
© 2009 г. Академик О. Ф. Васильев, О. Ф. Воропаева, Г. Г. Черных
Поступило 20.11.2008 г.
Турбулентные следы за телами вращения в стратифицированной среде рассматривались в ряде работ [1-11]. Обзор работ, посвященных экспериментальному, теоретическому и численному моделированию динамики турбулентного следа за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде, выполнен в [4, 10]. В [2] приведены результаты детальных лабораторных измерений характеристик турбулентности в безымпульсном следе за телом, движущимся в линейно стратифицированной жидкости. Показано, что вырождение турбулентности в дальнем следе характеризуется существенной анизотропией. Численному моделированию таких следов и сопоставлению с экспериментальными данными [2, 3] посвящены работы [3, 4, 7, 8]. Анализ работ позволяет сделать вывод о том, что известные численные модели не дают детального описания вырождения интенсивностей турбулентных флуктуаций горизонтальных и вертикальной компонент скорости на больших расстояниях от тела.
В настоящей работе построена численная модель дальнего турбулентного следа за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде, основанная на дифференциальных уравнениях переноса тройных корреляций турбулентных флуктуаций поля скорости, записанных с учетом вклада кумулянтов четвертого порядка, и модифицированных алгебраических аппроксимациях тройных совместных корреляций турбулентных флуктуаций полей скорости и плотности [12].
Новосибирский филиал
Института водных и экологических проблем Сибирского отделения Российской Академии наук Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для описания течения в дальнем турбулентном следе за телом вращения в стратифицированной среде привлекается параболизованная система осредненных уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска:
ТТ ди" , т/ди" , игди" д / , л д < , ,х
и - 37 + у 17 + * ИТ = 5 < + эг <" п) ■(1) и - 5У + у * ¥ =
дх ду дг
1 д<Р\) д < ,2) д , , л
= --—д--<V ) <Vп), (2)
Ро ду ду дг
и--ТТ- + У т-— + =
дх ду дг
1 д<Р1) д < л д < ,2) <р1)
■ - г^тт. < V™)-дг < п ) - (3)
Ро дг ду
Ро
х у г "г
=< -£< ■
ГУТ + ГW = 0
у г
(4)
(5)
В уравнениях (1)-(5) величина и- - скорость невозмущенной жидкости; иа = и- - и - дефект осредненной продольной компоненты скорости; и = их, У = и2, * = и3 - компоненты скорости осредненного движения в направлении осей х, у, г; р1 - отклонение давления от гидростатического, обусловленного стратификацией р.; g - ускорение силы тяжести; <рх) - осредненный дефект плотности, рх = р - р.; р. = р.(г) - плотность невоз-
d р
мущенной жидкости: ----- < 0 (устойчивая страти- предполагается линейной и слабой. Члены с мо-
dz
фикация), р0 = р.(0); штрихом обозначены пульса-
лекулярной вязкостью и диффузией в уравнениях
ционные составляющие; угловые скобки - знак (1)-(4) и ,еличина ^ в ура,нении (5) отброшены
осреднения. Координатная система связана с движу- в предположении малости.
щимся телом так, что скорость его движения рав-
тт Система уравнений (1)-(5) незамкнута. Исходя
на - и„, ось z напра,лена вертикально вверх, против из специфики течения в следе, величины рей-
силы тяжести. Плотность жидкости считается ли- нольдсовых напряжений <иV) и <и'м'\ представля-
нейной функцией температуры; стратификация ем в виде алгебраических соотношений [4]:
/1Л 1 - С 2в < V 2\Э ил Э и-
<и V) =-----= Ку-3—'
С1 £ ду у ду
< и' М) =
(1 ) < '2\ ( 1 - С2)( 1 - С2Т) Я в2 < .
(С-)в<м \--С~-р~о"£<мр)эи
д иd
С1 £Г
V С1С1Т ро£2 дz )
дг Кг дг
Компоненты тензора рейнольдсовых напряжений определяются путем решения дифференциальных уравнений переноса [13] (' = 1 = 1, 2, 3; г = 2,
1 = 3):
и
д < и' и) д < и' и) д < и' и)
4 ' 1 + V ' 1 + W ' 1
дх
д у
д г
= В'1 + Р'1 + в'1 " 2 1 " С1 Ч< ии1\ " 25'./в 1"
- С2[ро-2 5'Р - Ч 5"О1'
(6)
и
д< и'и) ик\ + Vд < и - и'и к\ + д < и''Ы и'к)
д х дС
д х,
ду
д!
Эхг
дг
Ш / < < <\д ик / I I иг
— - <и'и,и/\— <и1икЩ)^ -
д х
. , , , Эи} , , ,.Э<ики) . , , д<и''Щ\
- < и'ики/\ -¿х " < и'и'\ —¿х--< иик\ ¿х
- < ии) + — < иир \ + -Т- < щикр \ +
д х1 ро
ро
п Э < , , ,\ 1 /Э<и'р'\ Э<и)р'\ В' -. = - <и1и'и1) - —1 —- +
дх1 ' 1 ро I Эх-
д хг
--дх < и1и'и1\'
Р'1 = "I < и''и'к\+ < и)и'к\Щ V 2р = Р'',
°'1 = 1 (< и' р'\Я. + < и1 р'\ Я')' 2 О = в", ро
и 1, к = 1, 2, 3'
в = 1 (<и'2\ + <+ <м'2\)' g = (0, 0, -я).
Здесь и ниже по повторяющимся индексам предполагается суммирование.
Для определения < и' и-ик \ воспользуемся уравнением переноса (см., например, [12]), I = 2, 3:
. Як / I 'л £ / ' '
+ < и,и1 р\ " Сз- < и'и1ик\ '
ро в
(7)
где величины Сщ - кумулянты (семиинварианты) четвертого порядка:
С'1к1 = <и'и)ики1\ - < и'и}\ <ики'\ -- < и'и'кХ и)и\ - < и'и;\< и)и'к).
При определении Сщ исходим из алгебраической модели [12]:
,, в Ь ■ ■ .ч3<и-щ) , Э<и'ик\
С'к = 1 < и'икит\ —-т-:— + < и!и1ит\ —---+
1 " С4£ | ^^^ Эхт
гццит/ д х
+ X
' Ят х ^ < , , , \д< ики'\ ,
С';кт- + С',ке°т1 + < и'и1ит\ -- +
'1ктЭхт '1керо
, ,.Э<u1uku'\
+ < и> ит\ —д---;^-
д х„
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ
а< ulu')
623
Воспользуемся также простейшим представлением Сщ, вытекающим из алгебраической модели [12]:
С = Л—С д-М
= С4(-^Ст дх1 ■
Тогда из (8) следуют градиентные представления кумулянтов, упрощенные с учетом физических особенностей рассматриваемого течения - спут-ного струйного турбулентного течения в поле силы тяжести на больших расстояниях от тела:
Cijkl - - c
д{ u\ujuk)
ß ge2д <p) дХ
l-
c4с4ероe2 dz а = 1 + 8Ü + 5 ji + 8kl, ß = 83; + 5з j + 83^ + 53i •
Для определения (u'uj p'> привлекается усовершенствованное алгебраическое представление, полученное в [12] как следствие уравнения переноса этой величины:
- У u'ujр') -
oe
У u uj Р) - —
c3efc
¿д^- У u'ujuk)Sk3 + Ф g (У u '■ р'2)0 + У ujp'2)0 )
. dz p0
1-f< + l + 2ф ^ge_2дМ
c3c3e C3eC3ee/Poe2 дz
где
e^..-..-хдУu'iр') i ^^Ад{ujр ')
xi
/ ' e Л ' м дУ ui р) , ' »
-УuujР) ~ csфe|<ujuj) дx ■ + У u'u,)
-<и'р,2>0 = ^<^<'
Ф = 5 ¡3 + 5 ; 3.
Скорость диссипации £ вычисляется путем решения дифференциального уравнения
udJ£ + уд1 + wd-£ = ^e < V2> ^ +
^га-Ч irr-, -, \v/~\ 1
д х ду д z д y а£ д y , д cse , ,2. д£ £ £2
+ £<w >5" + C£i-(р + G)-c£2-. (9)
dz G£ о z e e
Турбулентные потоки < и\ p'> и дисперсию флуктуаций плотности <р'2> определяем, исходя из локально-равновесных представлений:
/ А 2 e, , ,чЭ<р> <р> = - -r£< wp> "if '
- У u р') -
le
У u W) ¿j-pU ( 1- C2T )У w р') Щ
/vр') - ±eуv^2)¿M - к ¿M
vP) - e У v ) ¿y K py dy ,
clTe
- У W p') -
e У w )
¿Ур) _
clT el 1-2-
l-
C2 Г g e2дУp)^ dz
- K
citct Poe2 dz ^
дУр)
Значения эмпирических постоянных в данной модели являются в достаточной мере общеприня-
с.
тыми [12, 13]: сц = 0.25, с1 = 2.2, с2 = 0.55, се = — , ст= 1.3, се1 = 1.44, се2 = 1.92, сф = 0.11, с.ф = 0.13,
с30 = — , с300 = — , с40 = 2с30 - 1 ст = 1.25, с1Т = 3.2,
с2Т = 0.5, с4 = 2с3 - 1. Фигурирующие в усовершенствованных алгебраических аппроксимациях и уравнениях переноса моментов третьего порядка эмпирические постоянные с3 (ее значения могут
1 3
изменяться в диапазоне от — до — [12]), с39, с3ее
с. с.
определяются из тех соображений, что локально-равновесное усечение уравнений переноса соответствующих моментов третьего порядка должно привести к алгебраическому представлению, согласованному с общепринятыми гипотезами.
Маршевая переменная х в уравнениях (1)-(4),
х
(6), (7), (9) играет роль времени: г = — . На расстоянии х0 = 8В от тела задаются начальные условия, согласующиеся с экспериментальными данными об эволюции безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости Линя и Пао [2, 3].
При численном решении задачи переменные приводятся к безразмерному виду с использованием в качестве масштабов длины и скорости диаметра тела В и скорости набегающего потока и-. Тогда характерные параметры течения в безымпульсном следе в стратифицированной среде -плотностное число Фруда и период Вяйсяля-Брента Т - определяются следующим образом:
pz
z
Fd-UT t - 2п
D
_ - --ldpr
Jagg Po dz '
clTe
0.15
- о
0.05
° ==031 ^Эксперименты
Иро==° 3^Расчеты
20
40
60
80
100
X
о
Рис. 1. Дефект продольной составляющей осреднен-ной скорости на оси безымпульсного турбулентного следа в однородной и линейно стратифицированной средах.
«0 3
[2]
?в Ко
д 23 2 • 10
0 31 3 • 10
□ 32 2 • 10
X 65 3 • 10
V 120 3 • 10
10 20
г - к т
Рис. 2. Изменение интенсивности флуктуаций горизонтальной компоненты скорости на оси безымпульсного следа в линейно стратифицированной среде.
[2]
Ро Ко
А 23 2 • 10
о 31 3 • 10
□ 32 2 • 10
х 65 3 • 10
у 120 3 •10
0.1
0.01
0.1
10
г - ¿0 т
Рис. 3. Изменение интенсивности флуктуаций вертикальной компоненты скорости на оси безымпульсного следа в линейно стратифицированной среде.
0.3
0.1
0.01
0.03
д д
[2]
Ро Ко
д 62 3 • 10
▲ 62 6 • 10
о 120 3 • 10
• 120 6 • 10
□ 32 2 • 10
О 31 3 • 10
V 23 2 • 10
О
0.1 1 10
Рис. 4. Изменение интенсивности турбулентных флуктуаций плотности на оси безымпульсного следа в линейно стратифицированной среде.
0
1
4
4
4
4
4
2
1
Конечно-разностный алгоритм расчета основан на применении метода расщепления по пространственным переменным; его подробное изложение представлено в [4]. Тестирование математической модели на задаче об эволюции безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости осуществлено в [14]. Получено хорошее согласие с результатами детальных лабораторных измерений [15].
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Динамику безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде иллюстрируют рис. 1-4. На этих рисунках маркерами помечены данные лабораторных экспериментов [2, 3], кривые 1 соответствуют численным расчетам на основе представленной выше модели. Для сравнения на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.