ПРИБОРЫ И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА, 2004, № 4, с. 20-26
_ ТЕХНИКА ЯДЕРНОГО
- ЭКСПЕРИМЕНТА
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ МОЩНОСТИ ТЕРМОЯДЕРНОЙ УСТАНОВКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ НА ЯДРАХ УГЛЕРОДА
© 2004 г. В. В. Фрунзе, Ю. А. Кащук, Д. В. Просвирин
ГНЦ РФ "Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований" Россия, 142190, Троицк Московской области Поступила в редакцию 03.10.2003 г.
Исследована возможность применения мгновенных у-квантов с возбужденного уровня 4.439 МэВ ядра углерода в реакции 12С(п, я'у)12С и рассеянных нейтронов для измерения мощности термоядерной установки. Показано, что измерение угловых распределений у-квантов и рассеянных нейтронов может быть выполнено с помощью трех спектрометров у-излучения и трех детекторов нейтронов. Детекторы следует расположить вокруг образца углерода по окружности под углами 140.8°, 90.0° и 39.2°. Проведено сравнение полученных значений полного сечения углового выхода у-квантов и нейтронов рассеяния с опубликованными в литературе данными.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для определения мощности термоядерной установки предполагается измерять плотность потока термоядерных нейтронов, используя реакцию 12С(п, п'у)12С неупругого рассеяния нейтронов с энергией 14.1 МэВ на ядрах углерода 12С с образованием первого возбужденного уровня 4.439 МэВ [1]. Время высвечивания возбужденного состояния составляет всего 0.05 фс, т.е. у-квант испускается почти мгновенно. Заметим, что для изотопа 12С спектр у-лучей состоит из одной единственной линии 4.439 МэВ вплоть до 20 МэВ. Более высокие уровни распадаются по каналам нуклонного распада с пренебрежимо малым выходом у-лучей.
Измерение плотности потока термоядерных нейтронов предполагается проводить путем облучения нейтронами с энергией 14.1 МэВ графитовых образцов, расположенных на выходе коллиматоров нейтронов плазмы. Вокруг графитовой мишени размещаются нейтронные и у-спектрометры для измерения дифференциального сечения неупругого рассеяния нейтронов в реакции 12С(п, п'у)12С. Полное сечение этой реакции, определяющее плотность нейтронного потока, вычисляется путем интегрирования измеренного дифференциального сечения.
Цель данной работы - определить, необходимо ли детальное измерение дифференциального сечения и какова минимальная структура измерительной аппаратуры. Оказывается, как будет показано ниже, для определения полного сечения с удовлетворительной точностью достаточно ограниченного числа п, у-детекторов, размещенных вокруг мишени под определенными углами. Задача решается методом численного моделирования с использованием квадратурной формулы Гаусса для интегрирования дифференциального сечения.
2. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА
Полученная К. Гауссом общая формула для вычисления интеграла, точная для произвольного многочлена степени не выше N = 2п - 1, имеет вид
7 ( X ) йх - Л™ Г (X!) + а2п) Г (х2) +
+ Л3п) Г ( Хз ) + ... + лПп) Г ( Хп ) + Яп,
(1)
где хк - корни многочлена Лежандра Рп(х) степени п,
а коэффициенты Лкп) и погрешность квадратурной формулы Яп определяются следующим образом:
2
Лкп) =
( 1- X2)[Р'п(Хк)]
2
(2)
Я„ -
02п + 1 г . -.4
2 [ п! ]
з/2п)(с), -1 < с < 1. (3) (2 п + 1)[(2 п)! ]3
Формула (1) может применяться в тех случаях, когда подынтегральная функция достаточно гладкая. При этом выигрыш в числе узлов (ординат), т.е. в числе измерений, крайне существен, что особенно важно при определении / (х) в масштабных дорогостоящих экспериментах [2, 3]. Именно поэтому важна оптимизация постановки эксперимента и обработки полученных экспериментальных данных в ядерной физике. Например, для определения энергетической зависимости полного сечения образования нейтронов в реакции Т(й, п)4Не нет необходимости получать детальные данные о дифференциальном сечении этой реакции в лабораторной системе координат в интервале углов от 0° до 180°. Как будет показано ниже, необходимо
и достаточно провести измерения для двух углов в этом диапазоне.
Рассмотрим поведение функции у = /(г), заданной на стандартном промежутке [-1; 1]. В этом интервале обычно представляют физические характеристики рассеяния, полученные в экспериментах при различных углах наблюдения. При этом решается задача подбора точек г1, г2, г3, ..., гп и коэффициентов Лъ Л2, Л3, ..., Лп, так чтобы квадратурная формула
I/ (г)йг = I Л,/(гг)
(4)
-1
г = 1
была точной для всех полиномов / (г) наивысшей возможной степени N = 2п - 1.
Формула (4), где гг - корни полинома Лежандра Рп(г), а Л1 (г = 1, 2, 3, ..., п) - коэффициенты, определяемые из системы:
IЛ г = 2;
г = 1
п
I л^ = 0;
г = 1
п
I Лг) = 2/3;
г = 1
IЛг2п 2 = 2/(2п -1);
г = 1
п
I л^п 1 = о,
г = 1
(5)
называется квадратурной формулой К. Гаусса [4].
Ниже приведены полиномы Лежандра для степени п от 0 до 7 [5]:
Ро (г) = 1; г) = г; Р2 (г) = 2 (3 г2-1); Рз( г) = 1 (5 г3-3 г); Р4 (г) = 1 (35г4-30г2 + 3);
о
Р5( г) = 1 (63 г5-70 г3 + 15 г);
о
Р6( г) = 1б (231 г6 - 315 г4 + 105 г2-5); Р7 (г) = 1б (429г7-693 г5+ 315 г3-35 г).
Коэффициенты Лг (г = 1, 2, 3, ..., п) могут быть также рассчитаны и по формуле (2). Действительно, для степени полинома Лежандра п = 1 коэффициент А1 = 2, так как корень полинома Рх(г) = г равен 0. Для п = 2 коэффициент Л1 = Л2 = 1, так как
корни полинома равны: гх = 1/л/3 и г2 = -1/л/3 . Так же просто находятся коэффициенты для других значений степени п. Элементы формулы Гаусса, позволяющие получать квадратурную формулу Гаусса для случаев нескольких ординат (п = 1, 2, 3, ..., 8), приведены в табл. 1.
Элементы формулы Гаусса могут быть также найдены другим способом. Например, для случая двух ординат они могут быть определены следующим путем. Приравнивая полином Лежандра второй степени к нулю
Р2( г) = 1 (3 г2-1) = 0,
находим его корни: гх = -413 = -0.5773503, г2 =
= Уш = 0.5773503. Для определения коэффициентов Л1 и Л2 воспользуемся первым и вторым уравнениями системы (5), а также полученными значениями гх и г2:
Л1 + Л2 = 2;
л1(-Уш) + л2(,Л73 ) = 0.
(6)
Решая, получаем: Л1 = Л2 = 1. Отсюда следует квадратурная формула Гаусса для двух ординат (п = 2):
| / (г) йг = [ Л1 / (-У1Т3) + Л2 / (У1/3)] =
-1
= [ / (-413) + / (413)].
(7)
Элементы формулы Гаусса для трех ординат (п = 3) могут быть получены путем приравнивания к нулю полинома Лежандра третьей степени. При
этом корни будут равны: г1 = -73/5 = -0.77459667,
что соответствует сое 140.77°; г2 = 0; г3 = 4305 = = 0.77459667 = сов39.23°. Используя первое и третье уравнения системы (5):
I Лг = 2;
г = 1
3
IЛ г г2 = 2/3,
(8)
получим: Л1 = Л3 = 5/9 и Л2 = 8/9. Квадратурная формула Гаусса для случая трех ординат (п = 3) будет иметь вид
п
п
3
Таблица 1. Элементы формулы Гаусса
n i корни полиномов ti 4
1 1 0 ¿1 = 2
2 1; 2 t1 = cos125.3° = -1/73 = -0.57735027 ¿1 = ¿ 2 = 1
t2 = cos54.7° = 1/73 = 0.57735027
3 1; 3 t1 = cos 140.8° = -7375 = 0.77459667 ¿1 = ¿3 = 5/9 = 0.55555556
t3 = cos39.2° « 73/5 = 0.77459667
2 t2 = cos 90° = 0 ¿2 = 8/9 = 0.88888889
4 1; 4 t1 = cos149.4° « -0.86113631 ¿1 = ¿4 = 0.34785484
t4 = cos30.6° « 0.86113631 ¿2 = ¿3 = 0.65214516
2; 3 t2 = cos109.9° » -0.33998104
t3 = cos70.1° « 0.33998104
5 1; 5 t1 = cos 154.98° = -0.90617985 ¿1 = ¿5 = 0.23692688
t5 = cos84.80 = 0.90617985
2; 4 t2 = cos 122.58° = -0.53846931 ¿2 = ¿4 = 0.47862868
t4 = cos57.42° « 0.53846931
3 t3 = cos 90° = 0 ¿3 = 0.56888889
6 1; 6 t1 = cos158.82° » -0.93246951 ¿1 = ¿6 = 0.17132450
t6 = cos21.18° » 0.93246951
2; 5 t2 = cos131.39° » -0.66120939 ¿2 = ¿5 = 0.36076158
t5 = cos48.61° « 0.66120939
3; 4 t3 = cos103.80° » -0.23861919 ¿3 = ¿4 = 0.46791394
t4 = cos76.19° » 0.23861919
7 1; 7 t1 = cos161.64° « 0.94910791 ¿1 = ¿7 = 0.12948496
t7 = cos18.36° « -0.94910791
2; 6 t2 = cos137.86° » -0.74153119 ¿2 = ¿6 = 0.27970540
t6 = cos42.14° « 0.74153119
3; 5 t3 = cos 113.94° = -0.40584515 ¿3 = ¿5 = 0.38183006
t5 = cos66.06° « 0.40584515
4 t4 = cos 90° = 0 ¿4 = 0.41795918
8 1; 8 t1 = cos 163.80° = -0.96028986 ¿1 = ¿8 = 0.10122854
t8 = cos16.20° « 0.96028986
2; 7 t2 = cos 142.81° « -0.79666648 ¿2 = ¿7 = 0.22238104
t7 = cos85.43° « 0.79666648
3; 6 t3 = cos 121.70° = -0.52553242 ¿3 = ¿6 = 0.31370664
t6 = cos58.30° » 0.52553242
4; 5 t4 = cos 100.57° = -0.18343464 ¿4 = ¿5 = 0.36268378
t5 = cos79.43° « 0.18343464
J f (t) dt =
-1
= 9 [ 5 f (-73/5) + 8 f (0) + 5 f (73/5)].
(9)
Аналогичным образом с использованием данных табл. 1 могут быть получены квадратурные
формулы Гаусса для п = 4-8 для определения полных сечений ядерных реакций по измеренным дифференциальным сечениям.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ГАУССА
Полное сечение агог связано с дифференциальным сечением йа/йО следующим образом [2]:
Сечение, мб 104 -
103
102
101
100 10
10-
100
101 102
Ed, МэВ
Рис. 1. Полное сечение реакции Т(й, п)4Ые в зависимости от энергии дейтонов по данным работы [6] (кривая 1) и рассчитанное нами по формуле (13) (кривая 2); вклад в полное сечение для углов 54.7° (кривая 3) и 125.3° (кривая 4).
atot = J( da/dQ) dQ = 2nJ dQ d( cos 0). (10)
4n -1
Согласно уравнению (1), оно может быть представлено в виде
atot = А,- ddQ (0i)•
(11)
i = 1
da
где — - экспериментальные дифференциальные сечения для углов, являющихся корнями полинома Лежандра степени N. Дифференциальное сечение рассеяния может быть представлено в виде полиномов Лежандра
dQ = О^0' •
(12)
da /dQ, мб/ср
250 -
200 - * «--•--- •-•-*-»
150 -»- 0.2 МэВ
- 0.5
1.0
-•- 2.0
100
50
0 i i 40 Г ■ 1 ■ 1 • 1- 80 120 160
0, град
Рис. 2. Зависимость дифференциального сечения ре-
акции T(d, n) He от угла и энергии дейтонов по дан-
ным работы [6].
3.1. Проверка метода определения полного сечения аЛ: п(Е) на примере образования нейтронов в реакции Т(й, п)4Ые (тестовая задача)
Энергетическая зависимость полного сечения аа, п(Е образования нейтронов в реакции Т(й, п)4Ые в диапазоне энергий дейтонов 0.01-10.0 МэВ, полученная в работе [6], приведена на рис. 1. Для проверки метода нами в диапазоне энергий 0.2-10.0 МэВ вы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.