МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.546:519.63
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ГРУНТЕ ПРИ ИСПАРЕНИИ ВОДЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ РАСТВОРЕННУЮ ПРИМЕСЬ
© 2014 г. Е. Б. СОБОЛЕВА, Г. Г. ЦЫПКИН
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: soboleva@ipmnet.ru, sobolel@gmail.com, tsypkin@ipmnet.ru, gtsypkin@yandex.ru
Поступила в редакцию 26.12.2013 г.
Проведено численное исследование профиля концентрации раствора, насыщающего низкопроницаемый грунт. Результаты моделирования показали наличие трех режимов движения. Накапливаемая у границы фазового перехода соль увеличивает плотность раствора и может приводить к развитию естественной концентрационной конвекции, которая взаимодействует с восходящим течением (вынужденной конвекцией). Определен порог устойчивости вынужденного течения и воздействие на него возникающей естественной конвекции. Показано, что при интенсивном подтоке к поверхности испарения происходит быстрый рост концентрации примеси на этой границе, значение которой достигает концентрации насыщения. В этом случае примесь выпадает в осадок. В режиме медленного испарения происходит диффузионный отток примеси из области высокой концентрации, что предотвращает развитие конвективного течения.
Ключевые слова: фильтрация, испарение, диффузия примеси, устойчивость, численное моделирование, конечно-разностный метод, конвекция.
В последние годы все более актуальной становится проблема качества грунтовых вод. Недостаток питьевой воды, воды для орошения сельскохозяйственных культур ощущается, в первую очередь, в засушливых регионах. Качество грунтовых вод определяется происходящими в грунтах физико-химическими и биологическими процессами, которые могут быть техногенного происхождения или вызываться природными явлениями, например, связанными с глобальным изменением климата. Показатели качества грунтовых вод зависят от наличия растворенных примесей или примесей в виде мелкодисперсных частиц или включений. Поэтому движения примесей вместе с потоком, их диффузионное перераспределение, взаимодействие с частицами грунта и т.д. играют ключевую роль в рассматриваемых явлениях [1].
Движение и перераспределение примеси может быть вызвано испарением грунтовых вод. Например, в [2] моделировался процесс испарения с поверхности грунта и определялись вертикальные профили водонасыщенности и концентрации ионов. В [3], на основе уравнения Ричардса, исследовался нисходящий фронт испарения и проводилось сравнение с лабораторными экспериментами.
В работе [4] рассматривалась задача о перераспределении растворенной примеси в результате испарения грунтовых (почвенных) вод. Показано, что концентрация примеси, увеличиваясь к поверхности испарения, может достигать концентрации насыщения на этой поверхности и, в результате приводить к выпадению в осадок. С другой стороны, формирование профиля концентрации приводит к тому, что более концентрированный раствор располагается над менее концентрированным, плотность которого меньше. Такая конфигурация, по аналогии с задачами классической гидродинамики [5], должна быть неустойчивой.
, , Атмосфера ,
Граница почвы
: ■: ■ и, ■
Пар
1 раНИНа ра!ДеЛИ ф:н
■1
Вода I соль
х Водоносный слой
Фиг. 1. Схема задачи
Н
В [6] проведено аналитическое исследование устойчивости профиля концентрации примеси при условии недеформируемости поверхности испарения. Фронт испарения двигался вниз с постоянной фиксированной скоростью в предположении, что часть растворенной примеси выпадает в осадок, а концентрация примеси на фронте равна концентрации насыщения. Получено, что в низкопроницаемых грунтах профиль концентрации при расположении тяжелой жидкости над легкой может быть устойчивым,
а при значении проницаемости к > 10 16 м2 развивается неустойчивость. Механизмами стабилизации здесь являются диффузионное рассеивание примеси и подток жидкости вверх к поверхности испарения, подавляющий развитие возмущений.
В настоящей работе рассматривается задача о возникновении конвективных течений в двумерной постановке. Предполагается, что вода, содержащая растворенную примесь, подтекает к неподвижной поверхности испарения, где концентрируется растворенная примесь. Рассматриваются режимы, когда концентрация примеси меньше концентрации насыщения. Численное исследование показывает, что неустойчивость профиля концентрации приводит к формированию стационарных режимов конвективного течения.
1. Постановка задачи. Рассмотрим процесс испарения грунтовых вод, содержащих растворенную примесь. Предположим, что уровень грунтовых вод определяется давлением в высокопроницаемом водоносном горизонте, расположенном на глубине Ь (фиг. 1). Если давление меньше гидростатического давления pgL, то уровень грунтовых вод всегда расположен ниже поверхности, и испарение воды происходит в грунте на некотором расстоянии к от поверхности. Если проницаемость грунта мала и подток из водоносного горизонта к поверхности затруднен, то испарение оказывает заметное влияние на уровень грунтовых вод, который опускается ниже гидростатического, существенно увеличивая величину к. В высокопроницаемых грунтах интенсивность испарения мала по сравнению с интенсивностью восходящего движения жидкости, и к определяется исключительно из соображений гидростатики.
В области Ну < у < Ь (фиг. 1) перенос пара осуществляется за счет диффузии пара в воздухе. В области 0 < у < Ну движение грунтовых вод описывается законами сохранения масс воды и примеси, законом Дарси и уравнением состояния, связывающим плотность раствора с массой растворенной соли. Поскольку основная цель работы — исследование концентрационной неустойчивости и конвекции, то температуру грунта для простоты будем считать постоянной. Предположим также, что фронт испарения,
к
Ь
у
и
0
совпадающий с уровнем грунтовых вод, неподвижен, а интенсивность испарения (поток Н20 через поверхность) является заданной постоянной величиной.
Исследуем течение в прямоугольной области длиной Hx и высотой Hy, через нижнюю границу которой в объем поступает раствор соли, а через верхнюю границу осуществляется отток чистой воды; схема задачи показана на фиг. 1. Растворенная примесь будет накапливаться около верхней границы и распространяться обратно вглубь объема благодаря диффузии. Однако диффузионный отток соли может оказаться недостаточным для поддержания равновесия, что приведет к неустойчивости — развитию естественной концентрационной конвекции, которая взаимодействуя с восходящим течением, будет его деформировать.
Для описания движения раствора и перераспределения примеси в [6] использовалась система уравнений, которая имеет вид
V = --к- (УР -р^еу)
+ у-Ур, = БСУ 2р,
дг
V • V =0
Здесь v — скорость течения, р, — плотность раствора, ц , — вязкость, P — давление, k — проницаемость, ф — пористость, g — ускорение силы тяжести, Бс — коэффициент молекулярной диффузии примеси, ey — единичный вектор, противонаправленный оси у.
Давление меняется в чистой воде линейно от Р0 на высоте у = 0 до атмосферного давления Ра при у = Ну; Р0 > Ра. Систему основных уравнений можно привести к безразмерному виду, используя в качестве характерных масштабов высоту области Hy и вертикальную компоненту входного потока и0 при у = 0. В результате получается безразмерная система уравнений, адаптированная для численного моделирования в указанной области [7]
V ■ W = 0, (1.1)
W = - Ра (УП- 5еу) (1.2)
д 5 1
— + • V5 = — А5 (1.3)
дг Ре
и включающая безразмерную скорость W = V/ и0 и отклонения плотности и давления от значений в чистой воде р0
5 = (р, - Р°)/(рГ - р0), п = (Р - Р0 - (Р0 - Ра)у/Ну) /)(рТ - Р0))
соответственно. Здесь — плотность насыщенного раствора, и0 — вертикальная компонента скорости входного потока у0 = (0, и0) при у = 0.
В системе уравнений (1.1)—(1.3) имеются безразмерные параметры
Ра = -Р0)э Ре = (1.4)
фц,ц, Ос
Параметр Pa — это отношение скорости фильтрации kg(p,а> -р°)/фц,, вызванной градиентом плотности, к скорости входного течения и0; он характеризует перенос со-
ли фильтрационным потоком по сравнению с вынужденной конвекцией восходящего течения. Параметр Ре — концентрационное число Пекле — представляет собой отношение и0 к характерной скорости диффузии Вс/Ну и отражает соотношение между конвективным и молекулярным переносом соли.
Плотность раствора р* связана с плотностью, растворенной в нем соли рс (массой соли в единице объема раствора) линейным уравнением состояния
р * =р0 + арс (1.5)
где а — константа; для воды а « 0.64 [6]. Из (1.5) переменную 5 можно выразить через безразмерную плотность соли в растворе * = рс /(р *"' - р0) как S = а *.
Массовая концентрация соли с определяется как с = рс/р*. Используя это определение и уравнение состояния (1.5), можно найти выражение для плотности раствора р* в виде
0
Р * (1.6)
1 - ас
и выразить безразмерную плотность раствора 5 через концентрацию соли с
^ _ с(1 - ас*а1) (1 у)
с*а, (1 - ас) '
Здесь с*а! — концентрация насыщения раствора.
На горизонтальных границах области скорость, плотность и давление постоянны и при у = 0 имеют значения: У0 = (0,и0), р*0 Р0; при у = Ну: V*, р**, Р* (фиг. 1). Индексы "0" и "*" указывают на граничные условия снизу и сверху области. На верхней границе выполняются соотношения V* = V (следует из уравнения неразрывности), Р* = Ра; плотность р** определяется из условия равенства притока соли к границе с течением воды и ее оттока за счет диффузии. На боковых границах х = 0, Нх ставится условие непроницаемости для воды и соли.
В начальный момент считается, что скорость V и плотность р* постоянны по объему и равны этим величинам во входном потоке V,, р*0, давление линейно уменьшается с высотой как Р0 - (Р0 - Ра)у/Ну. Начальные и граничные условия для течения в прямоугольной области в безразмерных переменных принимают вид [7]
t = 0: W = 5 = S0, П = 0
у = 0: W = W0, 5 = П = 0
у = 1: W = W0, 5\У0 - 1/РеУ5 = 0, П = 0
х = 0, х = Л: п • W = 0, п ■ = 0, п ■ УП = 0
Здесь Л = Нх /Ну — отношение сторон исследуемой области, п — единичный вектор, направленный по нормали к ее границе.
Количество соли, пос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.