ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1611-1622
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ КРИОХИРУРГИИ И ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПОЛОЖЕНИЯ НАКОНЕЧНИКОВ ПРИ ХИРУРГИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ^
© 2015 г. Н. А. Кудряшов, К. Е. Шильников
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, Нац. Исследовательский Ядерный Ун-т, МИФИ) e-mail: nakudr@gmail.com; shilnikov.k@yandex.ru Поступила в редакцию 02.04.2014 г. Переработанный вариант 27.02.2015 г.
Рассматриваются численное моделирование и оптимизация криохирургических операций. Численно решается задача Стефана, описывающая тепловые процессы, возникающие при проведении операции. Используются метод конечных объемов и энтальпийный подход. Решается задача поиска оптимального расположения зондов для повышения эффективности проводимой операции. Для решения этой задачи используются методы непараметрической многокритериальной оптимизации. Библ. 15. Фиг. 8.
Ключевые слова: криохирургия, уравнение теплопроводности, задача Стефана, численные методы, метод конечных объемов, энтальпийный метод, многокритериальная оптимизация.
Б01: 10.7868/80044466915090100
1. ВВЕДЕНИЕ
Рак предстательной железы — одно из самых распространенных злокачественных заболеваний, диагностируемых у мужчин (см. [1]). Самый высокий уровень заболевания раком простаты отмечается в США (первое место в структуре онкологической заболеваемости), а также в Финляндии, Норвегии и Канаде, где в последнее время наблюдается устойчивое возрастание заболеваемости раком простаты (до 3% в год). Ежегодно в мире выявляется свыше 400 тысяч новых случаев рака предстательной железы и около 200 тысяч человек каждый год умирают от этого недуга. В 2004 г. только в США смертность составила свыше 30 тысяч, в России — около 8 тысяч.
По данным 2006 года в России показатель заболеваемости раком предстательной железы составил 20.08 на 100 тысяч мужского населения; среднегодовой прирост заболеваемости равен 8.7%, а суммарный прирост заболеваемости за десятилетний период с 1996 по 2006 г. (129.4%) опережает рост заболеваемости всеми другими видами рака. Показатель смертельных исходов от рака на 100 тысяч мужского населения составляет 9.9, а его десятилетний прирост (1996—2006 гг.) и среднегодовой темп прироста — соответственно 35.8% и 3.1%.
Считается, что рак простаты — это заболевание мужчин старшего возраста. Однако последние исследования показывают, что примерно у 30% лиц мужского пола в возрасте 30—40 лет при анализе биопсийного материала обнаруживаются признаки аденокарциномы простаты (см. [2]). В возрастной группе свыше 60 лет распространенность рака простаты достигает 60%. В виду неутешительной динамики роста заболеваемости и смертности все более актуальной становится проблема поиска новых эффективных методов лечения онкологических заболеваний. В этой связи в настоящее время наряду с химиотерапией и лучевыми методами активно развиваются и внедряются методы криохирургического воздействия для лечения широкого спектра воспалительных и онкологических заболеваний (см. [3]). В частности, одним из наиболее показательных и результативных примеров применения такой практики является криодеструкция раковой опухоли предстательной железы. В ходе такой операции в район очага образования вводится набор криоигл, инициирующих образование шариков льда на концах криоинструментов (игл). По ис-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (проект для поддержки исследований проводимых отдельными научным группами № 14-11-00258).
1611
течении определенного времени (порядка 10 минут) крионаконечники извлекаются и область естественным образом оттаивает.
Остановимся подробнее на процессах, протекающих в ходе операции. Известно, что при охлаждении биоткани начинается процесс дегидрации клеток (выход жидкости из внутриклеточного пространства). При обеспечении должной скорости охлаждения центры кристаллизации образуются внутри клетки, и образующиеся кристаллики льда разрывают клеточную мембрану, тем самым разрушая клетку. Однако в случае когда приходится иметь дело с обширными образованиями, за счет тепловой инертности и ряда других факторов, присущих реальным биотканям, не всегда представляется возможность обеспечить необходимую скорость охлаждения в целевой области. В 1964 г. И. Купером (см. [4]) было установлено, что для полной криодеструк-ции образования требуется поддерживать образование при температуре ниже —20°С не менее минуты. Позднее было установлено в [5], что биоткань подвергается некрозу, если охладить целевую область ниже —50°С. В [6] на примере двумерного численного моделирования криохирургического воздействия на цилиндрическую область было показано, что в ходе операции в окрестностях крионаконечников некроз тканей наступает в результате внутриклеточной кристаллизации, а в остальных областях — в соответствии с критерием Купера. Несмотря на то что двумерное моделирование имеет ограниченное отношение к реальным задачам криохирургии, в [6] были сделаны важные выводы относительно процессов, имеющих место при криоаблации биоткани, и факторах, которые следует учесть в дальнейших разработках. Предложенный в этой работе конечно-элементный метод расчета процессов теплопроводности с использованием так называемого индекса заморозки, хотя и показал адекватность результатов на задачах с известными точными решениями и экспериментальными данными, все же не экономичен, учитывая, что данная работа предполагает многократное использование программы расчета тепловых процессов в исследуемой биоткани.
Вторым важным аспектом в планировании криохирургической операции является оптимизация результата воздействия посредством подбора наилучших значений параметров (в частности и чаще всего пространственной конфигурации криозондов). Представляется очевидным, что для каждой заданной целевой области необходимо выбрать такую конфигурацию расположения крионаконечников, при которых степень криодеструкции злокачественного образования максимальна, а вред окружающим здоровым тканям минимален. В [7] предложена оптимизация расположения набора криозондов в двумерном случае на основе генетических алгоритмов. Несмотря на новизну подхода к задаче (алгоритмическая оптимизация как способ минимизации человеческого фактора), в [7] содержится ряд недостатков. Во-первых, аналогично [6], решается двумерная задача, что имеет ограниченное применение к реальной криохирургической практике. Во-вторых, в работе используются стандартные инструменты решения задач математического пакета Ма^аЬ, неаккуратное использование которых может сильно повлиять на адекватность полученных результатов. В-третьих, задача многопараметрической оптимизации (в нашем случае двухпараметрической) сводится к минимизации равномерного квадратичного скаляра по обоим параметрам. Таким образом, несмотря на то, что задача многопараметрической оптимизации в общем случае имеет множество решений мощностью больше единицы (мощность континуума в непрерывном случае, так называемый фронт Парето), в упомянутой работе производится оптимизация параметров лишь в строго заданной пропорции, что приводит к потере альтернативных решений.
Основной особенностью и трудностью в решении поставленной задачи многопараметрической оптимизации является отсутствие явной параметрической зависимости целевых функций (параметров оптимизации) от исходных параметров (в нашем случае конфигурации крионако-нечников). Тем не менее, эти функции являются вычислимыми. Так, для каждого набора исходных параметров (расположений зондов), тот или иной программный комплекс вычисляет количество разрушенных клеток в здоровой окружающей ткани и неразрушенных клеток в ткани опухоли. Эти два параметра и подлежат минимизации. Многопараметрическая оптимизация в отсутствие явного задания целевых функций в лучшем случае подразумевает эффективный перебор возможных исходных параметров. Таким образом, использование метода, предложенного в [6], не оправдано с точки зрения экономичности разрабатываемого алгоритма, так как требует ретриангуляции расчетной области для каждого нового расположения крионаконечников.
Данная работа является продолжением работы [8], в которой решалась трехмерная осесим-метричная задача Стефана с учетом влияния конвекции крови в биотканях, определяемого заданным потенциальным полем тока крови. Однако предложенная в работе модель для пищевода в силу сложности системы кровообращения в предстательной железе является здесь непригод-
ной. В связи с этим, исследования в данной работе были сфокусированы на трехмерном моделировании криохирургии в случае произвольной геометрии задачи без учета конвективных процессов.
Работа состоит из двух частей — расчетной и оптимизационной.
Расчетная часть посвящена моделированию многозондной криохирургии, в которой предлагается решение трехмерной задачи Стефана методом конечных объемов в купе с энтальпийным подходом для расчета фазовых переходов и проводится ряд численных экспериментов на задачах с известным точным решением и реальными теплофизическими параметрами среды.
В то время как расчетная часть по своей сути реализует указанные выше вычислимые целевые функции для каждого заданного набора параметров, оптимизационная часть посвящена поиску эффективного перебора возможных конфигураций расположения зондов. Предлагается подход, в рамках которого вместо нахождения какого-либо единичного оптимума (как в случае скаляри-зации целевой вектор-функции) выявляется некоторая окрестность всего фронта Парето критериального множества.
2. ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МУЛЬТИЗОНДНОЙ КРИОХИРУРГИИ
Рассмотрим математическую модель для расчета температурного распределения в трехмерной композитной области и опишем расчет регуляризованной теплоемкости в рамках энталь-пийного подхода и потоков через поверхности ячеек сетки при конечно-объемной аппроксимации задачи. Алгоритм решения задачи будем тестировать на задачах с известным аналитическим решением. На примере реальных данных (биоткани цыпленка) представим результаты численных экспериментов по моделированию моно- и мультизондной криохирургии.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.