ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 10, с. 1692-1700
УДК 519.624.2
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ ДИССИПАТИВНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ДУФФИНГА С ДВУХЧАСТОТНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
© 2007 г. Т. В. Завражина
(03680 Киев, пр-т. акад. Глушкова, 40,
Междунар. научно-учебный центр информ.
технологий и систем при НАНУ и МОНУ, Украина)
e-mail: dep@irtc.orq.ua
Поступила в редакцию 12.07.2005 г. Переработанный вариант 10.05.2007 г.
Предлагается методика математического моделирования хаотизации колебаний существенно нелинейного диссипативного осциллятора Дуффинга с двухчастотным возбуждением на инвариантном торе в К2. Она основана на совместном применении метода продолжения решения по параметру, критериев устойчивости Флоке, теории ветвления, метода высокоточного численного интегрирования Эверхарта. Данный подход использован для численного построения субгармонических решений при переходе рассматриваемого осциллятора к хаосу через последовательность бифуркаций кратного увеличения периода. Подтверждено значение одной из универсальных постоянных, полученных ранее автором при исследовании хаотизации колебаний диссипативных осцилляторов с одночастотным периодическим возбуждением. Библ. 21. Фиг. 4. Табл. 1.
Ключевые слова: динамическая система, осциллятор Дуффинга, периодическое решение на торе, бифуркация, хаос, численный метод Эверхарта, теория Флоке, универсальная постоянная Фейгенбаума.
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопросам исследования возможных сценариев перехода от регулярных к хаотическим режимам движения детерминированных динамических систем на фазовых плоскостях с одночастотным периодическим возбуждением посвящена обширная библиография (см., например, [1]-[8]). Качественное исследование отдельных областей фазового пространства систем, в которых имеют место устойчивые и неустойчивые режимы движения, и путей развития неустойчивостей, связанных с возможностью возникновения периодических, субгармонических, квазипериодических и хаотических движений, проведено в [1], [2], [5]-[8] с применением различных приближенных аналитических и численных методов, а также их сочетаний. Следует отметить растущий интерес к исследованиям нелинейных динамических систем, находящихся под действием множественных возмущающих нагрузок различной частоты (см. [9]-[12]). Разнообразные подходы к исследованию таких многочастотных нелинейных систем, которые возникают в различных задачах небесной механики, физики, радиофизики и др., обсуждаются в [9]-[14].
В связи с тем, что с увеличением размерности вектора частот возмущающих нагрузок динамических систем происходит усложнение структуры резонансных поверхностей, наиболее полно изучены одночастотные случаи. Поэтому в настоящей работе предложена методика математического моделирования переходов к хаосу нелинейных осцилляторов с двухчастотным возбуждением через последовательности бифуркаций кратного увеличения периода. Для примера нелинейного диссипативного осциллятора Дуффинга на базе разработанной методики построена универсальная по Фейгенбауму последовательность первых восьми бифуркаций удвоения периода, которая приводит к возникновению хаотических колебаний осциллятора с появлением странного аттрактора.
1692
2. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДОВ К ХАОСУ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУХЧАСТОТНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Будем исследовать эволюцию установившихся периодических колебаний осциллятора
йх /й = Г(х, X, ю 1 t,m21), (1)
где х = (хх(0, ..., хДО) есть А-мерный вектор фазовых координат, X - управляющий параметр, представляющий собой интенсивность внешнего возмущения с постоянными частотами юь ю2;
Г(х, X, ю1 t,ю21) = (/1 (х, X, ю1 t,ю21),...,/А(x,X,ю1t,ю2t))
есть нелинейная вектор-функция размерности А, непрерывно дифференцируемая по х и X необходимое число раз.
Введем две дополнительные переменные ф1 = ю^, ф2 = ю2^ С учетом этого векторное уравнение (1) заменим системой
г(х,х, , >, £ =», га
где ф = (фх(0, ф2(0), ю = (юх, Ю2).
2
Для построения резонансных периодических решений системы (2) на инвариантном торе в К , удовлетворяющих резонансному соотношению
к 2 Ю2 = 0, (3)
перейдем в системе (2) к собственному времени т = при котором будем строить искомые решения периода Т = 2п. Составим (см. [15]) следующие уравнения относительно Т:
ю1 Т = 2 п к2, ю2 Т = -2 п к 1. (4)
Тогда на основе (4) частота О может быть определена из резонансного соотношения (3) одним из двух эквивалентных равенств
О = Г = - Г. (5)
к2 к1
Здесь £х, к2 - целые числа. С учетом указанной замены переменных система (2) примет вид
Ой = Г(х-Х- ф), Оф = •. (6)
Проведем исследование эволюции периодических решений системы (6) при изменении управляющего параметра X.
3. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ НА ТОРЕ В
Запишем систему (6) в общем виде:
йу/йт = g(у(т), X), (7)
где g(y(т), X) = (?х(у(т), X), ..., gP(y(т), X)) - нелинейная вектор-функция размерности Р = N + 2, непрерывно дифференцируемая по у и X необходимое число раз и периодическая по т с периодом Т = 2п:
§(У(т), X) = g(у(т + Т)Д). Здесь у(т) = (ух(т), ..., уР(т)) есть Р-мерный вектор.
Исследуем эволюцию установившихся субгармонических движений периода £Т, к > 1, системы (7) при изменении управляющего параметра X. С этой целью построим непрерывные субгармонические решения у(т) системы (7), удовлетворяющие условиям периодичности вида
у (0) = у (£Т). (8)
Методика решения двухточечной краевой задачи (7), (8) базируется на пошаговом алгоритме замены исходной системы (7) системой линейных дифференциальных уравнений с периодиче-
скими коэффициентами, полученной путем линеаризации исходных уравнений движения в окрестности некоторого известного решения.
Построим кТ-периодическое решение у/т) системы (7), соответствующее заданному значению параметра X = V Для этого рассмотрим т-й промежуточный шаг численной реализации метода продолжения решения по параметру. Пусть при значении параметра X = Xm известно в общем случае приближенное субгармоническое решение ут(т) исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений. В предположении непрерывной зависимости у(т) системы (7) от начальных условий у(0) и параметра X представим его в окрестности состояния ут(т), Xm в виде у(т) = у(у(0), X). Тогда условие периодичности рассматриваемого решения запишется в форме
У( 0) = У(У(0),Х, кТ). (9)
При близком Хт значении параметра Хт + 1 = Хт + 5Хт субгармоническое решение ут + /т) системы (7), удовлетворяющее условиям вида (9), представим следующим образом:
Ут +1(т) = Ут(т) + 6Ут(т), (10)
где 5Ут(т) - приращение искомой вектор-функции. Соответствующие решению ут + /т) начальные условия имеют вид
Ут +1( 0 ) = Ут ( 0 ) + 6Ут ( 0 ), (11)
где 6ут(0) - вектор вариаций начальных условий. Подставим искомое решение (10) при X = Хт + х в уравнение (7) и получим
+ б^) = §(Ут(т) + 6Ут(т), Xm + 6Xm) . (12)
Правую часть этого уравнения разложим в ряд Тейлора в окрестности известного состояния у(т) = = ут(т), X = Xm. Ограничиваясь членами первого порядка малости по 6ут(т), 6Xm, заменим (7) линейной системой вида
+ = § ( Ут ) + ёг ( Ут(т)' X т )6 Ут(т) + §Я(Ут(т)Л т )6Xm,
где ёг и gX - соответственно, матрица-функция и вектор-функция производных функции g(ym, Xm) по у и X:
ёг = д g/дy, gx = Эg/ЭX. Тогда неизвестная вектор-функция 6ут(т) должна удовлетворять уравнению
6(^Ут) = ёг(Ут(т)Лт)6Ут + ёя(Ут(т)Лт)6Xm (13)
и задача построения приближенного субгармонического решения (10) нелинейной системы (7) сводится к отысканию удовлетворяющего условиям периодичности
бУт ( 0 ) = 6 Ут ( кТ) (14)
решения линейного относительно 6у(т) и 6X неоднородного уравнения в вариациях (13) с периодическими коэффициентами ёг и gX. Согласно (10), (11), вектор вариаций фазовых координат 6ут(т) удовлетворяет соотношению
6Ут( 0 ) = Ут + 1 (Ут( 0 ) + 6Ут( 0 ХК + 6Xm) - Ут(Ут( 0 )Лт) . (15)
Разложим правую часть отношения (15) в ряд Тейлора в окрестности состояния у(0) = ут(0), X = Xm: 6 (т) Э У(Ут(0 )'Xm) 6 (п)^дУУт(0)Лт)) 6л , ( (п) л )
6Ут(т) = -Э"У("0^-6Ут ( 0 ) + -ЭХ- т + Г ( Ут ( 0 ) . (16)
Здесь г(ут(0), Xm) есть Р-мерная функция невязки, имеющая порядок отброшенных членов разложения (16).
При заданном вектор вариаций начальных условий 5ут(0) может быть определен из системы линейных алгебраических уравнений
к
[+1 (кТ) - Е]6уи(0) = -гХи + 1(кГ)Ыт - К:(кТ), (17)
полученной из соотношения (16) с учетом условий периодичности (8), (14). Невязка Ктт (кТ) предыдущего шага учитывается в (17) для увеличения точности при определении 5ут(0). На (т + 1)-м шаге варьирования параметра X матрица монодромии 2т + 1(кТ) = Эу(кТ)/Эу(0) однородного уравнения в вариациях определяется из нормированной фундаментальной матрицы решений 2т + х(т) однородного уравнения в вариациях
^ = +1, (18) где 2т + х(0) = Е, Е - единичная матрица; вектор
гхт +1( кТ) = ^
определяется из частного решения г%т + х(т) неоднородной системы уравнений в вариациях (13):
^гХт+1
d т
= gYZXm +1+ gb ZXm + 1( 0) = 0 (19)
Дальнейшее построение решения (10) системы (7), удовлетворяющего условиям периодичности вида (8), основывалось на подходе, который при Xm + 1 = Xm + 5Хт заключается в определении на основании (17) соответствующего ему вектора начальных условий (11), удовлетворяющего условиям периодичности, и решении еше одной, (Р + 2)-й задачи Коши для исходной нелинейной системы (7) с полученными начальными условиями. При этом построение решений 2т + х(т), г%т + х(т) для (Р + 1)-й задачи Коши (17), (19) и искомого решения дополнительной (Р + 2)-й задачи Коши выполнялось с использованием высокоточного метода численного интегрирования Эвер-харта 11-го порядка (см. [2]). Все вычисления проводились с удвоенной точностью.
Построенное решение ут + х(т) задачи Коши для системы (7) с начальными условиями ут + х(0) при X = Xm + х удовлетворяет условиям кТ-периодичности лишь приближенно. Уточнение начальных условий при X = Хт + х может быть проведено при помощи представления
кт +1
Ут +1( 0) = Ут(0) + 6ут( 0) + Тбу (0) (20)
Кт + 1
и модифицированной схемы Ньютона
i = 1
8у, (0) = -[Zm + i( kT) - E]-1 Rm + 1, i = 1, 2,..., km
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.