МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. А. Б. КИСЕЛЕВ, О. В. НЕХАЕВА
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕОБРАТИМОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВУХСЛОЙНОГО КОНТЕЙНЕРА, ЗАПОЛНЕННОГО ЖИДКОСТЬЮ, ПРИ СОУДАРЕНИИ С ЖЕСТКОЙ ПРЕГРАДОЙ
Анализируются результаты численного решения двухмерной задачи соударения осесимметричной конструкции, представляющей собой двухслойный контейнер, заполненный жидкостью, с абсолютно жесткой преградой при различных скоростях соударения.
Ключевые слова: соударение, термоупруговязкопластичность, необратимое динамическое деформирование, параметры поврежденности, разрушение, контейнер.
1. Введение. Задачи механики необратимого динамического деформирования и разрушения материалов и конструкций, вызванных ударом, взрывом, прониканием и пробиванием давно привлекают внимание исследователей ввиду своих многочисленных приложений на практике. Укажем только некоторые работы по данной тематике: [1—12].
Рассматриваемая в данной работе конструкция представляет собой двухслойный осесимметричный контейнер, заполненный жидкостью. Внешний слой выполнен из теплозащитного материала, моделируемого термовязкоупругой средой Максвеллов-ского типа. Второй слой, значительно более тонкий, выполнен из алюминиевого сплава. Динамика необратимого деформирования и микроразрушения металлического слоя описывается моделью повреждаемой термоупруговязкопластической среды. При этом для математического моделирования зарождения и развития микроповреждений в материале вводится тензорный параметр поврежденности. Первый инвариант этого тензора описывает так называемое вязкое разрушение материала — появление и развитие повреждений типа сферических микропор. Второй инвариант девиатора тензора поврежденности описывает сдвиговое разрушение материала, характерное для динамических задач — разрушение типа образования полос адиабатического сдвига.
В процессе деформирования конструкции может происходить её макроразрушение. В качестве критерия начала такого разрушения для металлического слоя используется критерий предельной удельной диссипации, а для теплозащитного слоя — критерий Давиденкова—Фридмана.
Поведение заполнителя оболочки (воды) описывается широкодиапазонным уравнением состояния Н.М. Кузнецова, дополненным в области очень низких давлений аппроксимационной формулой, полученной в результате обработки экспериментальных данных.
Задача необратимого динамического деформирования и разрушения конструкции решается численно в двумерной осесимметричной постановке методом Уилкинса на лагранжевой расчетной сетке.
В качестве примера рассматривается задача столкновения контейнера с абсолютно жесткой стенкой при различных скоростях соударения, имеющая непосредственное
отношение к проблемам космической науки и техники, в частности, к проблеме образования космического мусора [13].
2. Постановка задачи необратимого динамического деформирования и разрушения контейнера. Задача решается в двумерной осесимметричной постановке. Ось х - ось симметрии, у — ортогональна ей.
Уравнения движения твердых слоев оболочки имеют вид
• 5схх , доху Оху . доху дауу ауу -с00 рМ = -хх +-+ -, рц = -+ -+
dx dy y dx dy y
Здесь u,u — компоненты вектора скорости вдоль осей x, y соответственно; р — плотность материала; axx, ayy, agg, axy — компоненты тензора напряжений, которые раскладываются на шаровую а = (a xx + a yy + a gg) /3 и девиаторные части: a xx = а + Sxx, о yy = о + Syy, Ogg = о + S00, о xy = Sxy, Sxx + S yy + S00 = 0; Ggg - кольцевое напряжение; здесь и далее точка над символом означает материальную производную по времени.
Уравнение неразрывности запишется в следующем виде:
Р + Р (ё xx + ё yy + ё 00) = 0
где éxx = du/dx, éyy = du/dy, éxy = 1/2 (du/dy + du/dx), é00 = u/y — компоненты тензора скоростей деформаций.
2.1. Модель внешнего теплозащитного слоя. Внешний слой контейнера моделируется термовязкоупругой средой Максвелловского типа:
éxx = ^ + ^, éyy = ^ + ¿ж, é00 = ¿99 + ¿ее, , = ¿xy = ^ + ^ (2.1)
2ц 2п 2ц 2п 2ц 2п 2ц 2п
Здесь exx = é xx - (É xx + é yy + É gg)/3, éyy = £ yy - (é xx + ё yy + é gg)/3, é gg = £ gg -
- (éxx + éyy + égg)/3 — компоненты девиатора тензора скоростей деформаций, ц — модуль сдвига, п — динамическая вязкость, значком V обозначена Яуманновская производная:
S v _ а _ S fd u _ди) S v _ а + S fd u д и
Sxx Sxx Sxy I - - I , Syy Syy + Sxy I - -
^d y д x) \д y д x
CV _ Л ev _ Л + Sxx - Syy fd u д и
Sее _ Sее, Sxy _ Sxy + --1 ----—
2 ^d y д x)
Уравнение для шаровой части тензора напряжений имеет вид
o = к (sxx + syy + sее -av (T - To)) (2.2)
где K — объемный модуль, av — коэффициент объемного расширения, T0 — начальная температура.
Уравнение притока тепла в адиабатическом приближении имеет вид
рcGT + av ÓT = ^ + + ¿ее ^ (2.3)
2n 2n 2n n
Здесь cCT — теплоемкость при постоянных напряжениях.
2.2. Модель внутреннего металлического слоя. Металлический слой моделируется повреждаемой термоупруговязкопластической средой [14—17]. В этой модели рас-
сматривается микроразрушение двух типов: вязкое с образованием микропор сферической формы и сдвиговое разрушение. Достигается это следующим образом. Вводится симметричный тензор поврежденности ю,у. Первый его инвариант ю = юкк /3 опи-
сывает объемную поврежденность, а второй инвариант а = ^'ую'у (юу = Юу - юду/3) — сдвиговое разрушение. Считается, что в областях интенсивного растяжения параметр ю описывает накопление повреждений типа микропор, которые могут залечиваться при сжатии. Параметр ю можно интерпретировать как относительное сокращение эффективной несущей нагрузку площадки вследствие появления распределенных внутри образца микропор. Параметр ю можно считать объемным содержанием микропор в материале. В неповрежденном материале ю = а = 0 с накоплением повреждений ю и а растут, оставаясь меньше 1. Отметим, что все модели повреждаемых сред, к которым относится и [17], берут свое начало с классических работ [18—20].
При построении модели повреждаемой среды [17] использовались законы термодинамики. Механические, тепловые и процессы накопления повреждений являются взаимно связанными:
УУ
= ~XX ■ ~уу ■ ~„„ + О« +---XX а (2.4)
ёXX + ёуу + ё00 , ¿XX , Л • С Ух
3
£ XX + £ уу + £ 00
3
£ XX + £ уу + £ 00
3
¿XX
2 п
$ ее ¿и ~4у3у
(1 -®)(1 - а)
Л • С ¿уу
(1 -ю)(1 - а)
Л ■ С ¿00.
+¿уу+
, ¿ад , Л ■ С ¿М • • е Уxy , 2Л ■ С Уxy ■
+ -00 + :--:_00 а, е™ =— + т-тт-:— а
2ц (1 -ю)(1 -а), xy 2ц (1 -ю)(1 -а)Уи
н I ¿и -«, ¿Уу = н [¿и -.Ь
ст = К|еXX + £уу + £00 -ау(Т - То) + В Л 1п (1 -Ю)-Л^1
- ^XX + ¿уу + ¿(20 + 2^ху
рсстТ + ау ( Т = Sxx¿ XX + $уу£ уу + Я 00£ 00 + 2Уxy£ 0у + Лю2 + Аа2
ю = В (-^-а*)н(-^-а*) Н(а-а+ ) + Н(а--а)
\1 -ю / и -ю ! 4п0 ' ' 4п0 ' '
а + = -2/3У01п ю, а- = 2/3701п ю а = С {---, - 5,* 1 н (---, - 5,*
Ч(1 -ю)(1 -а) ") Ц1 -ю)(1 -а)
В (2.4) введены следующие обозначения: Н(х) — единичная функция Хевисайда; У0, ц0, По, К0 — предел пластичности, модуль сдвига, динамическая вязкость и объемный
модуль неповрежденного материала; В, а*, С, А, S* > 0 — константы материала, связанные с накоплением микроструктурных повреждений; 5и = — интенсивность девиатора напряжений; ¿¡у, еу ( у = хх, уу, ху, 00) — упругие и пластические деформации: Еу = Е^у + грр кроме того принято, что в поврежденном материале модули К, ц, п и У зависят от параметров поврежденности ю и а:
К = К0 (1 - ю); ц = ц0 (1 - ю) (1 - а) П = По (1 -ю)(1 -а); У = Уо (1 -ю)(1 -а)
Считается, что У0, зависят от температуры, давления, плотности, пластических деформаций как в модели Штейнберга—Гуинана [21]:
Уо = Уо
оо
(1 + р£и) (1 - Ьа(ро/р)1/3 - Н(Т - То))
Уо
оо
(1 + р£ У )П
< Ут
Уоо = о
при
Т > Тт
Т = Т I ро
т 1 то I
2/3
ехр|2уо I 1
Цо - Цоо
1 - ьст|& | - Н(Т - То)
1/3
Цо - Цоо
/ у/3 1 - Ьс^ - Н(Т - То)
с* = с*:
Уо
'У-
По = Поо
Цо
„* _ „* Уо
5и = Лио ~~
оо
Здесь гри - интенсивность пластических деформаций, Тт У00, ц00, Тт0, в, к, Ь, у0, к — константы материала [21].
Цоо Уоо
температура плавления,
Входящие в модель (2.4) "нестандартные" константы В, а*, А, С, определяются из экспериментов по плоскому соударению пластин с откольным разрушением [22, 23], как это было сделано, например, в [24].
2.3. Критерий начала макроразрушения слоев контейнера. Развитие интенсивного вязкопластического течения и накопление микроструктурных повреждений являются предразрушением материала. В качестве начала макроразрушения в металлическом слое (появления трещин — новых свободных поверхностей) используется критерий разрушения предельной удельной диссипации, введенный в работах [14—17], и хорошо себя зарекомендовавший при решении многих динамических задач ([8, 13—17, 24] и др.). Применительно к модели (2.4) в адиабатическом приближении, когда термическая диссипация с1т отсутствует, он имеет следующий вид:
Б = [ - (м + йР )сН = Б* п Р
(2.5)
где I* — время начала разрушения, Б* — константа материала (предельная удельная диссипация); dM — механическая диссипация, dF — диссипация континуального разрушения:
йм = хх + $уу£ уу +
, 2 5 р^
+ ху° ху
2 2 йр = Л(Ь + Аа
Константа D* в критерии (2.5) определяется из экспериментов по плоскому соударению пластин с откольным разрушением [22, 23] путем сопоставления результатов физических и численных экспериментов [17—19, 24].
Для модели термовязкоупругой среды (2.1)—(2.3):
с2 S2 с2 S2
dM = + tyL + М + , dp = 0 2n 2n 2n n
В качестве критерия макроразрушения для достаточно хрупкого теплозащитного слоя использовался другой критерий — критерий типа Давиденкова—Фридмана [2]. Состоит он в следующем.
Во-первых, вектор напряжений а„ в плоскости xy в расчетной лагранжевой ячейке на площадке с единичной нормалью n(cos ф, sin ф) раскладывается на нормальную an и касательную ат составляющие:
2 2
an = о n = axx cos ф + axy sin 2ф + ayy sin ф
aT = ||ani2 -аП)2 =
xy
a xx - a v
^т2ф + ayy cos2ф
2
Затем находятся направления нормалей п, на которых достигается максимум а„ и ат,
тах тах тт
и соответствующие значения максимумов а„ и ат . Далее вычисляется максимум М из трех величин: М = тах(<гта
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.