ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 876-885
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЭЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕВЯЗКОЙ И ВЯЗКОЙ СРЕДАХ1)
© 2015 г. А. Н. Долуденко*, С. В. Фортова**
(* 125412 Москва, ул. Ижорская, 13, стр. 2, ОИВТ РАН; ** 123056Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18, ИАПРАН) e-mail: sfortova@mail.ru Поступила в редакцию 25.06.2014 г.
На основе численного моделирования уравнений Эйлера и Навье—Стокса исследуется неустойчивость Рэлея—Тейлора в сжимаемой вязкой и невязкой среде. Показано, что развитие гидродинамических неустойчивостей приводит к возникновению вихревого каскада, который при переходе течения в турбулентную стадию соответствует развитию каскада вихрей в энергетическом и инерционном интервалах. Полученные результаты обнаруживают, что формирующиеся течения и исследуемые параметры для обеих моделей идентичны. Библ. 20. Фиг. 5.
Ключевые слова: математическое моделирование, рэлей-тейлоровская неустойчивость, энергетический каскад, турбулентность.
БО1: 10.7868/80044466915050099
ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на многообразие турбулентных течений в природе, они все еще остаются наименее изученными и являются предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. Для анализа структуры и развития турбулентного движения большое значение имеет исследование процессов, связывающих зарождение турбулентности и переход к стадии развитого масштабного турбулентного течения.
В 1920 г. Ричардсоном (см. [1]) была предложена концепция энергетического каскада, основанная на идее измельчения вихревой структуры турбулентности до микромасштабов, на которых вязкая диссипация является определяющей. Спустя 20 лет она нашла свое отражение в работах Колмогорова и Обухова (см. [2], [3]), что привело к известной теперь спектральной структуре энергетического каскада: при достаточно больших числах Рейнольдса распределение плотности энергии пульсаций по волновым числам разбивается на ближний интервал малых чисел (энергетический), где энергия генерируется в основном неустойчивостями крупных вихрей, дальний интервал больших чисел (вязкий), где энергия диссипирует в тепло через мелкомасштабные пульсации, и расположенный между ними инерционный интервал спектра, где энергия не генерируется и не диссипирует, а передается от меньших волновых чисел к большим (см. [2]). Согласно [2], этот обмен слабо зависит от неустойчивости крупномасштабного течения и числа Рейнольдса, определяемого исходным течением. Реализующим его физическим процессом служит потеря устойчивости последовательно формирующимся основным течением и возникновение нового поля скоростей с более мелкой вихревой структурой.
В настоящей работе предложенный сценарий развития турбулентности Ричардсона-Колмогорова-Обухова рассмотрен на примере неустойчивости Рэлея—Тейлора (РТН) в невязкой и вязкой средах.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (соглашение № 14-11-00719) и РАН (код проекта 13-08-01441).
Фиг. 1. Спектры плотности энергии для различных турбулентных течений.
На фиг. 1 представлены экспериментальные спектры плотности энергии E1(k)-пульсаций продольных составляющих скорости для различных турбулентных течений: отливной канал, круглая струя, течение в трубе, турбулентность за сеткой, след за цилиндром,
jEl(k)dk = (и Ф = EjCQV3)-174,
о
где E1 — безразмерная спектральная плотность, © — местная скорость диссипации энергии, v —
кинематическая вязкость, Kk = (0v3)-1/4 — волновое число Колмогорова (колмогоровский масштаб). Если построить зависимость спектра энергии от волновых чисел, то именно на инерционном участке график совпадает с линией с наклоном —5/3. Волновое число, соответствующее точке перехода от инерционного участка к участку диссипации, называется колмогоровским масштабом. Для течения с волновыми числами, меньшими этого масштаба, вязкостью можно пренебречь. Однако, если волновые числа становятся сопоставимыми с колмогоровским масштабом, вязкость играет уже существенную роль.
Формально невязкие течения описываются уравнениями Эйлера, которые, в отличие от уравнений Навье—Стокса, определяют турбулентные течения при бесконечно больших числах Рей-нольдса. Прямое численное моделирование турбулентных течений на основе уравнений Навье— Стокса в настоящее время возможно только для чисел Рейнольдса менее 30000. При этом моделируются энергетический, инерционный и вязкий интервалы. В реальных практически важных задачах турбулентных течений числа Рейнольдса превышают 106. Это показывает, что моделирование турбулентных течений на основе уравнений Эйлера не означает потерю точности или более приближенное описание, чем моделирование на основе уравнений Навье—Стокса, а является хорошим механизмом для исследования энергетического и инерционного интервалов турбулентности. При моделировании методом крупных вихрей (LES) подсеточные модели турбулентности могут давать различные результаты применительно к средним значениям высших моментов, а для величин, которые определяются крупными вихрями, результаты численного моделирования отличаются несущественно (см. [4]).
Проводя исследования на базе уравнений Эйлера, мы рассматриваем задачи, соответствующие энергетическому и инерционному интервалам энергетического спектра турбулентности, не учитывая эффекты вязкости. Для расчета течений в вязком интервале, где энергия диссипирует в тепло через мелкомасштабные пульсации, необходимо использовать модели, учитывающие вязкость и описываемые уравнениями Навье—Стокса (см. [5]). Однако при этом моделирование возможно в интервале чисел Рейнольдса менее 30000 и необходимо использование тера- и пе-тафлопных суперкомпьютеров, в то время, как моделирование на основе уравнений Эйлера может служить основой предсказания результатов в энергетическом и инерционном интервалах, включая колмогоровский спектр турбулентности в однородной изотропной турбулентности.
Целью настоящей работы является проверка данных утверждений путем сравнения результатов численного моделирования РТН с помощью уравнений Эйлера (невязкий случай) и уравнений Навье—Стокса (вязкий случай).
В данной работе показано, что развитие турбулентности происходит в случае, когда инерционные члены и поле давления в уравнениях движения начинают формировать крупные структуры и в течении появляются вихри. Дальнейшее развитие течения заключается в эволюции крупных вихрей и в генерации ими высокочастотной части спектра. Основной задачей при этом является изучение общей динамики и природы развития турбулентного течения через вихревой каскад неустойчивостей.
Ввиду чрезвычайной сложности и нелинейности турбулентных течений, адекватным инструментом их изучения является численное моделирование (см. [5]).
Для расчетов РТН в невязком случае использовались монотонные диссипативно-устойчивые разностные схемы с положительным оператором [6], хорошо себя зарекомендовавшие для расчета крупномасштабных течений. Эти схемы имеют второй порядок точности на гладких решениях и, являясь монотонными, не используют ни искусственную вязкость, ни сглаживание, ни процедуры ограничения потока, часто использующиеся в современных схемах вычислительной динамики жидкости. Численное моделирование было выполнено на основе технологии параллельного программирования MPI с использованием указанной разностной схемы на вычислительных сетках до 106 ячеек.
Для решения задачи в случае вязкой среды использовался программный комплекс, позволяющий производить численное моделирование трехмерных нестационарных течений ньютоновской жидкости тремя численными методами:
1) методом крупных частиц,
2) с использованием схемы Лакса—Вендроффа,
3) с использованием схемы Мак-Кормака.
В основу решения берется идея формального расщепления исходного уравнения сохранения импульса на гиперболическую и параболическую части. В этом случае гиперболическая часть решается одним из 3-х названных выше методов, а параболическая часть — обычным явным методом.
1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ—ТЕЙЛОРА
Неустойчивость Рэлея—Тейлора (РТН) возникает между двумя контактирующими сплошными средами, когда на систему действует сила, перпендикулярная контактной границе, направленная от более плотной среды к менее плотной, например, если система из двух сред находится в поле силы тяжести. Указанная неустойчивость проявляет себя в самых разнообразных природных явлениях и технологических приложениях таких, как импульсное сжатие мишеней инерционного термоядерного синтеза, турбулентность, ударно-волновые эксперименты, взрывные течения, взрыв сверхновых и многих других.
В настоящей работе в качестве расчетной области используется трехмерный параллелепипед в прямоугольной системе координат XYZ размером 1 х 1 х 2. Сила тяжести направлена вниз по оси Z и по модулю равна g = |g| = 1. Начальное положение контактной границы соответствует Zo = 0.
В начальный момент времени горизонтальная плоская контактная граница делит область интегрирования на две части. Внутри меньшей верхней части области расположен тяжелый газ с плотностью р1 = 3, а внизу легкий газ с плотностью р2 = 1. Показатели адиабаты как легкого, так и тяжелого газов равны у = 1.4. Распределение давления в области имеет вид P = P0 - gp1z при
г < г0 и Р = Р0 - *р2г при г > г0. Начальное значение давления Р0 = 5. На боковых границах ставятся условия симметрии, а на верхней и нижней границах — условия непротекания.
В численном расчете необходимо установить определенное распределение возмущений на контактной границе двух сред. Оно должно быть гармоническим, подчиняться уравнению неразрывности на границе двух жидкостей, а также быть конечным на достаточно большом расстоянии от границы раздела. Поперечная компонента скорости в начальный момент времени имеет малое многомодовое возмущение. Для того чтобы численно промоделировать неустойчивость Рэлея—Тейлора, необходимо подобрать начальное возмущение в виде ансамбля мод, удовлетворяющего определенным требованиям. Длина самой малой волны не должна превышать 1/4—1/5 ширины расчетной области, иначе длинноволновая мода будет доминирующей, и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.