ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 488-501
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ЧЕРЕЗ КУБИЧЕСКУЮ УПАКОВКУ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ1)
© 2015 г. А. Н. Семакин
(426067Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34, Ин-т прикладной механ. УрО РАН) e-mail: arte-semaki@yandex.ru Поступила в редакцию 17.10.2011 г.
Переработанный вариант 27.08.2012 г.
Предлагается численный метод вычисления гидромеханических переменных в ограниченном объеме с частицами произвольной формы. Указан способ оптимального распределения вычислительной нагрузки данного метода для проведения параллельных вычислений. Решается задача о течениях газа через кубическую упаковку несферических частиц заданной формы. Библ. 22. Фиг. 8. Табл. 4.
Ключевые слова: вязкий газ, система уравнений гидромеханики, кубическая упаковка, несферические частицы, метод декомпозиции области.
DOI: 10.7868/S0044466915030163
1. ВВЕДЕНИЕ
Пористые материалы применяются во многих отраслях промышленности: машиностроение, биомедицинская техника, нефтяная и пищевая промышленность. Например, пористые материалы служат рабочей средой в различных топочных устройствах и камерах сгорания (см. [1]), в зернистых фильтрах (см. [2]) и т.д.
В настоящее время изучению закономерностей течения жидкостей и газов через пористые среды посвящено значительное количество как экспериментальных (см., например, [3], [4]), так и теоретических работ (см. [5]). В основном рассматриваются одно- и двумерные задачи (см., например, [6]).
Выделяются два подхода к математическому моделированию течений в пористых средах: осреднение по объему (теория фильтрации) и прямое численное моделирование. В первом случае полагают, что жидкость или газ заполняют всю пористую среду непрерывным образом. При определении физических характеристик течения вместо истинных значений гидромеханических параметров вводят фиктивные величины, которые "размазываются" по всему объему. Далее, для этих фиктивных величин формулируется система уравнений гидромеханики, решая которую получают параметры осредненного течения (см. [7]). Однако получить какие-либо данные о поведении жидкости или газа на уровне пор невозможно (см. [8]), хотя именно от них зависят характеристики осредненного течения.
Для изучения детальной картины течения через поры используется прямое численное моделирование, когда воспроизводится геометрия порового пространства и применяются уравнения законов сохранения. В основном пористые среды формируют как совокупность конечного числа частиц в ограниченном объеме (гранулярная модель). Свойства такой пористой среды определяются тремя параметрами: форма и размер частиц, форма внешней границы области и метод упаковки. Имеющиеся на данный момент работы рассматривают лишь частицы простой формы (сферы или цилиндры) (см. [9]—[11]). Реальные частицы среды имеют более сложную геометрию, что существенно влияет на локальные параметры течения. Поэтому переход к моделированию течений в пористых средах с частицами произвольной формы является актуальной задачей.
Одним из численных методов решения системы уравнений гидромеханики в областях со сложной геометрией является метод декомпозиции области (см. [12]). Согласно этому методу
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00118).
исходная область делится на несколько более простых подобластей. В каждой такой подобласти вводится локальная разностная сетка, и гидромеханические переменные вычисляются отдельно для каждой подобласти (см., например, [13], [14]). В настоящее время метод декомпозиции области применяется при проведении исследований течения газов и жидкостей в различных отраслях науки — от биоинженерии (см. [15]) до аэродинамики (см. [16]).
В данной статье мы определяем влияние незначительных отклонений геометрии частиц пористой среды от общепринятой сферической формы на гидромеханические параметры течения. Для проведения расчетов предлагается один из вариантов метода декомпозиции области.
В разд. 2 приведена структура модели пористой среды, уравнения гидромеханики и граничные условия. Численный метод расчета течения газа описан в разд. 3. Разд. 4 содержит решение задачи распараллеливания численного метода. Результаты расчетов течения газа в пористой среде представлены в разд. 5.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваемая область представляет собой прямоугольный параллелепипед с одним входом и четырьмя выходами цилиндрической формы, в котором расположено несколько несферических частиц. Вход размещается в центре передней грани, выходы — в центрах квадрантов задней грани, образованных ее горизонтальной и вертикальной осями симметрии. Частицы образуют кубическую упаковку, когда центры восьми соседних частиц располагаются в вершинах куба, при этом частицы не касаются друг друга (см. фиг. 1).
Начало декартовой системы координат, в которой приведены все измерения, располагается в левом нижнем углу передней грани рассматриваемой области. Ориентация осей и направление течения указаны на фиг. 1.
Размеры области следующие: длина равна 0.75 + 1.25^, 0.58 + 1.25M — высота, 0.58 + 1.25Mz — ширина, 1/3 — длина входа, 1/12 — длина выходов, (0.58 + 1.25My)/3 — радиус входа, (0.58 + + 1.25My)/5 — радиус выходов, 0.25 — расстояние между частицами (половина радиуса миделево-го сечения частиц), Mx, My, Mz — число частиц вдоль осей x, y и z соответственно. При этом упаковка обозначается в виде (Mx, My, Mz). Расстояние от передней и задней стенок до упаковки частиц равно 0.5. Все величины безразмерные, масштабы указаны ниже.
Поверхность частиц задается уравнением (r, 0, ф — сферическая система координат)
r = 0.5 - \h\ + hcos(k0).
Фиг. 1. Кубическая упаковка частиц в ограниченном объеме. ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 55 № 3 2015
Частицы представляют собой тела вращения с поверхностью косинусоидальной формы и условно названы косинусоидами. Данные частицы получаются из сферы, если вырезать у нее несколько кольцевых каналов с поперечным профилем косинусоидального вида. Параметры уравнения имеют следующие значения: 2Н — глубина кольцевых каналов частицы, к/2 — количество каналов. Оси вращения всех частиц направлены вдоль оси X декартовой системы координат.
На вход подается вязкий теплопроводный газ. Требуется определить параметры его течения.
Течение газа описывается системой уравнений гидромеханики, записанной в безразмерной векторной форме:
+д! + д^ + дН = + д2в + д2в + в
д? дх ду дг Яе ^дх2 ду2 дт2
где
W = (р, рu, pv, pw, pT)т, F = (pu, pu2 + p/kM2,puv, puw, puT) , G = (p v, pu v, p v2 + p/kM, p vw, p vT)T, H = (pw, puw, p vw, pw2 + p/kM2, pwT) ,
D = (0, u, v, w, k/Pr • T)T, De(0, - J-div(V), div(V), -|div(V), e),
e = -Re(k - 1 )pdiv(V) + k(k - 1 M^g) + 2f^) + 2^) +
du + dv)2 + ( du + dw)2 + (dv , dw2
- 3-(div(V))2).
dy dx) V дz dx) V dz dy) 3
Здесь V = (u, v, w) — вектор скорости, p, p, T — давление, плотность и температура, div(V) = du/dx + + dv/dy + dw/dz — дивергенция вектора скорости, Re = p0U0h/ц = 100 — число Рейнольдса, Pr =
= = 1 — число Прандтля, M = U0/c0 =0.1 — число Маха, c0 = kp0/p0, к = cp/cv = 1.4 — отношение изобарной cp и изохорной cv теплоемкостей.
За масштабные величины при вычислении безразмерных комплексов и размеров областей берутся: h0 — диаметр миделевого сечения частиц, U0 — максимальный модуль вектора скорости на входной границе объема, p0 — давление на выходной границе объема, p0 — плотность на входной границе объема.
Безразмерное уравнение состояния имеет вид p = pT. Начальные условия следующие: u = v = w = 0, p = p = T = 1. Граничные условия на границах области (см. [17]):
а) поверхность частиц и стенки: u = v = w = 0 — условие прилипания, дТ/ дп = 0 — условие адиа-батичности,
б) вход:
u = f(г, So) - 1 /kM(p -p-)f(г, 5,), v = w = 0, p = 1,
где p1 — среднее по входному сечению давление, 50 = 0.2 — толщина динамического пограничного слоя, 5^ = 0.1 — толщина теплового пограничного слоя,
Г1, г < R - 5, Яг, 5) = \ 2
11 - ((г-R + 5)/5)2, г> R - 5,
R — радиус отверстия,
в) выход: задаем только одно условие — величину давления на выходе из объема:
p = 1 + С2(m(L, t) - m„(t)),
L
m (x, t) = jjp udydz, т,г( t) = 1 jm(x, t) dx, c2 = 0.2.
S(x) 0
Согласно [17], приведенные граничные условия на входе и выходе позволяют выводить из рассматриваемой области малые возмущения. Условия прилипания на твердой стенке справедливы, когда число Кнудсена Кп = М/Яе < 10-3.
3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассматриваемая в работе область является многосвязной. Для численного расчета гидромеханических параметров течения газа используется разработанный авторами вариант метода декомпозиции области. Базовые идеи метода можно найти в [18].
Алгоритм
Шаг. 1. Исходная область делится на несколько простых подобластей.
Шаг. 2. В каждой подобласти вводится собственная система координат и задается структурированная разностная сетка.
Шаг. 3. Задаются начальные условия.
Шаг. 4. Делается шаг по времени по явной разностной схеме.
Шаг. 5. Проводится обмен данными между подобластями.
Шаг. 6. В каждой подобласти полученные из других подобластей данные интерполируются на локальную разностную сетку.
Шаг. 7. Переход к шагу 4.
Далее подробно рассмотрены все составляющие данного метода.
Введем глобальную декартовую систему координат (ГСК) X, У, Z, в которой рассматривается вся исходная область в целом и разделим эту область на N подобластей или конечных объемов (КО). Все эти КО можно свести к трем стандартным видам: прямоугольный, цилиндрический и криволинейный. Прямоугольный КО представляет собой обычный прямоугольный параллелепипед. Цилиндрический КО — цилиндр, используемый для описания входа и выхода. Криволинейный КО полностью охватывает пространство около несферической частицы.
В каждом КО вводится собственная локальная декартовая система координат (ЛСК) х, у, z. Каждая такая локальная система координат определяется заданием начала координат 0( а\, а0, а\)
и базисных векторов i = (а|, а\, а^), ] = (а\, а\, а2), k = (аъ, аг, а\) в глобальной системе координат X, У, Z.
Локальные х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.