научная статья по теме ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ СТРУИ ПЛАЗМЫ, ВЫХОДЯЩЕЙ В ОКРУЖАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ Математика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ СТРУИ ПЛАЗМЫ, ВЫХОДЯЩЕЙ В ОКРУЖАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 3, с. 490-505

УДК 519.634

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ СТРУИ ПЛАЗМЫ, ВЫХОДЯЩЕЙ В ОКРУЖАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ

© 2007 г. А. С. Архипов, А. М. Бишаев

(125080 Москва, Ленинградское ш, 5, НИИ Прикл. механ. и электродинамики)

e-mail: bishaev@bk.ru Поступила в редакцию 16.06.2006 г.

Предлагается численный метод, с помощью которого осуществляется моделирование струйного движения разреженной плазмы, возникающего от работы стационарного плазменного двигателя в трехмерной постановке. В отличие от работ, где эта задача рассматривалась в осесимметричном приближении, постановка задачи осуществляется так, чтобы было возможным определить влияние возникающих обратных ионных токов на области вверх по потоку и на корпус двигателя, который в рассматриваемом случае имеет конечный размер. Построенный численный метод является обобщением численных методов динамики разреженных газов на случай, когда движение происходит в незаданном аналитически силовом поле. Построение численного метода осуществляется так, чтобы учесть дельтообразность граничной функции распределения ионов и существенную разницу в масштабах скоростных пространств ионов и нейтралов, между которыми имеют место взаимные превращения. Приводятся результаты численных решений задачи, показывающие влияние некоторых факторов на возникающее течение. Библ. 10. Фиг. 12.

Ключевые слова: численное моделирование струи плазмы, модельные кинетические уравнения, численный метод конечных разностей.

ВВЕДЕНИЕ

Задача о струе плазмы, исходящей из стационарного плазменного двигателя (СПД), в осесим-метричной постановке была рассмотрена в [1]. В [2] для моделирования упомянутого выше течения была использована специальная кинетическая модель, которая учитывала резонансную перезарядку - особый тип взаимодействия ионов и нейтралов, имеющих наибольшее сечение взаимодействия. С появлением ЭВМ типа "Пентиум" оказалось возможным увеличить размер счетной области и провести сравнение результатов расчетов с экспериментальными измерениями распределения плотности ионного тока. Методика проведения корректного сравнения экспериментальных измерений с расчетными данными и способ уточнения параметров в граничных условиях приведены в [3]. Проведение моделирования выявило наличие в струе ионных токов, направленных на срез двигателя. Чтобы определить влияние обратных токов на сам аппарат и увеличить возможности программного комплекса для проведения моделирования, не ограничиваясь спецификой геометрии течения, задача о струе была рассмотрена в трехмерной постановке.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СТРУЕ

В основу моделирования струйного движения положена следующая система модельных кинетических уравнений для определения функции распределения ионов /х, X) и нейтралов g(x, w), которая в безразмерных переменных имеет следующий вид:

е. д/ , ™ д/ ,г ,, де , . , , ч „ екТ0 дФ

Ъ/ + ЕЕк/ = ^(/0-/), = е) + -е), р =ж> Ек = -д!к> (1.1)

• 2/3

Ф = 5/2(п ) , ], к = 1, 2, 3. Такое выражение для электрического поля получается, если использовать обобщение гипотезы "термолизованного" потенциала (см. [1], [2]), выдвинутой в [4], [5]. В (1.1) используются Т0 - ха-

Ь,

L

= ,М,

К

N

Фиг. 1.

рактерная температура электронов (~3 эВ), и0 - разрядное напряжение (300-600 В), к - постоянная Больцмана. В правой части (1.1) присутствуют частоты взаимодействия ион-нейтрал vin, нейтрал-ион vni и нейтрал-нейтрал vnn. Они определены так же, как в [2]. Входящие в выражения для частот столкновений числа Кнудсена либо порядка единицы, либо больше единицы, /0, g0, gм моделируют интегралы обратных столкновений. Они записываются в следующем виде:

/о = П (Я2/(п ВТ ))3/2 с2/Т", е^ = X - и7ТВ2,

к 3/2 -В1е^,/( В2Т')

gо = п (Вх/(пВ2Т )) е

, е„ = w - ТВ и1,

(1.2)

-3/2

gм = п (пТ ) ехр{-(w - и) /Т },

где В1 = еи0/(кТ0), В2 = еи0/(кТ\), Т10, I = 1, п, суть характерные значения температур ионов и нейтралов соответственно. Макропараметры в максвелловских функциях (1.2) определяются интегралами

п

пи

"'ЖТ+

(\\

= В3'2|

2

чс /

/¿с,

п

пи

\п

' п (3 Т /2 + и2))

( 1 Л

w

2 vw

gdw.

(1.3)

Наличие в первом интеграле (1.3) множителя В3/2 связано с введением двух скоростных масштабов для ионной компоненты = (2еи0/т)1/2, который есть масштаб скорости направленного движения иона, и с0 = (2кТ'0 /т)1/2 - соответственно, масштаб его теплового движения. Между этими масштабами имеет место соотношение > с0.

Геометрию рассматриваемого струйного движения иллюстрирует фиг. 1. Параллелепипед АВС0А1В1С101 представляет корпус двигателя. Все грани являются твердыми поверхностями, кроме грани СС1Ь10, в центре которой расположено кольцевое отверстие, откуда струя выходит в окружающее пространство. Внутри АВС0А1В1С101 штриховой линией показан ускорительный канал ЯО. Расчеты ведутся во внешности этого параллелепипеда, при этом граничные условия для (1.1) будут следующие. На СС101Б (^ = 0, -1 < х < 1, -1 < у < 1) для ^ > 0, wz > 0 имеем

= | п/п3/2ехр { - В] (X - и )2}, Я 2 < г < Я1, г = 4 10, (г < я )и(г > я2);

X + у2,

(1.4)

Гп/п3/2ехр{-(w -11 )2}, Я2 < г < Яь

8 = 1 3// 2 2 1 ^

Упк(Вк/п) ехр { -BwW }, (г < г > Я,);

здесь П , п , и , и суть заданные функции х и у (отметим, что х = хь у = х2, г = х3). Они определялись так же, как в [3], кроме распределения азимутальной компоненты И , которая в отличие от цитируемой выше работы может быть не равной нулю. Величины и Я2 являются, соответственно,

внутренним и внешним безразмерными радиусами отверстия, откуда выходит струя, В№ = Т^ /Т№, где Т№ - температура корпуса двигателя. Фигурирующая во второй формуле (1.5) п№ находится из баланса потоков падающих и отраженных от поверхности нейтралов и ионов (см. [1]-[3]) и определяется следующей формулой:

п„ = -2„/пВ1

| ^Щ8(х, у, 0, w)+ В1/2| Ц /х, у, X)й£

На остальных гранях АВС0А1В1С101 граничные условия задаются вторыми формулами (1.4) и (1.5) для = (Хп) > 0, = (wn) > 0, где п - внешняя нормаль к соответствующей грани.

Помимо граничных условий на твердых поверхностях, необходимо задать граничные условия на бесконечности. Они следующие:

/(х, X) = °, 8(х, w) = 02(В./п)3/2ехр {-В.^ - и.)2}7х2 + у2 + 2 ^ ., (1.6)

где 02 = п./п°, В. = Т° /Т.. Условия (1.6) при численном решении задачи сносятся на границу счетной области. Сама счетная область изображена на фиг. 1 штриховыми линиями и имеет форму параллелепипеда КЬМ№К1Ь1М1М1. В приведенной постановке существенно то, что расчеты проводятся как вниз, так и вверх по струе. Это позволило учесть влияние обратных токов на сам аппарат. Фактически рассматривается задача об обтекании аппарата исходящей из него струей. В [1]-[3] считалось, что срез двигателя простирался до бесконечности, поэтому граничная макс-велловская функция нейтралов имела скорость, равную нулю, и температуру Тк. В рассматриваемой выше постановке соответствующая граничная функция может иметь произвольные значения и. и Т.. Это обстоятельство приводит к тому, что появляются дополнительные безразмерные параметры, определяющие рассматриваемое движение. Их наличие может позволить моделировать процесс откачки вакуумной камеры, куда обычно помещают СПД при проведении экспериментальных исследований.

2. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ

Содержащаяся в предыдущем разделе математическая задача формулируется так: найти решение уравнений (1.1)—(1.3) для функций f и g, удовлетворяющих граничным условиям (1.4), (1.5) и условиям на бесконечности (1.6). Эта задача решается численно с помощью метода, являющегося обобщением численных методов, которые применяются в динамике разреженных газов при решении стационарных кинетических уравнений (см. [6], [7]). Этот метод базируется на следующей итерационной процедуре:

т-^ Л k-1 j-^ Л-1 д g ^,2 k

F+-Vif, Vi = vm , F+ = Vif) , WjdX- = G+ + G+-V2g,

д xj (2.1)

k-1 . k-1 k-1 k-1 ^2 k-1 k-1 Vni + Vnn , G+ = Vni go , G+ = Vnn gM •

Индекс k в (2.1) означает номер итерации. Все выражения, отмеченные в (2.1) индексом k - 1, известны, так как они выражаются через найденные в (k - 1)-й итерации макропараметры ионов и нейтралов.

Основным методом, который применяется в разреженном газе, является метод характеристик. В большинстве задач разреженных газов силовое поле отсутствует (исключением здесь является работа [8]), поэтому характеристики дифференциальных частей уравнений - это прямые линии. В рассматриваемом случае уравнения характеристик (траекторий иона), приходящих в

£ <д£. + FEk-1df- = dXj FEj

V, =

точку фазового пространства (х, X), будут следующие:

^ = -X, § _ -Е, х (0) = х, X (0) = X, Е = -1 (х (т)). (2.2)

Зная х (т), X (т), решение первого уравнения (2.1) можно представить в виде

/(х, X) = /ь(х(ч), X(Н))ехр -|У1 ^))Ж + |^+(х(т), X(т))ехр 1 (х(э))Ж

Г т

йт. (2.3)

В (2.3) величина (ь есть значение параметра т, когда характеристика пересекает счетную область. Это может быть грань ЛВС0Л1В1С101 или грань КЬМ№К1Ь1М1М1. Фигурирующая в (2.3) величина/ь есть заданная на соответствующей границе функция распределения ионов.

Принципиальным отличием рассматриваемой задачи от задач разреженного газа является наличие электрического поля, определяемого численно и известного только в узлах или ячейках разбиения физического пространства. Определяемое в ходе численного решения электрическое поле может оказаться таким, что траектория иона никогда не будет выходить на границу счетной области. Ситуация здесь принципиально отличается от ситуации в [8], где такие характеристики выделялись аналитически.

Формула (2.3) (решение второго уравнения (2.1) записывается аналогично, см. [7]) позволяет проанализировать особенности решения уравнения (2.1). Видно, что /к и £ будут разрывными в пространстве скоростей функции, причем так как В1 в (1.3) существенно больше единицы (В1 = 20), то из кольцевого отверстия выходит дельтообразная функция. Площадь выходного отверстия много меньше площади грани ССХВХВ, поэтому если не принять меры, то в точку х придет только малая часть характеристик, выходящих из отверс

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком