ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 7, с. 1192-1207
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ СТОКСА МЕТОДАМИ ТЕОРИИ СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ1-*
© 2007 г. В. И. Агошков, Е. А. Ботвиновский
(119333 Москва, ул. Губкина, 8, Ин-т вычисл. матем. РАН) e-mail: agoshkov@inm.ras.ru; air67@yandex.ru Поступила в редакцию 14.04.2006 г.
Рассматривается приложение методов оптимального управления и сопряженных уравнений к построению итерационных алгоритмов для численного решения нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором. Изложена общая схема построения таких итерационных алгоритмов для решения широкого класса задач и рассмотрено применение этой схемы к нестационарной системе уравнений Стокса. Изучена скорость сходимости итерационного алгоритма для нестационарной системы Стокса. Приведены результаты численных экспериментов. Библ. 12. Фиг. 5. Табл. 6.
Ключевые слова: нестационарная система уравнений Стокса, оптимальное управление, сопряженные уравнения, итерационный метод.
1. ВВЕДЕНИЕ
В некоторых физических процессах гидромеханики внутренние силы и сила давления являются основными, определяющими скорости движения частиц. В широком классе задач эти силы входят в уравнения в качестве правой части и градиента функции давления, например в системе уравнений Стокса. Как обычно, будем предполагать, что неизвестными являются вектор-функция скорости и функция давления. В теории краевых задач часто встречаются постановки, в которых кроме обычного решения (для уравнений Стокса - это вектор скорости) считаются неизвестными все или некоторые функции источников. Эти задачи принадлежат к классу обратных задач. С этой точки зрения задачу Стокса можно рассматривать как обратную задачу, в которой градиент неизвестной функции давления выступает в роли источника. В этом случае можно предположить, что большое число способов исследования и решения такого рода задач (см. [1]-[9]), разработанных в классической теории обратных задач, могут найти здесь применение.
Для решения обратных задач и конструирования вычислительных алгоритмов могут быть применены методы, базирующиеся на теории оптимального управления (см. [1], [3]-[7]). Следует отметить, что многие задачи управления формально также могут рассматриваться как обратные задачи.
Принимая во внимание сказанное выше, мы изучали один из методов решения класса обратных задач в применении к нестационарной системе Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором, в ее классической постановке: найти функции ф : О х [0, 7] —► К" и p : О х [0, 7] —► К такие, что
ф( - аАф +1 хф + Ьф = / - Vр в О х (0, 7) = дт, ахуф = 0 в 2т, ф|г = 0 Ы е (0, 7), ф|(= 0 = ф0,
J pdU
= 0 Vt,
где ф = (фх, ..., фп), l X ф = (-1ф2, 1фх, 0, ..., 0), a, b, l = const, a > 0, b > 0. Ниже мы переформулируем классическую постановку нестационарной системы Стокса как задачу оптимального управления, в которой давление p(x, t) выступает в роли управления, а уравнение div ф = 0 принадлежит
^ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00714).
и
условиям наблюдения и входит в функционал стоимости. Рассмотрим несколько итерационных процессов решения рассматриваемой задачи. Реализация этих процессов основана на последовательном решении задач параболического вида, численные методы решения которых хорошо изучены. Следует отметить, что при решении этих задач условие <1гу ф = 0 отсутствует. Как показано в [8], это условие существенно усложняет алгоритмы, особенно в случае многомерной задачи или области сложной формы.
В конце статьи представлены результаты численных экспериментов в виде графиков и таблиц.
2. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ
В [1] предложена одна из методологий построения алгоритмов численного решения широкого класса задач. Следуя [1], изложим эту методологию.
Пусть Хс, Н0, Нс, НоЪ - гильбертовы пространства, а Ж, У - банаховы, и пусть Ж*, ..., У* - сопряженные пространства, причем Н0 = И* , НоЪ = Н*Ъ, Нс = И* . Кроме того, пусть выполнены следующие вложения: Ж с У с Н0 с У* с Ж* и Хс с Нс с X* . Каждое вложение предполагается плотным и непрерывным. Пространство Ж предполагается рефлексивным (Ж = Ж**).
Рассмотрим класс задач, каждая из которых задается следующей системой операторных уравнений:
Ь ф = / + Ви, сф = к + Бы, (1)
где/, к - заданные элементы, ф, и - неизвестные, Ь, В, с, Б - линейные операторы, Ь, В - замкнутые операторы, оператор Ь действует из Ж в У*, В - из Нс в У*, с - из Ж в НоЪ, Б - из Нс в НоЪ. Пусть область определения оператора Ь совпадает с областью определения оператора с, т.е. Б(Ь) = Б(с), кроме того, Б(Ь) - плотное множество в Ж, а образ оператора Ь - плотное множество в У*. Пусть существует оператор Ь-1 и ||Ь-1|| < Предполагается, что операторы В и Б ограниченны и их области определения есть Хс. Будем считать, что при любых заданных /е У* и и е Нс первое уравнение в (1) имеет решение ф е Ж и для него справедлива оценка
||ф||Ж ^ с(||/||у* + ||ы||Нс).
Наряду с системой (1) рассмотрим задачу оптимального управлния: найти ф = ф(ы) и управление и е Хс такие, что
Ьф = / + Вы, Ja(ы, ф(и)) = М Ja( v, ф( v)), (2)
V е Б(В)
где
Ja( v, ф( v)) = аЫ\Лс + 1-11сф - к - Б ИoЪ,
Ьф(v) = / + ВV, а> 0,
II II2 /А \ II л 1/2 II2
II Лс = (ЛCV> v)Нс = 11Лс Нс и Лс : Хс —► X* - симметричный положительно определенный оператор с областью определе-
ния Б(Лс), причем Б(Лс) = Хс; норма ||V||Лс эквивалентна норме ||V||Хс в Хс, а 5г 0 - параметр.
Если пара ф, и есть решение системы (1), то она также является решением задачи (2) при а = 0. Таким образом, задача (2) при а = 0 является одной из обобщенных постановок задачи (1). Если исключить ф = Ь~1(/ + Ви) из (2), то функционал Jа(ы, ф(и)) = Jа(ы) примет вид
и ) = аN1 Хс + 2211Аи - &11 ИoЪ, (3)
где
А = сЬ- В - Б, £ = к - сЬ-/.
Вариационное уравнение, соответствующее функционалу (3), имеет вид
Жаи = аЛсы + А * Аи = А * £, (4)
а полная система вариационных уравнений задачи (2) - вид
Lф(u) = f + Bu, L*q = С*(Сф - h - Du),
аЛСи + B*q - D* (Сф - h - Du) = 0. (5)
При a > 0 оператор уравнения (4) симметричен и положительно определен. Поэтому для решения уравнения (4) можно применять различные итерационные методы. Простейший из них имеет вид
ЛСп{ + 1 = Л^ - т^(аЛС^ - A * Auk - A *g), k = 0, 1, ..., (6)
где {Tk} - некоторые параметры. Если
Sp^1 A*A) e [C0, Cj], C0, Cj = const, C0 > 0, ( > 0, тогда можно положить
2
Tk = T = 2 a + C + C / k = 0, . При таких параметрах {Tk} справедлива следующая оценка скорости сходимости (см. [1], [2]):
l|u - АхС< С(2a(+1(-0C+0C,) 0, ^ ~, (7)
где константа С не зависит от k, а u (вместе с ф, q) есть решение системы (5).
В терминах оператора задачи (5) алгоритм (6) имеет при заданном u следующий вид:
Lфk = f + Buk, L*q = С*(Cфk- h - Duk),
ЛСЮ = B*q - D* (Cфk - h - Duk), (8)
k +1 k / k4 1 /Л1
u = u -т(аu + ю), k = 0, 1,____
Из оценки ||ф||ж < С(|| f||7* + ||u ) и из (7) следует оценка скорости сходимости фА: к ф:
где С = const > 0 и ф = ф(а) - составляющая решения системы (5).
Если система (1) корректно разрешима, то можно в приведенных выше алгоритмах принять a = 0. Если же в целом задача (1) некорректна, то необходимо брать a —» +0, а число итераций согласовывать с величиной a и возможными ошибками численных реализаций этапов итерационного алгоритма (8) (см. [9], [10]).
Предположим, что задача (1) корректно разрешима. Тогда если принять a = 0, ЛС = I (т.е. ХС = НС), то независимо от симметричности операторов L, ..., D алгоритм (8) будет иметь геометрическую скорость сходимости. Для реализации его нам необходимо последовательно обращать лишь операторы L, L*.
Примером применения рассмотренного подхода к решению задач является алгоритм решения обобщенной системы Стокса, изученный в [4].
3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ СТОКСА И ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЕЕ КАК ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Применим изложенный в предыдущем разделе метод к численному решению нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором.
Пусть U - ограниченная область в с локально-липшицевой кусочно-гладкой границей Г = ЭО класса С(2). Пусть в О X (0, T) необходимо решить систему
фt-aДф +1 хф + bф = f - Vp в Ох(0, T) = QT,
(9)
T ), ф\t = 0 = Фо, JpdQ = 0 Vt,
divф = 0 в QT,
ф|г = 0 Vt е (0, T), ф|t = о = фо,
а
где ф = (u, v, ...), l X ф = (-lv, lu, 0, ..., 0), a, b, l = const, a > 0, b > 0, фt = Эф/dt. Запишем задачу (9) в операторной форме. Введем обозначения
H = (H)", H = Z2(qt), Y = L2(0, T; (W\(Q))"), W = |фе Y : ||ф|| w = (M2 ° 1 n + \\ф\\ Y )1/2 <Д
lT w l|T,|lL2( 0, T; (( w2(Q)) )*) I
Wdiv = ^фе w : ll«ll= (W W + 11(divф)Л^2(0,t; (W2(Q))*) + ^^0, T; W^))1 < '
He =
{/е ^ : J/dQ = 0 Vt е[0, T1|.
Wdiv с W с Y с H = H * с Y * с W * с W*iv.
Тогда имеем
Известно (см. [11]), что если ф е W, то Vt е [0, T существует ф(^ x, y) е (L2(Q))n и
max ||ф(t)|| (Q))n ^ ejф||w.
t е [0, T1 (L2(Q))
Если ф е Wdiv, то Vt е [0, T существует div ф(t, x, y) е L2(Q) и
max Ildivф(t)\\l2(Q) « e2lф||Wdiy.
t е [0, T1 2
В связи с этим для задачи (9) можно рассмотреть несколько видов обобщенных постановок.
Определение 1. Пару функций ф е W, p е He назовем обобщенным решением задачи (9), если выполняются соотношения
X(ф,ф) = /(ф) + $(р,ф) V<^ е W, ^(ф, p) = 0 Vp = He, (10)
где
X (ф, ф) = (ф, -ф t) + (a Уф, Уф) + (Ьф, ф) + (-l ф2, ф1 ) L2(Qt) + (1ф1, ф2 ) L2( Qt) + (ф( T), ф ( T))[ l2 (Q)]2,
/(ф ) = (/,ф ) + (ф0,ф ( 0 ))[^ (Q)]2,
(■, ■ ) = (■, ■ )h, $(^ф) = (p, divc^)L2(Qt), ^(ф, p) = (divф, p)l2(Qt).
Если ввести операторы L, B, e следующим образом:
(Lф,ф)h = X(ф,ф) Vф,ф е W, L : W —► W*, D(L) = W, (Bp, ф)h = $(p, фф) Vp е He, ф е W, B : He —- W*, D(B) = He, (Сф, p) He = W, p) Vфе W, p е He, e : W^ He, D(C) = W, то задачу (9) можно записать в виде системы двух операторных уравнений
Lф = / + Bp, Сф = 0, (11)
т.е. в виде (1) при p = u, Du = 0u, h = 0.
Рассмотрим второй вид обобщенной постановки задачи (9).
Определение 2. Функции ф е р е Нс назовем обобщенным решением задачи (9), если выполняются соотно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.