ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1538-1549
УДК 519.624
ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2007 г. Е. А. Гребеников*, Д. Козак-Сковородкина**
(* 119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; ** Poland, University of Podlasie) e-mail: greben@ccas.ru; kdorota@ap.siedlce.pl Поступила в редакцию 15.02.2007 г.
Переработанный вариант 23.04.2007 г.
Изложены количественные оценки для геометрических параметров областей устойчивости лагранжевых решений классической ограниченной задачи трех тел. Показано, что эти области являются плоскими эллипсоподобными фигурами, вытянутыми вдоль касательной, проведенной к окружности, на которой расположены лагранжевы треугольные решения. Предложен эвристический алгоритм нахождения максимальных размеров подобных областей притяжения. Библ. 20. Фиг. 8. Табл. 2.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, гамильтоновы системы, КАМ-теория, компьютерные алгебры, преобразования Биркгофа.
1. ВВЕДЕНИЕ
История ограниченной проблемы трех тел, состоящей в исследовании динамики бесконечно малой массы в ньютоновом поле притяжения двух конечных масс, движущихся в трехмерном пространстве по кеплеровским орбитам, началась с выдающихся работ Эйлера [1] и Лагранжа [2], опубликованных в 60-70-х годах второй половины XVII в. Она стала объектом изучения для многих выдающихся ученых, живших в XIX и в первой половине XX вв. Достаточно назвать такие имена, как Гаусс, Якоби, Хилл, Брунс, Тиссеран, Пуанкаре, Ляпунов, Пенлеве, Леви-Чивита, Биркгоф, Уиттекер, Шази, Уинтнер, Н.Д. Моисеев, Дубошин и многих других, вклад которых в аналитические, качественные и численные исследования этой проблемы огромен. Подробный анализ этого вопроса содержится в капитальной монографии известного американского математика и механика Себехея (см. [3]), изданной на английском и русском языках, а также в [4] и в [5], где, в частности, содержится информация о корректности применения методов усреднения (асимптотических методов Крылова-Боголюбова и их аналогов) к проблеме интегрируемости так называемых "усредненных вариантов" названной задачи.
Что касается проблемы ляпуновской устойчивости лагранжевых решений дифференциальных уравнений ограниченной проблемы трех тел, хорошо известно, что она не могла быть исследована в рамках классической теории дифференциальных уравнений и лишь после создания Колмогоровым, Арнольдом и Мозером знаменитой "КАМ-теории" [6]-[8], которая может быть интерпретирована как "метрическая теория существования почти-периодических решений га-мильтоновых систем, определенных на многомерных торах", такая возможность появилась. Дело в том, что линеаризация гамильтоновых систем дифференциальных уравнений в окрестности стационарных решений (положений равновесия) всегда порождает линейные системы с сим-плектической матрицей (см. [9], [10]). Из этого факта неизбежно вытекает вывод о том, что любое положение равновесия гамильтоновой системы может быть устойчиво в первом приближении только в том случае, если все собственные значения указанной матрицы являются чисто мнимыми величинами. В свою очередь, это делает невозможным применение известных теорем первого метода Ляпунова (см. [11]) при исследовании ляпуновской устойчивости указанных равновесных решений. Именно это обстоятельство, по-видимому, послужило одним из стимулов разработки КАМ-теории. Существенным условием в ее первых результатах было условие "отсутствия частотных резонансов", поэтому следует здесь упомянуть также результаты из работ [12] и [13], позволяющие изучать проблему устойчивости по Ляпунову лагранжевых решений в так называемых "резонансных" случаях, т.е. в случаях, когда собственные значения симплекти-ческой матрицы линейного приближения рационально соизмеримы.
Цель нашей статьи состоит в исследовании геометрических форм и размеров областей устойчивости лагранжевых решений ограниченной круговой задачи трех тел, существование которых
1538
гарантируется КАМ-теорией. Поскольку для решения такой задачи чисто аналитические методы практически непригодны, мы реализовали разнообразный символьно-вычислительный эксперимент, дающий некоторую новую информацию о поведении траекторий в окрестности лагранжевых решений и, следовательно, о свойствах фазового пространства вблизи вершин лагранжевого треугольника. Преобразования и вычисления выполнены на основе Инструкций Системы Символьных Вычислений "МаШетайса" [14].
2. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ВОПРОСА
Пусть на декартовой координатной плоскости Оху имеются две материальные точки Р0 и Р1 с ненулевыми (гравитирующими) массами 1 - | (0 < | < 1/2) соответственно и точка Р2, не обладающая никакой (т.е. с нулевой) массой. Для такой теоретической модели часто используется такая терминология: "точка Р2 является пассивно гравитирующей (нулевой) массой". Треугольник Р0Р1Р2 представляет собой простейшую модель ньютоновой проблемы трех тел, для которой Лагранж и продемонстрировал, что описывающие ее нелинейные дифференциальные уравнения в трехмерном пространстве, имеющие шестой порядок (на плоскости - четвертый порядок), имеют точное частное решение, геометрически изображаемое равносторонним треугольником, вращающимся вокруг общего центра масс О, который, очевидно, находится на стороне треугольника Р0Р1, соединяющей массы 1 - Треугольник Р0Р1Р2 вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости гравитирующих масс, обращающихся вокруг точки О по круговым орбитам и в соответствии с законами Кеплера (см. [4]).
Будет ли такая треугольная конфигурация устойчивой в первом приближении и в смысле Ляпунова, если нулевую массу "немного сдвинуть" с вершины равностороннего треугольника? Эта, казалось бы, простая задача была решена полностью лишь во второй половине XX в., т.е. спустя 200 лет после того, как Лагранж (в 1772 году) нашел точное частное решение дифференциальных уравнений ньютоновой проблемы трех тел, имеющее геометрическую форму равностороннего треугольника.
Исследование устойчивости лагранжева треугольника в первом приближении, впервые, по-видимому, выполнил французский математик Гашо в статье [15]. Спустя 30 лет Раусс (см. [16]) нашел необходимые условия линейной устойчивости лагранжева треугольника в некоторой обобщенной им плоской задаче трех тел. Это - динамическая модель, в которой все массы отличны от нуля, т.е. т0 Ф 0, т1 Ф 0, т2 Ф 0, и сила взаимного притяжения имеет аналитический вид ¥ ~ 1/гп, где параметр п практически произвольный, а величина г является расстоянием между притягивающими материальными точками. Для силы ньютоновского притяжения параметр п, очевидно, равен 2.
Условия, выведенные Рауссом, суть следующие: при выполнении неравенств
+ 1)2 „ (то + т1+ т2)2 3-г <-:-:-, п < 3,
п -3у т0т1 + т0т2 + т1т2
лагранжев треугольник устойчив, а при любом п > 3 и при любых положительных значениях масс т0, т1, т2 лагранжев треугольник неустойчив.
Так как для ньютоновского притяжения параметр п = 2, то, очевидно, удовлетворяется первое условие Раусса и, следовательно, выполняется условие устойчивости в первом приближении треугольника Лагранжа.
Ляпунов, изучая пространственную задачу трех тел, показал, что условия Раусса справедливы и для пространственной задачи (см. [17]).
Предположим, что в первом неравенстве Раусса параметры принимают следующие значения: т0 = 1 - т1 = т2 = 0, п = 2. Тогда для классической ограниченной круговой задачи трех тел оно принимает весьма простую форму (см. [4]):
271( 1- |)< 1. (1)
Следовательно, при выполнении условия (1) лагранжев треугольник ограниченной круговой задачи трех тел устойчив в первом приближении. Легко показать, что неравенство (1) имеет место для любого значения | из интервала
0 <1< 1 (1-Л)" 0.0385209, (2)
О = -^1 + 71-27 ц( 1-ц)
а при значениях ц, удовлетворяющих неравенству
0.0385209 - 1Г1- Ш 2 ^ л/27
лагранжев треугольник неустойчив в первом приближении.
Для перехода от устойчивости в первом приближении к устойчивости в смысле Ляпунова, согласно КАМ-теории, необходимо реализовать ряд громоздких аналитических преобразований (прежде всего преобразования Биркгофа), чтобы привести гамильтониан задачи к так называемой "нормальной по Биркгофу форме" (см. [18]), но сначала приведем некоторые комментарии.
Выпишем два числа, играющих роль частот линейной модели в этой задаче:
г __(3)
с2 = ^л/1 -УГ^27Ц( 1- Ц).
Легко показать, что числа ±о2 суть характеристические числа матрицы линеаризованной системы дифференциальных уравнений в окрестности вершины лагранжева равностороннего треугольника. Чтобы имела место устойчивость в первом приближении, необходимо, чтобы в равенствах (3) значения параметра ц удовлетворяли неравенству (2). Это первое условие, фигурирующее в теореме Арнольда-Мозера (см. [7], [8]), на основе которой и исследуется устойчивость лагранжева треугольника по Ляпунову.
Кроме этого условия, в теореме Арнольда-Мозера фигурирует весьма важное условие отсутствия частотных резонансов
к1 0!+ к2с2 Ф 0, (4)
где къ к2 - целые числа, удовлетворяющие неравенству 0 < |кх| + |к21 < 4.
В связи с этим возникает задача об определении всех значений параметра ц из интервала линейной устойчивости (2), для которых точно выполняется резонансное равенство, обратное неравенству (4). Это необходимо для того, чтобы такие значения исключить из интервала (2), поскольку для них условия теоремы не выполняются. Эта задача имеет два решения (см. [12]):
Ц = 45 ^^в33 - 0.024294 < 0.0385209,
^ (5)
15 - 213 = 1 -- -- ^ 1 д - 0.013516 < 0.0385209. 2 30
Для значений ц и ц2 значения частот равны
2)
01
_ 2
02 =-----5-- ,
-3-- -2-- , а(2) _ 1 /I
-2-- -5-- , 01 =-2-- -5--
(6)
Отсюда видно, что частоты сх и о2 являются иррациональными числами, и тем не менее частотные резонансы присутствуют, первый - при значениях, например, к1 = -1, к2 = 2 и второй - при значениях к1 = -1, к2 = 3. Другими словами, для ц = ц имеем частотный резонанс третьего порядка 0(= 2 о2, а для ц = ц2 - резонанс четвертого порядка о( 2) = 3 о22) (см. [12]). Кроме условия (4), в теореме Арнольд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.