ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 435-445
УДК 519.634
Рассматривается задача о численном решении модифицированного уравнения Кортевега— де Вриза—синус-Гордона (шКёУ-ВО). Численное моделирование основано на квазиспектральном методе Фурье и методе Рунге—Кутты четвертого порядка. Определены точность и особенности применения метода при решении задач с начальными данными в виде различных комбинаций возмущенных солитонных распределений. Получены трехсолитонные решения и исследованы закономерности генерации кинков и бризеров, а также воблеров, возмущенных кинков и нелинейных осцилляторных волн. Библ. 15. Фиг. 6.
Ключевые слова: уравнение шКёУ, уравнение ВО, уравнение шКёУ-ВО, уравнение ВОшКёУ, уравнение ВРЕ, кинк, антикинк, бризер, воблер, солитон, многосолитонное взаимодействие.
Уравнения Кортевега—де Вриза (КёУ), синус-Гордона (ВО) и их обобщения занимают особое место среди нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. В настоящее время внимание исследователей привлекает уравнение шКёУ-8О, являющееся усложненной модификацией уравнения ВО. Оно также полностью интегрируемо, обладает бесконечным набором законов сохранения и имеет решения в виде уединенных бегущих волн (солитонов), взаимодействие которых происходит упруго.
Рассматриваемое в работе уравнение шКёУ-8О имеет вид
где А и В — константы. При А = 1 и В = 0 оно переходит в уравнение шКёУ относительно функции дхи, а при А = 0 и В =1 — в уравнение ВО. При любых А и В оно является интегрируемым, но перестает быть таковым при отличном от единицы множителе при слагаемом дххххи.
Спектр приложений данного уравнения широк. С помощью его решений можно построить двумерные поверхности с заданными условиями, накладываемыми на кривизну (см. [1]). В этом его сходство с другими интегрируемыми уравнениями (см. [2]), среди которых можно отметить КёУ, шКёУ и ВО. Из физических приложений выделяется обширная область исследований ультракоротких световых лазерных импульсов порядка фемто- и аттосекунд. В [3]—[5] приведены различные физические модели для описания прохождения световых импульсов, где, наряду с нелинейным уравнением Шрёдингера, уравнение шКёУ-8О используется для моделирования распространения лазерного излучения в нелинейных средах с многокомпонентным составом. Интерес к данному уравнению возобновился сравнительно недавно. Важным достижением последних лет явилось определение аналитических солитонных и многосолитонных решений (см. [1], [6]). Некоторые численные результаты, приведенные в [3]—[5], относятся к задачам с начальными условиями, связанными с конкретными экспериментами, а также нужны для соотношения коэффициентов, при которых шКёУ-8О не является интегрируемым уравнением.
БО1: 10.7868/$004446691503014Х
ВВЕДЕНИЕ
дх,и + А(3/2(дхи) дххи + дххххи) - Вэш(и) = °
2
(1)
435
6*
В данной работе рассматривается более широкий круг численных решений уравнения mKdV-SG, включая многосолитонные решения, солитонные пары, воблеры и осцилляторные волны. Исследуются возмущенные солитонные решения. Все решения зависят от большого набора параметров. В представленных численных вариантах обсуждаются наиболее характерные и информативные решения. Они могут быть полезны для дальнейших экспериментальных и теоретических исследований, например для установления внутренних связей решений уравнений mKdV, SG, mKdV-SG и уравнения короткого импульса SPE. В работе приведены результаты только для интегрируемого случая, но применяемая численная схема эффективна и для изучения неинтегри-руемых случаев (например с измененным дисперсионным слагаемым), и в постановках начальных данных, наиболее приближенных к экспериментальным условиям.
1. ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА
Уравнение (1) для численного исследования записывается в форме
dxtw + A(3/2w2dxw + dxxxw) - Bsin(d~x u) = 0, w = dxu. (1a)
Численное интегрирование уравнения (1а) осуществлялось квазиспектральным методом Фурье в двух модификациях. В первой (схема 1) интегрирование по времени проводилось в спектральном пространстве, а во второй (схема 2) — в координатном пространстве. Приведем алгоритм схемы 1.
Пусть w"j будет сеточным аналогом функции w(x, t) в координатном пространстве, а w"k —
в спектральном. Для всех к переход с временного слоя n на слой n + 1 для искомых функций w"k осуществляется согласно сеточному аналогу уравнения (1а):
wnkt = g( wnk) = -A ( 3/2Ck 1 + Ck 2) + Bc3k, где g(wnk) есть к-спектральная компонента всей правой части G(x, t) уравнения (1а):
G(x, t) = -A(3/2w2dxW + dxxxw) + Bsin(d-iw).
Значения c1k, c2k, c3k вычисляются следующим образом. Пусть преобразование Фурье F+ осуществляет переход из координатного представления искомой функции w(x, t) = w в спектральное, а за обратный переход отвечает преобразование F . Тогда для определения с1к необходимо
сначала вычислить w = F( wnk) и wx = F-(ik wnk) (i — мнимая единица), затем найти произведение w2wx и получить с1к = F+(w2wx). Линейное слагаемое уравнения имеет вид с2к = (ik)3 wnk. Для нахождения с3к необходимо сначала вычислить u = F"((i'k)-1 wnk), и тогда получаем с3к = F+(sin(u)).
Для всех к переход с временного слоя n на слой n + 1 для искомых функций wnk осуществляется следующим образом:
w"k +1 = (gi + 2 g2 + 2g3 + g4) dt/6,
где значения g2, g3, g4 находятся подобно g, но при wnk, определяем^тх на промежуточных временных слоях в соответствии с примененным вариантом явного метода Рунге—Кутты четвертого порядка:
gi = g(wk), g2 = gi (wk + gi dt/2), g3 = gi (wk + g2 dt/2),
g4 = gi (wk + g3dt).
Описанный алгоритм может быть реализован и для расчета исходных уравнений в координатном пространстве (схема 2). В этом случае можно записать
wjt = g(wj) = -(A(3/2cij( j ) + C2j) + BSin (Cy) ,
'1j, c2j, c3j Г—
где Су, Су, Сз определялись следующим образом. Сначала находился Фурье-образ = Г+(у" ), а
затем cv = F (ikwk), cy = F ((ik)3wk), cM = F ((ik) 1 wk).
Переход с временного слоя n на слой n + 1 для искомых функций wj осуществлялся следующим образом:
wj +1 = (gi + 2 g2 + 2g3 + g4) dt/6, gi = g(wj), g2 = gi (wj + gi dt/2),
g3 = gi ( wj + g2 dt/2),
g4 = gi (wj + gd).
В данной работе эта модификация использовалась для дополнительных проверок основного алгоритма (схема 1).
В качестве параметров расчетов служили общая длина периодичности L и число спектральных компонент Nk. Условие устойчивости интегрирования по времени устанавливалось экспериментально. Преобразования F+ и F брались из библиотеки стандартных процедур с двойной точностью записи чисел.
Решаемая система уравнений "жесткая" из-за наличия дисперсионного члена d^w, и применяемая явная схема интегрирования требует для выполнения условия устойчивости существенного ограничения на шаг по времени. Для смягчения этих ограничений существует целый класс алгоритмов, построенных на преобразовании исходного уравнения и последующего интегрирования по времени методом Рунге—Кутты повышенного порядка (см. [7]). При этом аппроксимация по пространственной переменной осуществляется при помощи тригонометрических функций, полиномов Чебышёва или других функций. Применяемый в данной работе алгоритм является наиболее простым и, как показано в [8], [9], обладает достаточной точностью и быстродействием (на типичном ПК затраты на вариант в среднем составляют 10—20 мин).
Обратимся непосредственно к расчетам. Отметим, что уравнение mKdV имеет бризерное решение (см. [10]), а уравнение SG имеет несколько видов солитонных решений — бризеры, кинки (антикинки), воблеры (см. [11]). Они служили для проверки отдельных блоков алгоритма. Приведем пример тестирования на бризерном решении уравнения mKdV , которое имеет вид
w (x, t) = 4 дх{ arctg (р / a sin (a(x + 5t - xi))/ch (p(x + Y t - X2)))}, ^
5 = a2 - 3p2, y = 3a2 - p2.
Это решение, зависящее от параметров a, р, x1, x2 , численно (в уравнении (1) полагалось A = 1, B = 0) воспроизводилось при dt = 0.00015, dx = 0.125, числе спектральных гармоник Nk = 2048, числе координатных точек Nx = 4096. Вся область координат L = 512. При a = 1, р = 1 и x1 = x2 = x0 (x0 выбиралось из методических соображений) для времени t = 30 максимальные отклонения численного решения от точного (2) составляли величины порядка 10-7. Для параметров a = 1, р = 0.1 отклонения от точного решения были на уровне 10-8—10-9. Эти тесты проводились также по схеме 2, и ошибки оказались того же порядка.
Кинковое решение уравнения mKdV-SG служило тестом для всего алгоритма. Оно имеет вид (см. [1]):
w(x, t) = 4n/(exp(n(x- vt-x0)) + exp(-n(x- vt-x0))),
(3)
v = n2 - B/ n2,
где A = 1, B — любое.
В отличие от бризерного, кинковое решение (3), благодаря более простой пространственной и временной структурам, воспроизводилось с лучшей на порядок точностью.
Наиболее сложные варианты проверялись (кроме этих тестов) варьированием расчетных параметров, а также выполнением свойства обратимости решения по времени. Так, при расчете тестовых вариантов с точными кинковыми решениями (3) возврат численных решений, полученных для t = 30, на начальные данные осуществлялся с точностью до десятого знака. Для более сложных решений точность возврата была на порядок меньше. В рассматриваемых далее расчетах использовалось 2048 спектральных гармоник Nк и 4096 координатных точек Ых. Шаг по координате был равен 0.125 и шаг по времени был равен 0.00015. При этом размер расчетной области L был равен 512. Для выполнения условия равенства нулю интеграла от решения начальные данные задавались с учетом этого требования. В дальнейшем (за исключением разд. 6) начальные данные строились с помощью аналитических решений (2) и (3) при t = 0. Введем краткие обозначения: для кинковых (антикинковых) решений К(+/-, п, х0), а для бризерных В(+/-, а, р, я0).
Рассмотрим более сложное решение, представляющее взаимодействия трех бризеров. Для этого зададим в начальный момент суперпозицию шести бризеров:
В1(+, 0.7, 1.0, 60), В2(-, 0.7, 1.0, -75), В3(+, 1.0, 1.0, -55), В4(+, 1.0, 1.8, 45), В5(-, 1.0, 1.8, -90), В6(-, 1.0, 1.0, 80).
В уравнении (1а) константы А, В равны 1. Динамика процессов взаимодействий показ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.