научная статья по теме ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СПЕКТРА ЗАДАЧИ ОРРА–ЗОММЕРФЕЛЬДА Математика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СПЕКТРА ЗАДАЧИ ОРРА–ЗОММЕРФЕЛЬДА»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 10, с. 1672-1691

УДК 519.624.3

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СПЕКТРА ЗАДАЧИ ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА1-*

© 2007 г. С. Л. Скороходов

(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: skor@ccas.ru Поступила в редакцию 29.03.2007 г.

Разработан высокоточный метод вычисления собственных значений Х„ и собственных функций оператора Орра-Зоммерфельда. Метод основан на представлении решения в виде комбинации разложений в степенные ряды и на сшивке этих разложений. Скорость сходимости разложений исследована на основе теории рекуррентных уравнений. Для течений Куэтта и Пуазейля в канале детально исследовано поведение спектра при увеличении числа Рейнольд-са R. Показано, что для течения Куэтта собственные значения Хп, рассматриваемые как функции числа R, имеют счетное множество точек ветвления R^ > 0, в которых кратность собственных значений равна двум. Приведены первые 10 этих точек с точностью в 10 дес. зн. ц. Библ. 41. Фиг. 12. Табл. 1.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда, численный анализ спектра уравнения Орра-Зоммерфельда, течения Куэтта, Пуазейля, Куэтта-Пуазейля, исследование скорости сходимости.

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Оператор Орра-Зоммерфельда возникает при исследовании течения вязкой несжимаемой жидкости в канале (см. [1]-[6]). Основными уравнениями здесь являются обезразмеренные нестационарные уравнения Навье-Стокса с условиями непротекания и прилипания жидкости на границах области.

В настоящей работе рассматривается течение в двумерном канале П(х, у) с продольной координатой х е м) и поперечной координатой у е (-1, 1). Основное стационарное течение жидкости имеет лишь горизонтальную скорость и(у), для него обычно рассматривают три случая.

Случай I. Течение Куэтта, когда стенки канала движутся в противоположные стороны с одинаковой скоростью. Этому случаю соответствует профиль основного потока со скоростью

и(у) = у. (1.1)

Случай II. Течение Пуазейля, когда на торцах канала имеется перепад давления, вызывающий движение. Этому случаю соответствует профиль скорости

и( у) = 1- у2. (1.2)

Случай III. Течение Куэтта-Пуазейля, когда скорость основного потока описывается параболой с вещественными коэффициентами

и( у) = ау2 + Ьу + с. (1.3)

Рассматривая малые возмущения скорости относительно основного потока и(у), вводя функцию тока ¥ = ¥(х, у, X) и исследуя периодические по х решения в форме

¥( х, у, X) = Ф( у, X) еа, а> 0, (1.4)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00295, 07-01-00503) и Программы < 3 ОМН РАН.

1672

получают линейное уравнение для Ф(у, t):

2 , -.2 N ,2

Э2 2 1ЭФ .1 1 ГЭ2 2^2 т/д 2

—- - а = iак —-г —- - ""

-J3t '1 /аИ^ «J - а J + dpUJ

здесь а - волновое число в представлении (1.4), а параметр R - число Рейнольдса основного потока. В актуальных задачах течения жидкости наиболее интересен случай больших чисел R > 1; этому мы уделим особое внимание.

Далее, используя для решения Ф(у, t) разделение переменных

Ф(У, t) = ф(y)е-аА (1.5)

с неизвестной постоянной А, для амплитуды ф(у) получают знаменитое уравнение Орра-Зоммер-фельда четвертого порядкам (см. [1]-[3], [5], [6])

-1-[ф(IV)(y) -2а2ф"(у) + а4ф(у)] - (U(y) - А)[ф''(у) - а2ф(у)] + U''(у)ф(у) = 0. (1.6)

Отметим здесь, что представления (1.4), (1.5) эквивалентны поиску функции тока ¥(х, у, t) в виде бегущей волны

¥(х, у, t) = ф(у)е,а(х-At) (1.7)

с неизвестной скоростью А.

Краевыми условиями для (1.6) являются однородные условия

ф(-1) = ф' (-1) = 0, (1.8) ф( 1) = ф' (1) = 0. (1.9)

Таким образом, поставленная задача (1.6), (1.8), (1.9) состоит в нахождении собственных значений А (СЗ) и собственных функций ф(у) (СФ) на отрезке у е [-1, 1] при заданной аналитической функции и(у). В [7], [8] показано, что множество СЗ задачи счетно, а соответствующее множество СФ полно.

1.2. Перепишем уравнение (1.6) в операторной форме:

L ф( у) = -AD ф( у), (1.10)

где

12

L = а-D - U(у)D + U''(у),

л (1.11)

n " 2

D = —2-а .

йу

Оператор L задачи (1.10), (1.8), (1.9) является несамосопряженным и включает старшую про-

d 4

изводную —4 с малым коэффициентом ^R)-1 < 1, что значительно осложняет анализ спектра

йу

(см. [9]-[12]) и исследование устойчивости малых возмущений скорости относительно основного потока (см. [1]-[6], [13]-[15]).

Из представления (1.7) в предположении а > 0 следует, что если хоть одно собственное значение Ak расположено в верхней полуплоскости Im(Ak) > 0, то малые возмущения функции тока ¥(х, у, t) будут со временем экспоненциально быстро нарастать; это, в свою очередь, приводит к развитию турбулентности течения.

1.3. Для численного решения задачи (1.6), (1.8), (1.9) используют равномерные и неравномерные разностные сетки [16], [17], разложения по многочленам Чебышёва I рода (см. [18], [19], [6]) и по специальным функциям Чандрасекара (см. [20], [21]), проекционный метод с выбором специального базиса (см. [22]), комбинированные методы (см. [23], [24]), метод расщепления оператора задачи (см. [25]-[28]), метод локализации неустойчивых СЗ (см. [29]), теорию возмущений (см. [30]) и др. Обзоры этих методов можно найти также в [2], [3], [9], [31].

Как было отмечено в большинстве указанных работ, основная трудность задачи заключается в том, что мы имеем дело не с обычной задачей на СЗ, а с соответствующей задачей для пучка операторов. Помимо этого, оператор Ь из (1.11) является несамосопряженным и включает малый коэффициент (аR)-1 при старшей производной. Поэтому разработка эффективного метода решения задачи и исследование ее спектра при числах Рейнольдса R > 1 остается по-прежнему актуальным.

1.4. План работы следующий. В разд. 2 изложен метод решения на основе построения системы степенных разложений с центрами в граничных точках у = -1 и у = 1, а также на использовании сшивки разложений в одной точке.

В разд. 3 даны особенности метода в случае наличия четности или нечетности искомого решения. В частности, это относится к течению Пуазейля.

В разд. 4 подробно исследованы асимптотики решений рекуррентных уравнений, которые возникают для расчета коэффициентов разложений. С помощью теории Пуанкаре-Биркгофа показано, что эти коэффициенты очень быстро падают и обеспечивают весьма высокую скорость сходимости разложений.

В разд. 5 подробно исследован спектр задачи Xи для течения Куэтта. Показано, что СЗ, рассматриваемые как функции числа Рейнольдса R, имеют счетное множество точек ветвления Rk > 0, в которых значения имеют кратность 2. Разработан эффективный метод вычисления точек

ветвления Rk и двойных СЗ, а также даны первые 10 этих точек. Показано, что —► -1/43

при к —► м. Исследован также спектр задачи при комплексных волновых числах а.

В разд. 6 представлены спектральные портреты для течения Пуазейля, некоторые собственные функции и вычислены две ветви нейтральной кривой.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Уравнение (1.6) будем рассматривать в комплексной плоскости у е % для общего случая течения Куэтта-Пуазейля и(у) = ау2 + Ьу + с. Отдельные случаи (1.1) и (1.2) течения Куэтта и Пуазейля изучим особо.

Параметр X будем находить далее в процессе решения, а пока будем считать его некоторым фиксированным числом.

Уравнение (1.6) является линейным с переменными коэффициентами, поэтому все особые точки его решения определяются его коэффициентами (см. [32]).

Зависимость решения ф(у) от параметров задачи а, Ь, с, а, R и СЗ X будем обозначать через ф(а, Ь, с, а, R, X; у), иногда для сокращения записи будем писать также ф(у).

Легко убеждаемся, что любое решение ф(а, Ь, с, а, R, X; у) уравнения (1.6) является регулярной функцией в любой конечной точке у0, а особой будет лишь бесконечно удаленная точка у = м.

Поскольку мы ищем решение ф(у) на отрезке у е [-1, 1], то будем представлять ф(у) в виде соответствующих разложений по степеням (1 + у)к и (1 - у)к.

2.1. Окрестность точки у = -1

Сначала построим решение уравнения (1.6) в окрестности точки у = -1. С учетом краевых условий (1.8) представим регулярное решение ф(а, Ь, с, а, R, X; у) в виде

ф(а, Ь, с, а, Я, X; у) = £ йк(у +1 )к+ 2, |у +1 <м, (2.1)

к = 0

где коэффициенты ёк = ^к(а, Ь, с, а, R, X) зависят от параметров задачи а, Ь, с, а, R и искомого X. Ниже будет показана скорость убывания коэффициентов ёк.

Далее для решения уравнения (1.6) нам потребуются первые четыре производные по у, которые мы получим последовательным дифференцированием ряда (2.1):

дф = £( к + 2) ^(у +1)к +1, ^ = .... (2.2)

Эу к о д у

Здесь использована запись с частными производными по у, поскольку далее нам потребуется находить также производные решения ф(а, Ъ, с, а, R, А; у) по спектральному параметру А.

Затем, записывая функцию и(у) из (1.3) в виде трехчлена по степеням (у + 1)к и подставляя разложения (2.1), (2.2) в уравнение (1.6), получаем рекуррентное уравнение для коэффициентов йк:

3 3

, -гаа Я , га Я(2а - Ъ) ,

¿к = -2-¿к-6 +--—ёк-5 +

(к + 2) к (к - 1) (к + 2) к (к-1)

г аЯ [ а (к - 4 ) (к - 1) - а2 ( а + с - Ъ - А ) ] - а4^

+ 2 ¿к-4 + /<-) оч

(к + 2) к (к-1) (2.3)

+ г аЯ( к - 2 )(Ъ - 2а) , + г аЯ ( а + с - Ъ - А) + 2а2 , ( к + 2)( к + 1) к к-3 ( к + 1) ( к + 2 ) к-2' к > 2.

Соотношение (2.3) является линейным разностным уравнением порядка 6 с переменными коэффициентами и служит для последовательного вычисления ёк при возрастании к = 2, 3, .... При этом значения и ё1 мы можем выбрать произвольными и дополнительно учесть, что

¿к = 0, к = -1, -2, ....

2.2. Два решения в окрестности точки у = -1

Теперь построим два линейно независимых решения уравнения (1.6), удовлетворяющих условиям (1.8). Для этого используем разложение (2.1), коэффициенты ё0 и выберем двумя независимыми способами, а последующие ёк при к > 2 будем вычислять по (2.3).

Первое из решений фх(у) определим с помощью задания коэффициентов

¿0= 1, ё(1) = 0, (2.4)

а второе решение ф2(у) - с помощью задания

¿02) = о, d (2) = 1. (2.5)

Отметим здесь, что условия (1.8) и (2.4) соответствуют постановке задачи Коши в точке у = -1 для уравнения (1.6) с ненулевой лишь второй производной, а условия (1.8) и (2.5) - задаче Коши в точк

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком