ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 8, с. 35-43
УДК 550.344.5
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ
ПРИ НАЛИЧИИ КАУСТИК
© 2007 г. Т. Б. Яновская, М. А. Гейер
Санкт-Петербургский государственный университет yanovs@geo.phys.spbu.ru mgeyer@mail.ru Поступила в редакцию 20.11.2006 г.
Вследствие латеральной неоднородности верхней толщи Земли трассы поверхностных волн отклоняются от дуг большого круга. Сферичность Земли приводит к тому, что на полусфере противоположной эпицентру трассы пересекаются и образуются каустики, состоящие из двух ветвей, образующих острие в точке их касания. Это не позволяет анализировать поле поверхностных волн на расстояниях больших 90° в рамках лучевых представлений. Асимптотический подход к анализу поля в окрестности таких каустик крайне сложен для численной реализации. Трудности такого подхода к расчету поля усугубляются тем, что в отдельных областях происходит наложение таких каустик. Поэтому для анализа поля предлагается использовать теорему представления, которая состоит в том, что поле внутри некоторого контура выражается в виде интеграла, подынтегральная функция в котором содержит значения самой функции, ее производной по нормали на контуре и функцию Грина. Поле на контуре (окружности, ограничивающей полусферу с центром в эпицентре) вычисляется на основе лучевого метода, поскольку на этой полусфере лучи не пересекаются. Эти данные используются для построения поля на противоположной полусфере. Эта полусфера предполагается латерально однородной, что позволяет построить для нее функцию Грина. Это ограничение не слишком существенно, так как конфигурация лучей и каустик на этой полусфере определяется главным образом полем на окружности. Интеграл в теореме представления вычисляется численно. Приводятся численные примеры для моделей, в которых образуется одна и две накладывающихся друг на друга каустики. На основе этих расчетов делаются выводы о вариациях амплитуды и фазы волны. Рассчитаны также поля волн Релея в модели реальной Земли. Делается вывод о том, что в отдельных точках спектр волны Релея может быть сильно искажен за счет того, что каустики, соответствующие разным периодам, имеют разную форму.
РЛС8: 91.30.Ab
1. ВВЕДЕНИЕ
Латеральная неоднородность верхней толщи Земли приводит к тому, что поверхностные волны распространяются по трассам, отличающимся от дуг большого круга, а вследствие этого на полусфере, противоположной эпицентру, трассы (лучи) пересекаются и образуются каустики [Lay and Kanamori, 1985; Яновская, 2004]. Каустики имеют специфическую форму, а именно, наличие острия, в котором происходит касание двух ветвей каустики. Между этими ветвями происходит суперпозиция трех волн, а вне каустики, согласно лучевой схеме, существует одна волна, но на нее накладывается поле, отвечающее зоне тени от ветви каустики ближайшей к рассматриваемой точке. В некоторых случаях происходит наложение двух и более каустик. Поэтому очевидно, что рассмотрение поля поверхностной волны в рамках лучевого подхода [Левшин и др., 1989] уже оказывается неприменимым.
Одним из авторов настоящей работы [Яновская, 2004] был рассмотрен асимптотический под-
ход к анализу и расчету поля в окрестности каустик с острием. В отличие от обыкновенной каустики, где поле выражается через функцию Эйри, в случае каустики с острием поле определяется интегралом Пирси [Реагсеу, 1946], содержащим два параметра, выражающиеся через времена прихода суперпозиционных волн. Однако такой метод обладает теми же недостатками, что и метод расчета поля в окрестности обыкновенной каустики, а именно, необходимостью вычислять времена прихода суперпозиционных волн с высокой точностью и экстраполировать параметры интеграла Пирси в область вне каустики. Кроме того, неясно, можно ли перенести этот метод на случай сферической поверхности, а главное, он не годится для оценки поля в случае наложения нескольких каустик.
Поэтому нами разработан новый численный метод для расчета поля поверхностных волн на полусфере, противоположной эпицентру, преимущества которого состоят в том, что (1) он применим как для плоской, так и для сферической
35
3*
поверхности; (2) позволяет рассчитывать поле в области наложения каустик; (3) не требует ни точного расчета времен прихода волн в точку, ни экстраполяции поля времен в зону тени. Метод основан на применении формулы Грина, в соответствии с которой поле внутри замкнутого контура определяется через его значения на контуре и функцию Грина. Ограничением этого метода является то, что скорость на полусфере, противоположной эпицентру, считается постоянной. Однако, поскольку латеральная неоднородность Земли не слишком велика, конфигурация лучей на этой полусфере определяется главным образом значениями времен на контуре (круге, разграничивающем две полусферы), а они в свою очередь полем времен на полусфере с центром в эпицентре, т.е. латеральными вариациями скорости на этой полусфере.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА
Поле поверхностной волны в слабо неоднородной по горизонтали среде (под "слабой" неоднородностью понимается малость относительных изменений упругих параметров на расстоянии порядка длины волны) определяется произведением трех факторов - собственной функцией в точке наблюдения, функцией источника, зависящей от глубины и механизма и выражающейся через собственную функцию в точке, где расположен источник, и наконец, двумерным распространением волны вдоль поверхности, которое определяется латеральной вариацией фазовой скорости. В случае, когда трассы поверхностной волны не пересекаются, и двумерное распространение волны может быть описано в рамках лучевого метода, поле основной моды стационарной поверхностной волны определяется известной формулой [Левшин и др., 1989; Аки, Ричардс, 1980; Dahlen and Tromp, 1998; Yanovskaya, 2002]:
тт. , exp(- imx(r) - iп/4) U ( r, z, m) = ——-—-¿
x
V(r, z, m)
Jcuiq
J8 nm
W ( r, h )
c(r) J ( r )
x
Jcuiq
(1)
ское расхождение лучей, т - эйконал, удовлетворяющий уравнению (Ут)2 = с-2.
Из (1) видно, что первый множитель
тт, ч exp(- iют(r) - iп/4) c(r)
U(r, m) = —^---4bH'
Vs™ Vj ( r )
(2)
представляет собой главный член лучевого ряда
двумерного волнового уравнения AU =
m
с2 ( r )
U = 0.
В случае, когда лучи образуют каустику, этот множитель (будем его далее называть геометрическим фактором) должен иметь другой вид. В дальнейшем мы будем рассматривать только этот фактор, поскольку именно он определяется геометрией лучей на поверхности.
Для определения и(г) мы будем использовать формулу Грина
и( г) = \^иа(г, 5) - и(5)Ж, (3)
где иа(г, г') - функция Грина волнового уравнения, точка г находится в области, ограниченной замкнутым контуром 5. Мы будем далее рассматривать сферическую поверхность, так что г = 0, ф. В качестве контура удобно принять окружность, являющуюся экватором по отношению к эпицентру, т.е. разграничивающую две полусферы с полюсами в эпицентре и антиподе. Поскольку, как правило, лучи на полусфере с центром в эпицентре не пересекаются, то функция и(г) на этой окружности может быть получена в рамках лучевого представления, т.е. по формуле (2).
Функция Грина на поверхности однородной сферы имеет вид
Ug(r, r') =
1
V8n kR sin A
exp ( - ikRA - i п/4),
Здесь г - горизонтальная координата (х, у в случае плоской поверхности, 0, ф в сферическом случае).
Первый множитель в этом выражении описывает распространение волны вдоль поверхности, во втором У(г, г, ю) - собственная функция в точке наблюдения на глубине г, третий множитель представляет функцию источника, сосредоточенного на глубине к, /0(г) = р |У(г, г, ю)|2^г - интеграл энергии. Остальные обозначения: с - фазовая скорость, и - групповая скорость, 3 - геометриче-
где А - расстояние между точками r и r' по дуге большого круга, к = ю/c, причем c = const. Как уже отмечалось выше, мы будем полусферу с центром в эпицентре считать латерально неоднородной, а с центром в антиподе - однородной, чтобы можно было использовать функцию Грина для однородной сферы.
Точки на окружности будем определять угловой координатой а. Если радиус сферы R, то dS = = Rda. С точностью до константы на окружности
U (a)<
exp(-io)T(a)) JJ(a)/c(a) '
da V aQ
где J(a) = R -—, a0 - азимут выхода луча из эпи-
центра.
obs
source
r
r
Главный член в выражении для производной
дU . „дт дт cosЪ t
т— имеет вид -mU-----, где ----- = —-—- , Ъ - так на-дп д п дп c (а)
зываемая азимутальная аномалия, т.е. угол между направлением луча и геометрическим азимутом в точке пересечения луча с окружностью. В реальной Земле этот угол близок к 0, и соответственно cos Ъ ~1, но для общности мы сохраним этот множитель. Знак минус в выражении для производной обусловлен тем, что дифференцирование производится по направлению внешней нормали.
Поместим полюс в антиподе O (рис. 1) и будем определять координаты точек P на полусфере расстоянием по дуге большого круга 0 = |OP | до полюса и азимутальным углом ф. Положение текущей точки на окружности M определяется азимутальным углом а. Расстояние А от точки P до точки на окружности М выражается формулой
cos А = sin 0 cos (а - ф).
Производная функции Грина по направлению внешней нормали к окружности, как и производ-dU л
ная т— , будет иметь вид: д п
д—- ~ -ikuG cos Y, дп
где у - угол между дугой большого круга, соединяющей точки P и M, и меридианом, проходящим через точку M (рис. 1). Этот угол определяется из условия
cos у =
cos0 sin А'
Таким образом, формула (3) может быть переписана в следующем виде:
2п
U(P) ~ ik Дc^cosЪ + cosyJU(а)uG(r, а)Rda,
или
U (P)
2n
ik с í c
V8ñkJ Vc(а)
■cos Ъ + cos у X
(4)
X exp ( - i ю ( т (а ) + R А ( ос ) /c ) JJ (а) / c (а)7 R sin А(а)
Нетрудно показать, что в случае однородной сферы эта формула определяет в лучевом приближении сумму волн, приходящих в данную точку с двух противоположных направлений. В этом случае во всех точках кроме антипода лучи не пересекаются, и интеграл может быть оценен по методу стационарной фазы. Действительно, в области интегрирования фаза имеет две стационарные точки а = ф и а = ф + п. Первой стационарной
Рис.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.