ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1557-1575
УДК 519.634
ЧИСЛО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЧАСТИЦЫ В ГРЕБЕНЧАТОЙ СТРУКТУРЕ
© 2007 г. М. Д. Ковалёв
(107005 Москва, ул. 2-ая Бауманская, 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана) e-mail: kovalev.math@mtu-net.ru Поступила в редакцию 12.09.2006 г.
Переработанный вариант 06.03.2007 г.
Предлагается метод подсчета числа энергетических уровней квантовой частицы в одномерном кусочно-постоянном потенциальном поле определенного вида - так называемой гребенчатой структуре. Гребенчатая структура представляет собой ряд слоев: потенциальных ям, потенциал в которых равен 0, и стенок между ямами с потенциалом U > 0. Внешние стенки крайних ям бесконечно протяженны. Подсчет производится на основе недавно полученного многослойного уравнения, позволяющего вычислять собственные значения энергии E квантовой частицы в произвольном одномерном кусочно-постоянном потенциальном поле. Уравнение имеет вид F* (E) = 0, где F* (E) - достаточно сложная функция, строящаяся по заданной
многослойной структуре и зависящая от номера j произвольно выбранного конечного слоя. Ключевым свойством является строгая монотонность на интервалах своей непрерывности функций F* (E), отвечающих крайним конечным слоям. Для функций, отвечающих внутренним конечным слоям, эта монотонность может не иметь места. Выполненный подсчет дает формулу, справедливую в случае "общего положения". При специально подобранных ширинах ям и стенок (в достаточно редких, так сказать, резонансных случаях) возможны отклонения от этой формулы. Кроме того, указан пример, в котором при "удвоении" потенциальной ямы не происходит увеличения числа энергетических уровней частицы. Библ. 6. Фиг. 5.
Ключевые слова: квантовая частица, кусочно-постоянное потенциальное поле, стационарные состояния, многослойное уравнение, метод подсчета числа энергетических уровней.
1. введение
В [1]-[3] рассматриваются две сходные одномерные задачи: задача о собственных значениях эффективного показателя преломления многослойного волновода и задача о собственных значениях энергии квантовой частицы в кусочно-постоянном потенциальном поле. Основное содержание этих работ составляет уравнение, дающее собственные значения названных величин в случае произвольного числа слоев для первой задачи и произвольного числа отрезков постоянного потенциала (которые мы также будем называть слоями) для второй задачи. Следует отметить, что ранее подобные уравнения были известны (см. [4]) лишь для структур, содержащих не более 5 слоев. История вопроса содержится в [3]. Полученное уравнение автор называет многослойным, оно получается приравниванием так называемой многослойной функции, зависящей от энергии E частицы, нулю. Крайние слои рассматриваемых здесь слоистых структур считаются бесконечно протяженными. Если число всех слоев, включая бесконечные крайние, равно n, то многослойную функцию Fj (E), а значит, и многослойное уравнение для одной и той же слоистой структуры можно выписать n - 2 способами. Каждый такой способ отвечает выбору выделенного j-го слоя конечной толщины. Для определенности сосредоточимся далее на второй задаче - задаче о собственных значениях энергии частицы в гребенчатой структуре. Пусть Uj - значение потенциала в j-м слое. Пусть W - наименьшее из двух значений потенциала U1 и Un в бесконечных слоях, а V- наименьшее из всех значений Uj, 1 < j < n. Для существования хотя бы одного энергетического уровня частицы в такой структуре необходимо выполнение неравенства V < W. В [3] показано, что, вообще говоря, комплекснозначная функция Fj при V< E < Wпринимает либо вещественные, либо чисто мнимые значения. Далее мы будем преимущественно работать с функциями F* (E), равными Fj (E), если последняя функция вещественна, и Im Fj (E), если функция Fj (E) принимает чисто мнимые значения (здесь Im - мнимая часть выражения.). Для одной и той же задачи множества нулей многослойных функций Fj и Fk при j Ф к могут не совпадать.
1557
1558
КОВАЛЁВ
Ниже, в разд. 3, установлена независимость множества нетривиальных (т.е. не равных величинам ЦТ,-) нулей многослойной функции ¥к от ее номера 2 < к < п - 1.
Частным, но важным для приложений случаем слоистой структуры является гребенчатая структура, состоящая из нечетного числа п слоев, в которых потенциал принимает лишь два различных значения, пусть, для определенности, 0 и и > 0. Крайние слои с номерами 1 и п (п > 3 нечетно) будем считать бесконечными, а потенциал в них равным и. В остальных же слоях, представляющих собой отрезки длины > 0, 2 <- < п - 2, значения потенциала последовательно чередуются, начиная с 0. Такую слоистую структуру мы называем гребенчатой, или общей гребенкой (см. фиг. 5). Равномерной гребенчатой структурой (или гребенкой) назовем гребенчатую структуру, для которой I] = и при четном - и I- = V при нечетномЗдесь и и V - некоторые постоянные параметры - ширина потенциальной ямы и ширина стенки между ямами. Равномерную гребенку назовем правильной, если и = V = I (см. фиг. 3, 4).
В [2] сформулировано такое утверждение для гребенчатой структуры: "Если в одной квантовой яме - один уровень энергии, то для п таких ям он расщепится на п подуровней". Действительно, такая тонкая структура, как правило, наблюдается в численных экспериментах. Однако это явление не всегда имеет место, и соответствующий пример будет приведен в разд. 4 данной работы.
Многослойная функция (или ее мнимая часть) Г* (Е) имеет бесконечные разрывы. Качественное исследование и численное решение многослойного уравнения упрощается, если функция обладает таким замечательным свойством, как монотонность на промежутках ее непрерывности. К сожалению, это не всегда так, пример чего приведен в разд. 4. Однако оказывается что функции (Е) и 1 (Е) являются строго возрастающими на интервалах их непрерывности при 0 < Е < и в случае произвольной гребенчатой структуры.
Основной результат статьи представляет формула (22), дающая число энергетических уровней частицы в гребенчатой структуре в случае "общего положения". Результаты подсчета по этой формуле были проверены для ряда гребенчатых структур сравнением с расчетами всех энергетических уровней, требовавшими ручной локализации нулей весьма сложных функций, подчас обладающих бесконечными разрывами и соседними нулями в очень близких точках.
2. многослойное уравнение
Выпишем многослойное уравнение в необходимой нам форме. Мы считаем, что в каждом слое состояние квантовой частицы описывается стационарным уравнением Шрёдингера
-т-—т + и, ¥ = Е ¥, (1)
2 тёх2
где ¥(х) - волновая функция, т - масса частицы, Е - ее энергия, й - постоянная Планка. Решение этого уравнения в каждом слое ищется в виде экспоненты либо гармоники, причем в крайних бесконечных слоях это должны быть экспоненты, стремящиеся к нулю на бесконечности. На границах соседних слоев эти функции "сшиваются" по условию непрерывности функции ¥ и ее производной.
Чтобы выписать многослойное уравнение, введем характеристику — 1 < - < п, --го слоя, зави-
2т
сящую от энергии Е частицы: = —— (и, - Е). В случае гребенчатой структуры при значениях
4 й2
2 т
энергии 0 < Е < и эта характеристика является вещественной -— (и - Е) для слоев с нечетными
й
номерами и чисто мнимой , ^Е для слоев с четными номерами. Составим две вспомогатель-
й2
ные последовательности величин Qj и Р-, 2 < - < п - 1, зависящих от характеристик — а именно:
пусть Q2 = q1, а при j > 2
Qj = qj-ifc (qj-i tj-i + arth j]. (2)
Величины же Pj определяются следующим образом: Pn - 1 = qn, а при j < n - 1
= q} +ith ^ qj +it] + i + arth . Соотношение (2) можно переписать, освободившись от обратных функций:
Q = qj -11 qj - 1 sh ( - i t- -1) + Q.z - i ch ( qj -1о -1) i (3)
j qj-ich (qj-i tj-i) + Qj-ish (qj-1 tj-1)
Или, разделив числитель и знаменатель на ch (qj -1 tj -1), получим
q = qj - 1 . qj - - th (qj - 1 tj - 1 ) + Qj - 1 ]. (4)
Так же можно преобразовать и выражения для Р-. Многослойное уравнение выписывается следующим образом:
Л (ал,- + айЬ 0 + айЬ ^ = 0, (5)
V'' а, а,)
где 2 <-' < п - 1 - номер какого-либо из ограниченных слоев, который мы назовем выделенным. Функцию, стоящую в его левой части, мы называем многослойной функцией Е- (Е). Она зависит от номера - выделенного слоя.
В случае гребенчатой структуры, переходя к новой единице длины х' = гти х, из уравнения
й2
(1) получаем уравнение
d_l + j =
dx'2 U U '
U
где величина -ц- равна либо 0 либо 1. Обозначая отношение ц как е, будем считать эту безразмерную переменную изменяющейся на интервале (0, 1). Нам также будет удобнее обращаться не с функциями О-, Р-, а с функциями О * (е) = и Р* (е) = -(е-
7е 7е
Отметим, что при анализе плоских многослойных волноводов уравнение для поперечной напряженности Еу электрического поля плоской электромагнитной волны в слое с постоянным показателем преломления п, в случае так называемой ТЕ-моды имеет вид (см. [1])
+ п2 Е = В2 Е 2,2 Н ^У
ю ах
где в - эффективный показатель преломления многослойной структуры, ограниченной перпендикулярными оси Ох плоскостями, ю - частота волны, с - скорость света. В этом случае характеристики слоев зависят от эффективного показателя преломления и а, = ЮЛ/в^п2, а многослойное уравнение выписывается таким же образом, как и выше.
1560
КОВАЛЁВ
3. независимость корней многослойного уравнения от выбора выделенного слоя
Для доказательства независимости корней многослойного уравнения от выбора выделенного слоя в общем случае переписываем уравнение (5), вводя величины у- = д^ - и преобразуя его так, чтобы оно не содержало обратных функций:
2
д- 5ь у- + Р.Р.5Ьу- + <2-д -сЬУ}. + Р д }сЬу- = 0 (б)
д] сЬ У- + ] сЬ у- + й-д- зЬ у- + р]д] у;
Покажем, что нетривиальные (т.е. не равные ик, 1<к<п) корни многослойного уравнения не зависят от-. При записи уравнения (6) выделенным считался--й слой. Беря в качестве выделенного - + 1-й слой, получаем многослойное уравнение вида
2
д- + 1 5Ь У- + 1 + < + 1 Р- + 1 5Ь У- +1 + О- + 1 д- + 1 сЬ У- + 1 + Р - + 1 Я- + 1сЬ у- +1 = 0 д)+1 сЬ у-+1 + О- + 1Р- +1 сЬ у-+ 1 + О- + 1 д- +1йЬ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.