ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 3, с. 360-363
УДК 539.172.4
ЧИСТО КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДЕЛЕНИИ
© 2007 г. В. Е. Бунаков1, С. Г. Кадменский2
E-mail: kadmensky@phys.vsu.ru
Показано, что большие значения орбитальных моментов относительного движения осколков деления - это следствие чисто квантовых эффектов "ориентационной накачки", связанных с соотношениями неопределенности.
ВВЕДЕНИЕ
Всем нам хорошо известно квантовое соотношение неопределенности между импульсом и координатой. В некоторых учебниках (см., например, [1, 2]) упоминается и его связь с явлением "нулевых колебаний" квантового осциллятора. Гораздо менее известно соотношение неопределенности между угловым моментом € и углом поворота 0 системы в плоскости, перпендикулярной этому моменту, а также о связи соответствующего соотношения с "нулевыми колебаниями" квантового маятника. Это приводит к непониманию некоторых чисто квантовых явлений в спонтанном и низкоэнергетическом делении ядер, обсуждающихся в настоящее время [3-7] и могущих быть источником весьма больших спинов осколков деления и больших орбитальных моментов Ь их относительного движения.
В разделе 1 мы напоминаем о связи нулевых колебаний квантового осциллятора с соотношением неопределенности импульс-координата. В разделе 2 приведены схематический вывод соотношения неопределенности угловой момент-угол поворота и, в полной аналогии с разделом 1, показана связь этого соотношения с нулевыми колебаниями квантового маятника. В разделе 3 рассмотрены следствия соотношений неопределенности угловой момент-угол поворота в теории низкоэнергетического деления.
1. НУЛЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Напомним, как связано хорошо известное соотношение неопределенности
АрАх ~ й (1)
с нулевыми колебаниями одномерного квантового осциллятора. Для него уравнение Шредингера имеет вид
1 Петербургский институт ядерной физики им. Б.Б. Константинова РАН, Гатчина.
2 Воронежский государственный университет.
_ — d— + C 2 _ E L-2 mdx 2 2!x - E
W„( x) = 0
с собственными значениями
En = hrn( n +1/2),
(2)
(3)
где частота ю определяется отношением жесткости" С осциллятора к его массе т:
C
ю = —.
Ыт
(4)
Соответствующие собственные функции определяются полиномами Эрмита:
4n(x) = Nnexpj-Ц-Hn(л/аx),
(5)
где Ып - нормировочная константа, а а2 = тС/й2.
Для нас важно основное состояние осциллятора, для которого число осцилляторных квантов п = = 0, а энергия
Е0 = йю/2 (6)
обычно называется энергией нулевых колебаний. Волновая функция этого состояния
^0 (x) =
а
(п)
1/4
exp
(7)
Природа этого состояния чисто квантовая, поэтому, хотя никаких колебаний осциллятора нет (так как п = 0), энергия состояния не обращается в нуль. Это связано с тем (см., например, [1, 2]), что мы пытаемся ограничить координату частицы малой величиной Ах = 1/^а. Тогда в силу соотношения (1) неопределенность импульса Ар = й 4а, а энергия Е0 является конечной величиной:
Eo >
h2 а
2m 2m
(Ap )2
hrn 2 .
Можно оценить эту энергию более строго. Произведя фурье-преобразование Ч0(х) (т.е. разложение по собственным функциям оператора импульса), получим вероятность распределения импульса в этом состоянии
\а (р )|2 = —1=ехр пл/ па
Отсюда среднее значение квадрата импульса
, т П ю
<р ) = —,
(8)
(9)
А €х Арг ~ П ру
(13)
А€х (А 8Ш 0) — П 008 0.
(14)
А€А0 — П
(1а)
. 2Я0Э0ГЭ0^ 2 Е
(0) = 0. (2а)
ная энергия") - аналог кинетической энергии в (2). Собственные значения и собственные функции уравнения (2а) определяются (см., например, [9]) равенствами
Еп = Пю( 2п +1), (3а)
(4а) (5а)
среднее значение кинетической энергии
< Т) = П ю/4. (10)
Тогда, по теореме вириала, средняя полная энергия состояния осциллятора
< Е) = 2 < Т) = П ю/2. (11)
2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И КВАНТОВЫЙ МАЯТНИК
Рассмотрим коммутационное соотношение для оператора углового момента и операторов импульса:
€ хр г - РЛ х = — П ру. (12)
Это соотношение приводит [2] к соотношению неопределенности
где ю = 4С/ Я,
Чп (0) = N ехр { —у02/2 } Ьп (у02), где Ьп - полиномы Лагерра, а
у2 = ЯС / П2.
Рассмотрим и в этом случае основное состояние нулевых колебаний с числом квантов п = 0. Энергия нулевых колебаний маятника
Е0 = Пю, (6а)
а волновая функция
Чо(0) = .11 ехр
(7а)
Это состояние также не имеет классических аналогов и является следствием соотношения неопределенности (1а). Поскольку амплитуда колебаний маятника ограничена узким сектором А0 -
- 1/*/у, из соотношения неопределенности (1а) неопределенность его углового момента А€ —П л/у, а энергия является конечной величиной:
Е — (А1)2 _ пл = Пю
2Я
2Я
2
для х-компоненты углового момента и компонент импульса в плоскости гу. Вводя в этой плоскости угол поворота 0, отсчитываемый от оси у, можем записать (13) в виде
Разлагая Ч0(0) в ряд по сферическим функциям
Чо (0) = X ^0 (0),
(76)
(Более строгий вывод и вид (14) можно найти в [8]). Поскольку в соотношениях (12)-(14) можно проводить циклическую перестановку (х ^ у ^ г), мы можем опустить индекс х в (14). Тогда для малых углов 0 < п (т.е. для Арг < ру в (13)) соотношение неопределенности (14) можно записать в виде
получаем когерентную суперпозицию состояний с разными значениями €. При этом вероятность найти каждое состояние € определяется как [9];
= ^ ехр {—
(8а)
в полной аналогии с соотношением неопределенности (1) для импульса и координаты. Продолжая эту аналогию, напишем уравнение для квантового маятника
Тогда средние значения углового момента и его квадрата будут
< /2, < €2)~у ,
средняя кинетическая энергия
< Т) =
П 2 < € 2 ) 2 Я
П ю
2 ,
(9а)
(10а)
Это уравнение - аналог уравнения (2) для кван-
С4-1
тового осциллятора, момент инерции Я маятника -аналог массы т, а первый член (2а) ("центробеж-
а средняя полная энергия нулевых колебаний маятника
< Е) = 2 < Т) = П ю.
(11а)
ь
362
БУНАКОВ, КАДМЕНСКИЙ
3. СЛЕДСТВИЯ ДЛЯ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО И СПОНТАННОГО ДЕЛЕНИЯ
3.1. В соответствии с теорией О. Бора движение делящегося ядра от седловой точки вплоть до точки разрыва идет вдоль оси симметрии системы так, что квантовое число К (проекция углового момента на ось симметрии ядра) остается интегралом движения. Это приводит к тому, что и в момент разрыва направление импульса относительного движения центров тяжести осколков практически совпадает с осью симметрии делящегося ядра. Суммарный (ядерный и кулоновский) потенциал взаимодействия деформированных осколков в точке разрыва имеет вид [5]
=
УР( Я) + / (Я) У 20 (0Я),
(15)
БСои\0'я) = Во + С 0Я2.
(16)
Здесь
Во =
^ Ь + ± ХЯ0 )2( 2^ в2
тг = 1
С =
^ Ят
г = 1
ЗЯ
Ят
9(Я0) 5 я т
Я° и р2 - заряд, радиус и параметр квадруполь-ной деформации г-го осколка, а Ят - расстояние между центрами масс осколков в момент разрыва.
Из выражения (16) видно, что кулоновский барьер ограничивает импульс относительного движения осколков (т.е. направление Я) узким конусом 0Я ^ 1 в окрестности оси симметрии делящейся системы. (Это явление аналогично случаю альфа-распада деформированных ядер, где, как известно, кулоновский барьер облегчает испускание альфа-частиц с "носика" ядра). Поэтому в точке разрыва Я = Ят мы можем описывать относительное движение осколков по угловой переменной 0Я уравнением (2а), в котором 0 = 0Я, а
момент инерции "гантели" из двух осколков имеет
2
вид $ = |Ят, где | - приведенная масса двух осколков. Как отмечено в [10], из экспериментально подтвержденного закона сохранения квантового числа К следует, что делящаяся система в точке разрыва не может быть нагретой, поэтому (см.
также [9]) энергия угловых колебаний ее должна быть минимальна и именно основное состояние (7а) уравнения (2а) будет заметно заселяться при делении. Поскольку в таком состоянии направление импульса относительного движения осколков максимально ограничено узким конусом вокруг оси симметрии, само это состояние является суперпозицией (76) состояний с различными орбитальными моментами Ь относительного движения осколков. Средние значения этих орбитальных моментов определяются формулами (9а).
Именно такой механизм "накачки" орбитального момента и был рассмотрен в [5], для средних значений его получаются величины порядка
<Ь>« 12И -17П.
(17)
где Ур(Я) и/(Я) - монопольная квадрупольная части этого взаимодействия, Я - радиус-вектор, определяющий расстояние между центрами масс осколков, 0Я - угол относительно оси симметрии делящегося ядра. Этот потенциал образует кулоновский барьер вида
Кажется парадоксальной разница этой оценки с ожидаемым в классической механике значением Ь ~ 0. Эта парадоксальность объясняется чисто квантовой природой состояния нулевых колебаний (7а) и соотношения неопределенности (2а), из которого оно следует.
Следует отметить, что нулевые колебания, описываемые уравнением типа (2а), рассматривались еще в [9]. Однако там речь шла об "изгибных" колебаниях делящегося ядра, угол 0 определял положение оси симметрии одного осколка относительно оси симметрии делящегося ядра, и соответствующий этому углу канонически сопряженный угловой момент € определял коллективную составляющую "внутреннего" спина Iг этого осколка. Соответственно этому, момент инерции $ и параметр жесткости С в уравнении (2а) отличались от [5].
Сам термин "ориентационная накачка спина" был введен в [3]. Однако здесь накачка спина осколка генерировалась одночастичным движением нуклонов в деформированном осколке, ось которого ориентирована по оси симметрии делящегося ядра. Уравнение вида (2а) приводилось лишь как аналогия микроскопического механизма, рассматриваемого авторами [3]. В более детальной работе [4] это уравнение даже не упоминалось. Авторы [4] оценивают величины внутренних спинов осколков "до 7й и выше". При этом авторы не делают оценок орбитального момента Ь и рассматривают только специальный упрощенный случай Ь = 0.
В работе [5] оценка суммарного внутреннего
спина осколков I = 11 + 12 проводится более простым образом. Поскольку потенциал взаимной поляризации осколков (15) скалярен (т.е. не меняется при поворотах и отражениях всех трех осей координат), он не может изменить полного спина
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.