МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Г.Т. ТАРАБРИН
ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ, ТРАНСФОРМИРУЕМОЙ В КРУГЛУЮ ПЛАСТИНУ
При внешнем силовом воздействии на оболочку, сопровождающимся изменением ее кривизны, возможен такой вариант деформированного состояния, при котором оболочка принимает форму пластины. В рамках физической и геометрической линейности предлагается решение осесимметрич-ной задачи о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки вращения, преобразованной в круглую пластину.
1. Введение. Рассматриваемое явление достаточно широко распространено в практике. Примером тому служит пружинящая шайба в форме пологого усеченного конуса: будучи сжатой поперек, она превращается в круглую кольцевую пластину, находящуюся в напряженно-деформированном состоянии с осевой симметрией. Другой пример. Исходные составляющие в виде пленок и тонких пластин, используемые в слоистых композиционных материалах, часто имеют дефекты, представляющие собой изогнутости в форме локальных выпуклостей. В процессе изготовления композита эти неровности сглаживаются, что приводит к возникновению локальных очагов предварительно напряженного состояния, моделируемого пологой оболочкой вращения, трансформированной в пластину.
2. Постановка задачи. Пологая оболочка вращения замкнутого очертания подвергается деформированию, в результате которого она превращается в круглую пластину. Деформирование оболочки осуществляется или путем поперечного сжатия параллельными абсолютно жесткими штампами, или воздействием осесимметричных усилий, приложенных к свободному краю оболочки, направленных параллельно плоскости основания.
Принимается, что материал оболочки остается изотропно упругим в течение всего процесса деформирования.
Деформации пластины, в которую превращена оболочка, предполагаются достаточно малыми, чтобы геометрическая сторона задачи могла быть описана в рамках линейной теории.
Ставится задача исследовать напряжения и деформации пластины в этом состоянии.
3. Основные уравнения. Задачу будем решать в два этапа. На первом этапе силы действия штампов на пластину и изгибающие моменты в ней в выровненном состоянии не учитываются. На втором этапе эти факторы будут учтены.
Остановимся на основных уравнениях первого этапа.
3.1. Геометрическая сторона задачи. Будем рассматривать цилиндрические координаты r, t, z, где r, t - радиальная, тангенциальная координаты, а z - аппликата. Ось z совместим с осью оболочки.
Пусть z = f(r) - неотрицательная функция, определяющая кривую, вращением которой вокруг оси z очерчена оболочка. Будем полагать, что она непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка включительно. Это означает, что оболочка не имеет разрывов, изломов и сопряжений элементов поверхностей разной кривизны.
Пусть dl - линейный элемент оболочки по направлению ее меридиана. Смещение элемента dl в процессе его укладки на координатную плоскость (rt) можно разложить на две составляющие (фиг. 1).
dl
dr
u + u'dr
Фиг. 1
Первая составляющая - движение всех точек элемента й1 перпендикулярно оси т, в результате чего его длина укорачивается и становится равной йт. Относительная деформация от этого смещения равна
е (т) = {1 + [ /' (т )]2 }-1/2-1 где / '(т) - тангенс угла наклона й1 к оси т.
Вторая составляющая - перемещение точек элемента йт по направлению оси т, описываемое функцией и(т), в результате которого элемент йт также деформируется. Относительная деформация в результате этой составляющей смещения равна и'(т).
С учетом обеих составляющих смещения радиальная и тангенциальная деформации пластины равны
u'( r) + e (r),
u(r)/r
(3.1)
3.2. Физическая сторона задачи. Представляет собой закон Гука при плоском напряженном состоянии, уравнения которого связывают деформации ет, е( с радиальным от и тангенциальным с( напряжениями в осесимметрично деформированной круглой пластине
or = (er + ver) E/(1- v2), ot = (et + ver) E/(1- v2)
(3.2)
где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.
3.3. Статическая сторона задачи. При осесимметричном напряженном состоянии
оГ + (or - ot )/r = 0
(3.3)
Решение задачи. Исключив в уравнении (3.3) напряжения подстановкой (3.2), а потом деформации подстановкой (3.1), получим разрешающее уравнение в перемещениях
т2и"(т) + ти'(т) - и(т) = -(1 - v)те(т) - т2е'(т) Это - неоднородное уравнение Эйлера. Его общее решение и(т) = С1т + С2/т + и(т) где С1, С2 - произвольные постоянные и
и(т) = -(1/2){т|[( 1 - V)е(т)/т + е'(т)]йт - (1/т)|[( 1 - V)е(т) + е'(т)т] тйт}
Возьмем оболочку, имеющую вид усеченного конуса с криволинейной, вообще говоря, образующей. Пусть а, Ь - меньший и больший, соответственно, радиусы ее оснований.
На фиг. 2 изображены варианты естественных краевых условий оболочки, позволяющих найти постоянные интегрирования С1, С2. Стрелками показаны направления действия сил преобразующих оболочку в пластину.
г
r
u
е
r
Фиг. 2
Обозначим
¥( г) - и (г) + V и (г) / г + е (г)
1°. аг(а) = огф) = 0. Края оболочки не закреплены и свободны от воздействия внешних сил. Тогда
г _ а2у(а) - Ъ2у(Ь) г _ а2Ь2[у(а) - у(Ь)] = 2 2 ' С2 = 2 2 (1+ V)(Ь - а ) (1- v)(Ь - а )
2°. и(а) = и(Ь) = 0. Основание оболочки большего радиуса Ь шарнирно прикреплено к краю отверстия в абсолютно жесткой пластине. Внутрь основания меньшего радиуса а вставлен и шарнирно закреплен абсолютно жесткий диск. В этом случае
г _ а и (а) - Ь и (Ь) ^ _ аЬ[ аи( Ь) - Ь1( а)]
С1 = , 2 2 ' С2 - "2 2 Ь - а Ь - а
3°. и (а) = 0, ог(Ь) = 0. Контур основания оболочки большего радиуса Ь является не закрепленным и в момент, когда оболочка превращается в пластину, не загружен. Внутрь основания меньшего радиуса а вставлен и шарнирно закреплен абсолютно жесткий диск. Имеем
22
г _ Ь у(Ь) + ( 1 - V ) аи(а) п _ аЬ [ау(Ь) - (1+ V)и(а)]
С1 - - 2 2 ' с2 - 2 2 (1-V) а + (1+ V)Ь (1-V) а + (1+ v)Ь
4°. и(Ь) = 0, ог(а) = 0. Основание оболочки большего радиуса Ь шарнирно прикреплено к краю отверстия в абсолютно жесткой пластине. Контур основания меньшего радиуса а не закреплен и в момент, когда оболочка превращается в пластину, не загружен
r _ a a) + ( 1 - v ) bU(b)
= - 2 2 '
(1+ v) a + (1-v) b
C = a2 b[b y( a) - ( 1 + v )U ( b ) ] 2 (1 + v) a2 + (1-v)b2
В двух нижеследующих вариантах края оболочки не закреплены. Оболочка превращается в пластину под действием усилий, перпендикулярных ее оси, приложенных к краю одного из оснований.
5°. и(а) = 0, ог(а) = 0. Усилия приложены к краю основания большего радиуса и направлены от оси оболочки
C1 = -
v( a) + (1- v)
U (a)-
C
V( a)-(1+v)
U (a )-
6°. и(Ь) = 0, ог(Ь) = 0. Усилия приложены к краю основания меньшего радиуса и направлены к оси оболочки
C1 = -
¥( b) + (1- v)
U (b)-
C
¥( b) - (1+ v)
U (b )-
Значения усилий ог(Ь) в случае 5° и ог(а) в случае 6°, превращающих оболочку в пластину, можно вычислить по формуле (3.2), используя полученные значения С^ С2.
В первых четырех вариантах оболочка превращается в пластину поперечным сжатием. Эти варианты могут быть реализованы и в оболочках без усечения, т.е. при а = 0. При этом пары 1°, 3° и 2°, 4° вырождаются в единые варианты. Вариант 5° реализуется для оболочек без усечения, когда их очертания удовлетворяют условию Нт[Щг)/г] ф го при г ^ а. Вариант 6° для оболочек без усечения физического смысла не имеет.
5. Выпрямляющая нагрузка и изгибающие моменты. Пусть Н - высота оболочки -расстояние между ее основаниями. Условимся, что большее основание оболочки лежит на координатной плоскости (гГ), так что / (Ь) = 0.
Найдем интенсивность распределенной нагрузки д(г), создаваемой абсолютно жесткими штампами для удержания в выровненном состоянии круглой пластины, в которую трансформируется пологая оболочка вращения. Назовем q(г) выпрямляющей нагрузкой.
Пусть оболочка переведена в форму пластины воздействием сил, параллельных оси оболочки, приложенных только к ее краям. В результате оба края оболочки (оба основания усеченного конуса) лежат на координатной плоскости (гГ) и удерживаются в таком состоянии только за счет краевых сил. Пластина при этом оказывается изогнутой по форме меридиана оболочки (приближенно). Такой изгиб определяется функцией
ъ(г) = /(г) - Н(Ь - г)/(В - а)
которую назовем выпрямляемым изгибом.
Выпрямляющей нагрузкой q(г) (нагрузкой, под действием которой выпрямляемый изгиб исчезает) является нагрузка, противоположно направленная и численно равная нагрузке, создающей прогиб, равный выпрямляемому изгибу, в предварительно неде-формированной пластине.
2
2
0.02
0.01
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
ггУ - 1 ЕУ - 3
еУ - 2 ЕУ - 1
ЕгУ - 3 ЕгУ - 4 /
V - 4 ЕгУ - 2
1
г/Н
3
Фиг. 3
Полагая выпрямляемый изгиб достаточно малым, чтобы можно было остаться в рамках линейной теории упругих тонких пластин, имеем
q (г) = -DAAw (г), А = й2/йг2 + (1/г) й/йг, Б = Ей3/12( 1- V2)
где Б - цилиндрическая жесткость пластины, к - ее толщина. При этом в пластине действуют изгибающие моменты
Мг = (У' + V У/г) Б, И, = (ч? / г + V w") Б
Деформации и напряжения, обусловленные этими моментами, могут быть аддитивно учтены к мембранным их значениям, получаемым на первом этапе решения задачи.
6. Коническая оболочка. Имеет прямолинейную образующую. Деформация е(г) является константой, равной
ео = {1 + [Н/(Ь - а)]2}-1/2-1
Выпрямляемый изгиб отсутствует. Как следствие этого, в трансформированном в пластину состоянии выпрямляющая нагрузка равна нулю. Изгибающие моменты, порождаемые выпрямляющей нагрузкой, также отсутствуют. Действуют только мембранные усилия. При этом
и( г) = -е0( 1- V) г (1п г -1/2)/2
¥(г) = е0 {-(1-V) [(1 + V) 1п г + (1-V)/2]/2 + 1}
Ег. £<
0
er = C1 - C2/r2 + e0[- ( 1- v)(lnr +1/2)/2+1 ] et = C1 + C2/r2 - e0( 1- v)( ln r -1/2)/2
На фиг. 3 в качестве иллюстрации деформированного состояния круглой кольцевой пластины, полученной трансформированием усеченного конуса, показаны графики er, et для первых четырех вариантов краевых условий в случае a/H = 1, b/H = 5 и v = 0.5.
Волгоград Поступила в редакцию 25.10.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.