МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013
УДК 539.214
© 2013 г. М. Я. БРОВМАН
ДЕФОРМИРОВАНИЕ ШАРА С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАРЯДОМ
Рассмотрен процесс симметричного деформирования шара при воздействии гравитации и электростатических сил, из-за влияния которых на материал действуют и силы притяжения, и силы отталкивания. В определенных условиях возможно нарушение устойчивости процесса деформации и разрушение шара.
Ключевые слова: Деформирование шара, электрический заряд, предельное напряжение.
Деформирование шара при симметричном нагружении и постоянной плотности материала рассмотрено в работах [1—3]. В [4] изучено деформирование шара под действием гравитации и внешнего давления с учетом возрастания плотности при сжатии. Рассмотрим деформирование шара с электрическим зарядом, равномерно распределенным по его объему.
На малый элемент в сферических координатах (г, 9, ф) массой т^ — ргйгй®йф с электрическим зарядом е1 — ег2йг&йф (фиг. 1) действует сила притяжения к центру шара со стороны сферического слоя радиусом z ^ г толщиной йг, равная = (т2/г2)8т1, где т2 — 4пz2pйz (фиг. 1), а также сила отталкивания, равная согласно закону Кулона, Р2 = е1е2/(4пББ0г2), где е2 — 4я^2ей^
Здесь р — плотность материала шара, г — координата, (расстояние от центра шара), е — плотность электрического заряда, 8 — гравитационная постоянная, б — диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума б — 1), б0 — диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная).
Рассматривая аналогично [4] уравнение равновесия и обозначив перемещение точек поверхности шара иг = —и0Я, где и0 — безразмерная характеристика общей деформации, определяем напряжения и перемещение
°г 1 - 2 V'
- Р --
Ста =
а ( 3 - V )
1 - 2 V
2(1 - v)( 1 - щ)
1 - -
Я2(1 - «о)2,
- Р --
2(1 - v)( 1 - «о)
3 - V - г2 ( 1 + 3 V ) . я2 (1 - "о Л
(1)
"т = - ЛГ -
а ( 3 - V ) г
а(1 + V)г
30(1 - v)( 1 - и0)4 30(1 - v)( 1 - и0)6
(2)
и0 (1 - и0) = а + Р1( 1 - и0)
+
Фиг. 1
В эти формулы входят два безразмерных параметра, один из которых P1 характеризует отношение внешнего давления P к модулю упругости
Pi = f(1 - 2v)
а второй — соотношение интенсивности массовых сил и жесткости материала
а = ÍL-Ш-(4nSp2 - 4) (3)
15E v бб0)
Влияние электростатических сил можно оценить аналогично влиянию гравитации, заменив постоянную 8 величиной (4пбб0)-1, и приняв их со знаком минус, поскольку заряды одного знака не притягиваются, а отталкиваются.
Кроме того, у — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости, р0 и е0 — номинальные величины плотности массы и электрического заряда.
Если обозначить для шара массой М с электрическим зарядом Е0р0 = 3M/(4nR3), е0 = 3E0/(4nR3), то получим из формулы (3):
а = 0 • 048 ( 1 - 2Y)(sM2 - OOE-J (4)
ER4 v eeo J
Имеем а = 0 и, если
Eo /M = 3.53 VSÜO (5)
то происходит уравновешивание сил притяжения и отталкивания. Например, если 8 = 6.68 • 10-11 м3/(кг • с2), б0 = 8.85 • 10-12 Кл2/Н • м2, s = 7 (для материала текстолита), то E0/M = 2.27 • 10-10 Кл/кг.
График зависимости u0(a) при Р1 = 0 приведен на фиг. 2, причем величина а может быть и положительной и отрицательной.
При а = 0.105 достигается критическая точка где du/da ^ да, и деформирование становится неустойчивым.
М.Я. Бровман
Фиг. 2
Если Р1 = 0 и преобладает влияние электрического заряда, то в центре шара имеет место всестороннее растяжение. Напряжения равны
Стг = Ст0 = Ст^ =
Е ( 3 - V ) а = 1.875 • 10-2 ( 3 - V ) е2 2 (1 - 2 V ) ( 1 - V ) я 2 ( 1 - V ) ее 0 Я4
Если для упругого материала разрушение происходит без остаточных деформаций при напряжении ст0, то определим предельный электрический заряд E0m, который может иметь данное тело.
Еот = 22.9Я2 ( 1 ^Стоеео, V = 0.3; Еот = 11.66Я2Л/ст0ёё0
Ч(3 - V)
(6)
Например, при ст0 = 109 Н/м2, б = 1, б0 = 8.85 • 10-12 Кл/Н • м2, R = 0.1 м;
E0m = 11.66 ■ 10-2 л/109 • 8.85 • 10-12 = 1.1 • 10-2 Кл.
При этом допускается равномерное распределение электрического заряда по всему объему шара.
Если весь электрический заряд не распределен равномерно, а находится на поверхности твердого тела, то это эквивалентно его растяжению напряжениями стг0 при г = r. Напряжения в центре шара равны:
Стг0 = Е0/(32 Я2 Я4 ее0)
Приняв эту величину равной предельному напряжению ст0, определим максимальный заряд
Е{)т = 5.66я Я2Л/СТ)ёё0 (7)
Сравнение с формулой (6) показывает, что поверхностное распределение заряда допускает его более высокую величину. Здесь не рассматривается возможность несимметричного разрушения, которое может иметь место и при меньших величинах заряда.
Согласно формуле (6) предельный заряд существенно зависит от размеров шара. Например, существование шара радиусом 10-15 м с зарядом 1.6 • 10-19 Кл (это — заряд протона) возможно при ст0 > 2.12 • 1035 Н/м2. Однако, при столь малых размерах использование формул, основанных на классической механике Ньютона, недопустимо.
Существование твердых тел со значительным электрическим зарядом возможно только при достаточно высокой прочности их материала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.
2. ЛурьеА.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.
3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
4. Бровман М.Я. Упругопластическая деформация шара при симметричном нагружении // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 3. С. 117-125.
Тверь Поступила в редакцию
E-mail: brovman@mail.ru 10.07.2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.