ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 4, с. 386-394
УДК 532+536
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА, ОЛДРОЙДА И ИХ ОБОБЩЕНИЙ
© 2013 г. А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин*
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва *Московский государственный машиностроительный университет polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 14.11.2012 г.
Описан новый точный метод построения решений трехмерных нестационарных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей общего вида, основанный на декомпозиции их на несколько более простых уравнений. Приведены формулы, позволяющие выразить решение соответствующих систем (состоящих из четырех связанных уравнений) через решения двух независимых уравнений. Для иллюстрации широких возможностей предложенного метода рассмотрены наиболее распространенные реологические модели вязкоупругих жидкостей. Предложена новая дифференциально-разностная модель вязкой жидкости с постоянным временем релаксации, которая дает конечную скорость распространения возмущений и хорошо согласуется с дифференциальными моделями вязкоупругих жидкостей Максвелла и Олдройда. Исследованы осевые движения вязкоупругих жидкостей и приведены решения некоторых гидродинамических задач.
Б01: 10.7868/8004035711304009Х
ВВЕДЕНИЕ
При моделировании гидромеханических процессов химической технологии для описания течений вязкой несжимаемой жидкости в разнообразных технологических устройствах, а также для расчета движения тел разной природы и формы в таких жидкостях широко используются уравнения Навье—Стокса и Стокса (см., например, [1—7]). Поскольку точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости играют важную роль в формировании правильных представлений о качественном характере течений, они изучались весьма подробно. Различные классы точных решений нестационарных уравнений На-вье—Стокса рассматривались, например, в [7—13].
Однако возможности применения уравнений Стокса и Навье—Стокса в химической технологии имеют существенные ограничения. Так, в частности, многие химико-технологические среды проявляют реологические свойства, отличные от присущих ньютоновским жидкостям. Например, некоторые суспензии и эмульсии, растворы и расплавы полимеров, нефть и некоторые нефтепродукты, масла в условиях эксплуатации при высоких температурах, водные растворы крахмала и продуктов на его основе, гели, жидкие шла-мы проявляют при движении вязкоупругие неньютоновские свойства, для учета которых предложены многочисленные математические модели (см., например, [14—16]). Более того, даже обычные жидкости, подобные воде, обнаруживают
вязкоупругие свойства в условиях, когда определяющими факторами являются вязкость и сдвиговая упругость, а сжимаемостью среды и температурными неоднородностями можно пренебречь [17].
Уравнения Стокса и Навье—Стокса содержат оператор параболического типа по времени и приводят к бесконечной скорости распространения возмущений. Подобная ситуация не наблюдается на практике. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и в теории тепло- и массо-переноса. Классические уравнения теплопроводности (диффузии) являются линейными уравнениями параболического типа, которые также приводят к физическому парадоксу — дают бесконечную скорость переноса тепла (массы). Для устранения указанного недостатка используют гиперболические уравнения теплопроводности [18—23], которые характеризуются наличием дополнительного члена, пропорционального второй производной по времени. Гиперболические уравнения теплопроводности приводят к конечной скорости переноса тепла.
В настоящее время имеется целый ряд работ (см., например, [24—28]), в которых сделаны попытки устранить указанные недостатки уравнений Навье—Стокса. Основная идея — использовать для описания движения вязкоупругой несжимаемой жидкости уравнения с оператором гиперболического (или другого) типа, которые дают конечную скорость распространения возмущений.
В данной работе будут рассмотрены различные реологические модели вязкоупругих несжимаемых сред. Показано, что для медленных течений, когда можно пренебречь конвективными слагаемыми, уравнения движения для разных вязко-упругих сред могут быть записаны в едином операторном виде, где форма оператора определяется реологическим уравнением состояния. Предложен новый точный метод построения решений соответствующих систем уравнений, заключающийся в декомпозиции этих систем на несколько более простых уравнений. Описана новая дифференциально-разностная модель вязкоупругой жидкости с постоянным временем релаксации, которая дает конечную скорость распространения возмущений. В качестве примеров будут рассмотрены осевые течения вязкоупругих сред с постоянным временем релаксации и приведены решения некоторых гидродинамических задач.
РАЗЛИЧНЫЕ РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
Будем рассматривать вязкоупругие жидкости, которые на малых временах ведут себя как твердые тела, а при больших — как вязкие жидкости. Ограничимся анализом линейных моделей, описывающих медленные движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей.
В общем случае медленные движения несжимаемой сплошной среды в декартовых координатах хь х2, х3 описываются уравнениями [29, 30]
3
ды, _ vдay ,._
дг
Е^,,
д ^
3
1,2,3,
Шу и = Е-,- = 0,
лдх--=1 -
(1)
(2)
где и 1 — компоненты вектора скорости среды и, а, — нормированные (отнесенные к плотности р) компоненты тензора напряжений, вид которых определяется реологической моделью среды, I — время.
Для классической модели вязкой ньютоновской жидкости [3—9] нормированные компоненты тензора напряжений определяются как
а-- = -р6- + Ъе-,
е- = 2
ды1 + ды-
\дх-
дх,
(3)
1 /
ского типа (см., например, [14—16, 31—37]) — приводит к одинаковому соотношению
д<-
дг
= -Фа + 2vei¡,
(4)
где т = ц/О — время релаксации, О — модуль сдвига, ц - динамическая вязкость жидкости. При т = 0 соотношение (4) переходит в (3).
Продифференцируем (4) по х, а затем просуммируем по у. Учитывая (1), получим уравнения движения жидкостей максвелловского типа
д ы, д Ы: др , л • 1 -> о х—2 + — =——+ vДы, I = 1,2,3, дг дг дх1
(5)
которые надо дополнить уравнением неразрывности (2). Здесь А — оператор Лапласа.
Замечание 1. К уравнениям (5) приводит также линеаризация уравнений для некоторых других моделей жидкости [24, 27, 38].
В общем случае линеаризованное уравнение состояния любой изотропной вязкоупругой среды можно записать в виде
М[а„] = -рЪ+ К[е-], (6)
где М и К — линейные операторы по переменной I. Обычно М и К — дифференциальные операторы, однако они могут быть также интегродифферен-циальными и дифференциально-разностными.
В таблице приведены примеры конкретных линейных операторов, определяющих уравнение состояния (6), которые используются в различных моделях вязких и вязкоупругих жидкостей.
Замечание 2. Дробная производная порядка 0 < q < 1 определяется как [46]
Л) -
1 ¿Г /(?)
Г(1 - д)¿г ¿(г - з)
Г/
' (г -
где Г(г) — гамма-функция. В первом столбце последней строки таблицы стоит величина, взятая со сдвигом по времени при I + т.
Используя (1), (2) и реологическое уравнение состояния (6), получим уравнение движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей общего вида, которое в компонентах вектора скорости представляется в форме
где р — нормированное (отнесенное к плотности) давление, V — кинематическая вязкость жидкости, ву — компоненты тензора скоростей деформации, 8у — символ Кронекера.
Линеаризация реологических уравнений состояния для простейших моделей вязкоупругих жидких сред — различных моделей максвеллов-
цЩ] = , ад = , ад = Нг,
дх1 дх2 дх3
IX», ды2 ды3 „ —1 + —2 + —3 = 0,
(7)
ды1
дх1 дх2 дх3
где оператор Ь выражается через операторы Ми К следующим образом:
Ды] = д М [ы] -1А К [ы] = М
дг 2
ды
1_д г J
-1К [А ы].
(8)
Реологические модели вязкоупругих жидкостей (нижний индекс "?" означает производную по времени)
№ п/п Оператор М[а] Оператор К[е] Реологическая модель среды Ссылки
1 2 3 4 5 а а + та, а + та, а +а1а( + а2<з„ а + а1о< + а2С„ 2\е 2\е 2уе + 2уе + Ье, 2ve + Ь1е, + Ь2еп к 2ve + X Ь„е|"] Ньютона Максвелла Олдройда Бюргерса Бюргерса обобщенная [3-9] [14-16, 31-34] [14, 15, 31, 33] [39, 40] [40]
6 т а + X ап°["] Общая дифференциальная
7 п=1 а + ао,?] п=1 2уе + Ье[] С дробными производными порядков q и г [41-43]
8 а 1 2уе + а |ехр[-Х(г - 5)]е\( о Интегродифференциальная Олдрой- да [37, 44]
9 а 1 2уе + |- 5) е, о Интегродифференциальная с разностным ядром [44]
10 а 2ve + | 5) е, о 2уе Интегродифференциальная с произвольным ядром [45]
11 °1,+т Дифференциально-разностная
ОПИСАНИЕ МЕТОДА. НЕСИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
Решение системы (7) ищем в виде
_ дф _ дф
_ дф
1 , 2 • + П, щ = — + С, (9)
дх1 дх2 дх3
где функции ф = ф(хь х2, х3, 1), п = п(х1, х2, х3, 1), С, = С(х1, х2, х3, 1) и давлениер = р(х1, х2, х3, 1) будут определяться в ходе дальнейшего анализа. Первое уравнение (7) с учетом (9) можно записать в виде
(ДФ] + р) = 0.
дх1
(10)
Интегрируя (10) по х1, получим выражение для давления
р = -Дф] + у(Х2, Хз, ,), (11)
где у = у(х2, х3, 1) - произвольная функция. Подставив (9) и (11) во второе и третье уравнения (7), имеем два независимых уравнения для определения функций п = п(х1, х2, х3, 1) и ^ = С(х1, х2, х3, 1):
т = , дд = .
дх2 дх3
(12)
Из последнего уравнения (7) с помощью (9) находим уравнение для псевдопотенциала ф:
дх2
.дк.
дх3
(13)
псевдопотенциал ф — уравнением Пуассона (13). В формулу (11) и уравнения (12) входит произвольная функция трех аргументов у = у(х2, х3, 1).
Покажем, что с помощью переопределения функций ф, п, С функцию у можно положить равной нулю. Действительно, выражения (9), (11) и уравнения (12), (13) преобразуем по формулам
Ф = Ф + Фо, п = П + По, С = С + С0, (14)
где функция ф0 = ф0(х2, х3, 1) описывается уравнением
Д<Ро] = V, (15)
а функции По = По(х2, х3, 1), Со = Со(х2, х3,1) определяются по формулам
п _ дФо г _ дФо Ло _ , Цо _ .
(16)
дх2 дх3
В результате преобразования (14) с учетом (15) и (16) получим формулы (9), (11) и уравнения (12), (13)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.