РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 54, № 5, с. 604-610
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ
УДК 621.382.82
ДИАГНОСТИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИОДА
© 2009 г. В. Н. Бирюков, А. М. Пилипенко
Поступила в редакцию 06.07.2004 г.
На примере моделирования полупроводникового диода рассмотрены основные проблемы нелинейного программирования - жесткость задач и быстрое падение точности оптимизации с ростом размерности минимизируемого функционала. Для их решения в задачах диагностики (параметрической оптимизации) предложена редукция размерности задачи численной оптимизации и синтез полуфизических моделей.
ВВЕДЕНИЕ
Одна из задач теории цепей - определение параметров моделей элементов по измеренным характеристикам реального элемента - приобрела в отечественной литературе статус самостоятельного раздела совсем недавно [1]. Отметим, что речь идет именно о параметрах моделей, а не о параметрах элементов, так как каждый реальный элемент цепи имеет множество моделей. Современная методика идентификации параметров моделей использует численные методы нелинейного программирования (оптимизации). К сожалению, "известные трудности" [2] применения этих методов приводят, например, к тому, что на практике реализация потенциальной точности модели полевого транзистора, стандартными средствами программы SPICE, не гарантируется [3]. Утверждение, что "универсального метода оптимизации не существует" [4], основывается на том факте, что "широко известные методы минимизации оказываются в лучшем случае малоэффективными для подавляющего числа практических задач" [5]. Трудности оптимизации связывают в первую очередь с появлением "оврагов", характеризующихся наличием некоторой области притяжения,
в которой норма вектора-градиента минимизируемого функционала Q'(x) существенно меньше, чем в остальной части пространства. Практически все методы оптимизации позволяют достаточно быстро попасть в область притяжения из начальной точки, но далее процесс спуска резко замедляется и останавливается в некоторой точке, расположенной не обязательно вблизи точки истинного минимума. В работе [5] утверждается, что "полученные таким образом точки из-за схожести ситуаций часто ошибочно трактуются как точки локальных минимумов, которые встречаются значительно реже, чем об этом принято говорить".
К сожалению, последнее утверждение относится в основном к тестовым задачам, в которых исходные характеристики моделируемой цепи известны точно. Поскольку на практике характеристики полупроводниковых приборов измеряются с погрешностью, намного превышающей погрешность представления чисел в компьютере, на дне овражной структуры наблюдается цифровой шум (рис. 1). В результате недифференцируемости Q(x) вблизи дна оврага потенциальная минимальная погрешность метода наименьших квадратов (10-й/2, й - число используемых десятичных
Q(X) - бми
1 х 10-13г
5 х 10-14
Q00 - ^ин
-11 х 10-9
-5 х 10-10
-4 х 10-7 -2 х 10-7
0
X J
2 х 10-7 4 х 10-7
Рис. 1. Профиль минимизируемого функционала вдоль Q(x) и поперек Q(y) оврага, вычисленный по данным работы [5, табл. 4]; п = (д^/ду2)/(д^/дх2) = 23 х 103.
разрядов) не может быть реализована, причем программы компьютерной математики, использующие численное дифференцирование, оказываются наименее точными. Фактически эффективность программ решения задачи оптимизации падает не с увеличением размерности задачи [6], а с увеличением ее жесткости п (отношения максимального и минимального собственных чисел матрицы Гессе), которая, как правило, растет с увеличением размерности. Отметим, что в условиях множественности нелинейных моделей компонентов цепей, обладающих разным числом параметров, проблемы точного определения параметров и определения точности модели оказывается взаимосвязанными.
Ниже рассматриваются вопросы диагностики, связанные с высокой жесткостью нелинейных моделей компонентов цепей. В качестве примера выбрана статическая модель р-я-перехода, но те же вопросы авторам приходилось решать и при моделировании других компонентов [7-9].
1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ
Наиболее распространенной статической моделью полупроводникового диода, используемой во всех БРГСЕ-подобных симуляторах, является схемная модель, состоящая из линейного сопротивления Я, включенного последовательно с управляемым собственным напряжением источником тока, который моделирует режимы слабой и сильной инжекции [10]. Ток источника описывается выражением
г = и
ехр
N фт
- 1
(1)
1КЕ
К + ^[ ехр (и/Nфг) - 1 ]'
где первый сомножитель - модель идеального диода Шокли, ¡3, фт и N - ее параметры: начальный ток, термический потенциал и эмпирический коэффициент соответственно, 1ке - ток, соответствующий переходу от режима слабой инжекции к сильной. Нередко, особенно для моделирования дискретных диодов, используется упрощенная модель (далее - БРГСЕО-модель), в которой пренебрегают эффектами сильной инжекции, для чего полагают 1КЕ =
К недостаткам этой модели, перечисленным в [11], следует добавить следующее.
1. Ток диода растет медленнее, чем по экспоненте, как вследствие влияния последовательного сопротивления, так и перехода к режиму сильной инжекции. Одинаковый характер влияния двух факторов приводит к плохой обусловленности модели, что проявляется в сильной зависимости значений определяемых экспериментально
параметров от диапазона выбранных токов, точности измерений и процедуры экстракции параметров.
2. При экстракции параметров методом наименьших квадратов наблюдается плохая повторяемость результатов при изменении начальных условий процедуры экстракции, что объясняется, с одной стороны, высокой жесткостью задачи численной оптимизации, а с другой - неустранимой погрешностью, связанной с необходимостью численного (приближенного) расчета тока диода, вследствие чего увеличивается цифровой шум на дне минимизируемой функции.
Строго говоря, указанную модель следует считать полуфизической, так как а) при моделировании диодов, изготовленных из широкозонных полупроводников, в показатель экспоненты модели идеального диода вводится эмпирический коэффициент, б) переход от режима слабой инжекции к сильной описывается эмпирической зависимостью, в) допущение о линейности последовательного сопротивления принято без обоснования (известна модель нелинейного сопротивления с дополнительными эмпирическими параметрами [12]). Фактически модель имеет только два безусловно физических параметра - начальный ток и термический потенциал, - температурные зависимости которых считаются известными. Остальные параметры считаются независимыми от температуры или эти зависимости аппроксимируются эмпирически.
Известна компактная статическая модель пря-мосмещенного р-я-перехода для режима слабой инжекции, уточняющая модель Шокли следующим образом:
г = /5[ехр(и/ф) -1 ][ 1 + а4(и/ф)4 + а8(и/ф)8],
(2)
где ф = NфT; а4 и а8 - малые эмпирические параметры (|а8| |а4| 1) [13].
Второй сомножитель в (2) - быстросходящийся степенной многочлен - фактически аппроксимирует ошибку модели Шокли (первого сомножителя). Выбор высоких степеней аргумента в используемом полиноме объясняется необходимостью уточнения модели идеального диода только в режиме больших токов. На практике уже один член степенного ряда обеспечивает точность, соизмеримую с точностью БРГСЕО-модели [14], поэтому далее рассматривается только этот случай.
Если входящую в (2) модель Шокли заменить моделью (1), то получим новую компактную модель, учитывающую режим сильной инжекции, в виде
г = 18[ехр(и/ф) - 1 ] х
'КЕ
К + 4 [ ехр (и / ф) - 1 ]
4 (3)
[ 1 + а4(и/ф) ].
х
х
х
флок, мВ
Рис. 2. Зависимость локального значения параметра ф от смещения: диод МиЯЭ315 (а), диод РЯ102 (б).
Модель, учитывающую оба типа инжекции, можно получить и в другом виде
Г (3 и + ик Г~ (и - ик\2\ 1 ' = '{[-4фТ + (Х (4)
х [ 1 + а4(и/ф)4],
где ик = Мфт\п[(1кр/15) + 1] - напряжение смещения, соответствующее переходу от режима слабой инжекции к сильной [15]. Зависимости ¿(и), рассчитанные согласно (3) и (4), практически совпадают, но модель (3) линейна относительно только одного параметра, а4, а модель (4) - относительно двух, а4 и 18, что, как будет показано ниже, существенно влияет на точность и скорость экстракции параметров.
2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
Для определения параметров моделей в работе применялся метод наименьших квадратов. В качестве минимизируемой функции использовалась сумма квадратов относительных погрешностей в каждой точке вольт-амперной характеристики (ВАХ):
N N
й = £{[((ик)/ 1к] -1}2 = ^(5,к)2, (5)
к =1 к =1
где {¿к, ик}, к = 1, 2, ..., N - экспериментальные значения ВАХ диода. Токи и напряжения измеряли с четырьмя точными знаками. Верхняя граница выбираемого диапазона ограничивалась допустимым нагревом активной области прибора не более двух градусов. Для определения нижней границы диапазона определяли зависимость от смещения локального значения флок модели Шокли для двух экспериментальных значений ¿(и): ¿к, ик и ¿к + 1, ик + 1. При наличии начального падающего участка зависимости флок(и), определяемого доминирующей генерационно-рекомбинационной
составляющей тока, соответствующий участок ВАХ (для учета которого используется отдельная модель) исключали из рассмотрения. Ниже в качестве примера определены параметры двух диодов, имевших наименьшую и наибольшую из определявшихся вариации флок(и). В первом случае ВАХ предположительно соответствовала режиму слабой инжекции, во втором - сильной (рис. 2).
Результаты моделирования представлены в табл. 1 (диод МИЯБ315) и табл. 2 (диод БК102), где а - среднеквадратическая погрешность моделирования. Для повышения достоверности качества моделирования приведена максимальная относительная погрешность |5|макс. Численный спуск проводился методом первого порядка, обеспечивающим число точных значащих цифр решения до половины используемой разрядной сетки (разное число значащих цифр, приведенных в таблицах результатов, объясняется разными свойствами моделей). Неявные уравнения I = Ди) решали методом Ньютона, причем останов итераций осуществляли по правилу Гарвика, что гарантировало погрешность не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.