УДК 534.113
ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОЛОСТИ В ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ БАЛКЕ
A.M. Ахтямов, А.Р. Каримов
Рассмотрена балка с поперечным сечением в виде полого прямоугольника. Предложен метод, позволяющий вычислить размеры полости балки по двум собственным частотам изгибных колебаний, взятым из разных спектров. Данные спектры принадлежат колебаниям в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, которые выбраны таким образом, что в обоих случаях нейтральная линия поперечного сечения параллельна сторонам. Изучена зависимость собственной частоты от параметров полости. Доказано, что значения частот рассматриваемой и идентичной балки сплошного сечения не совпадают ни при какой величине полости, у первой из них значения собственных частот всегда выше, чем у второй.
Ключевые слова: неразрушающий контроль, собственные частоты, изгибные колебания, балка.
ВВЕДЕНИЕ
Задача, решаемая в настоящей работе, связана с акустической диагностикой и обратными задачами математической физики. Рассмотрена призматическая балка с полостью, проходящей по всей ее длине. Оба конца балки жестко защемлены.
На практике данная схема (ее наиболее распространенный частный случай) встречается в металлоконструкциях, где в качестве бруса используются трубы прямоугольного сечения. Основное преимущество этого вида труб заключается в высокой прочности на изгиб, как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях при малой массе. По этой причине прямоугольные и квадратные профильные трубы широко используются при строительстве высотных зданий, стадионов, складов, эстакад мостов, подъемников, кранов, промышленных зданий, для прокладки кабеля.
Одним из характерных дефектов рассматриваемой балки является ослабление поперечного сечения вследствие истирания или коррозионного повреждения металла. Определить техническое состояние элементов конструкции можно, проанализировав спектры собственных частот их колебаний. Данный вариант диагностики особенно удобен, так как внутренняя поверхность (в некоторых случаях и внешняя) рассматриваемого в статье бруса недоступна для визуального осмотра.
Применение вибродиагностики также актуально в случае изменения условий эксплуатации механической конструкции.
Статья отличается от традиционных работ [1—10] тем, что для восстановления искомых размеров используются не спектры одного вида колебаний с различными условиями закрепления, а спектры двух изгибных колебаний (в разных плоскостях) с неизменными условиями на краях. Показано, что значения ширины и высоты полости балки, проходящей по всей длине стержня, однозначно идентифицируются по двум собственным частотам, взятым из разных спектров. Исследовано также поведение собственных частот изгибных колебаний балки в зависимости от размеров полости. Доказано, что частоты балки с полостью и сплошной балки не совпадают ни при каких значениях b и h.
Азамат Мухтарович Ахтямов, доктор физ.-мат. наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института механики Уфимского научного центра РАН (ИМех УНЦ РАН). Тел. (927) 923-73-51; (347) 229-96-36. E-mail: akhtyamov@mail.ru
Азат Ринатович Каримов, аспирант факультета математики и информационных технологий Башкирского государственного университета. Тел. (903) 312-64-47. E-mail: azat7777@list.ru
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ БАЛКИ С ПРОДОЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ
Поперечное сечение балки имеет форму полого прямоугольника (рис. 1). Через В и Н обозначены ширина и высота балки, через Ь и к — соответствующие размеры полости, а через у и г — оси поперечного сечения.
Рис. 1. Поперечное сечение полой балки.
Через Е, /у, ]г, юу, ю2 (г = 1, 2, ...) обозначены соответственно площадь поперечного сечения, моменты инерций и собственные частоты изгибных колебаний (вокруг осей сечения у и г) полой балки. Через Е*, ]*, ]*, юу*, юг* обозначены аналогичные параметры сплошной балки. Рассматриваемые стержни имеют одинаковые модули упругости Е и плотности р.
Уравнение изгибных колебаний стержня с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид [11]:
Е1 ЭЧм) ЭМ.М) = 0, дх дг
(1)
где и(х, г) — прогиб текущей оси стержня; Е — модуль упругости; р — плотность; Е — площадь поперечного сечения; ] — момент инерции сечения.
Уравнение (1) решаем методом разделения переменных. Временный множитель выделяем путем подстановки и = у(х)еоъюг, что для балки с постоянными по длине параметрами приводит к [11]
у(4)(х) = Х4у(х), (2)
где
^4 =
рЕю2 Е]
(3)
ю — частотный параметр. Стержень заделан на обоих концах, следовательно, краевые условия имеют следующий вид:
у(0) = 0; у'(0) = 0; у(1) = 0; у'(0 = 0. (4)
Решив систему из (2) и (4) получаем частотное уравнение
еИ^/ -оо^Х! = 1. (5)
Одна из задач — определение значения параметров Ь и к, при которых выполняется соотношение юу/юу' = 1 или ю7ю2' = 1, то есть проверить, могут ли совпадать спектры собственных частот изгибных колебаний сплошной балки и балки с полостью. Учитывая (3), соотношения можно переписать как
.1* .1
(6) (7)
т у
у .у __У,
Г * _ Г
Т*
2 .2 _ 2
Г * ~ Г
ПРОВЕРКА НА ВОЗМОЖНОСТЬ СОВПАДЕНИЯ СПЕКТРОВ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СПЛОШНОЙ БАЛКИ
И БАЛКИ С ПОЛОСТЬЮ
Моменты инерций сплошной балки и балки с полостью [12]:
Т = Нг • <8)
1, = ' (9)
у 12
вокруг оси у;
т = — • (10)
2 12
1 = ВН3 - Ьк3 (11)
— вокруг оси г, а площади их поперечных сечений
Г* = ВН, (12)
Г = ВН - Ьк. (13)
Решив (6) относительно Ь, получим три корня, ни один из которых не лежит на интервале (0, В), уравнение (7) также не имеет решений на интервале (0, Н). Отсюда следует, что собственные частоты изгибных колебаний, вокруг осей у и г, балок с полостью и без полости не совпадают ни при каких значениях Ь и к.
Рассмотрев формулу
ЕТ *
1 А? =
Ы_ 1
ЗАВИСИМОСТИ ОТНОШЕНИЙ /юу И ю-2 /ю-2' ОТ ШИРИНЫ ПОЛОСТИ Ь
ю у
2 Дефектоскопия, № 3, 2013
где г = 1, 2, ..., заметим, что отношения юу/юу*, ю7ю2* не зависят от г. Заменим символом в все величины, не зависящие от Ь: юу/юу* = р^Т^Ё.
Как видим, отношение частот пропорционально корню из 1у и обратно пропорционально корню из ё. Из формул (9), (11), (13) следует, что увеличение ширины полости Ь приводит как к уменьшению площади поперечного сечения, так и к уменьшению момента инерции. Но площадь в отличие от инерции независимо от рассматриваемой оси колебаний уменьшается линейно (Ё = -к).
Рассмотрим колебание сечений вокруг оси у. При увеличении ширины полости Ь момент инерции 1у (в отличие от Ё) в начале уменьшается незначительно (/у' = -кЬ2/4), так как снимаются точки наиболее близкие к нейтральной оси, то есть точки, обладающие минимальными нормальными напряжениями. Это является причиной резкого увеличения частоты. Но в определенный момент, когда боковые стенки становятся малы, колебания изменяют свое поведение так, что собственные частоты начинают уменьшаться, стремясь к значениям частот сплошной балки. Данные закономерности хорошо видны на графике (рис. 2а).
Рассмотрим теперь колебания сечений вокруг оси г (рис. 26). При увеличении ширины полости Ь момент инерции уменьшается равномерно (Т = -к3/12) так же, как и площадь Ё. Причина в том, что снимаемые точки равноудалены от оси г и потому обладают одинаковыми нормальными напряжениями, вследствие этого отношение ю2/ю2* плавно возрастает.
Изменение высоты полости к отражается на колебаниях вокруг оси у (оси г), так же как изменение ширины Ь отражается на колебаниях вокруг оси г (оси у). При этом качественные различия отсутствуют, есть лишь количественные.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛОСТИ
Формула (3) позволяет определить лишь отношение Ту/Ё = р(юу)2/ЕА-4, которое может быть одинаково при различных Ь и к. Поэтому определить ширину Ь и высоту к полости по собственным частотам изгибных колебаний вокруг одной оси у при неизменных краевых условиях невозможно. Для идентификации параметров полости в настоящей статье
предлагается использовать еще и частоты изгибных колебаний вокруг другой оси. Действительно, в таком случае, применив (3) для колебаний вокруг оси г, можем найти численное значение второго соотношения: Т/Ё = р(ю2.)1/Е}^. Далее, зная Ту/Ё и Т/Ё, при помощи (9), (11) и (13) легко найти параметры надрезов:
Jz _ HB3 - hb3
F ~ 12 BH - bh J_ _ BH3 - bh3
_ F ~ 12 BH - bh
(14)
ПРИМЕР. Балка, заделанная на обоих концах, имеет параметры: В = 0,2 м; Н = 0,3 м; Ь = 3 м; р = 7720 кг/м3; Е = 2,06 • 1011 кг/м2. Собственные частоты изгибных колебаний вокруг осей сечения у иг равны юу = 846,568 рад/с, юг = 1328,148 рад/с. Требуется найти глубину Ь и ширину к надреза.
Решив трансцендентное уравнение (5), определяем собственное значение = 1,577 для балки данной длины. Используя собственные частоты, рассчитываем /у/Ё = 0,004346099 и Т/Ё = 0,010697163. Далее, численно решив систему уравнений (14), получаем значения Ь = 0,14 и к = 0,16 м.
ВЫВОДЫ
Предложен метод, позволяющий идентифицировать параметры надрезов, используя два спектра собственных частот изгибных колебаний вокруг разных осей. Представлен пример расчетов. Проведено исследование, которое показало, что спектр собственных частот изгибных колебаний балки с полостью не совпадает со спектром сплошной балки ни при каких значениях ширины полости Ь; также установлено, что у первой из них значения собственных частот всегда выше, чем у второй. Описано поведение собственных частот при увеличении размеров полости. Знание представленных закономерностей позволит избежать ошибок, которые могут возникнуть при диагностировании.
Институт механики УНЦ РАН Поступила в редакцию
Уфа 20 сентября 2012 г.
Башкирский государственный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы.— Дефектоскопия, 2010, № 5, с. 29—33.
2. Ахтямов А.М., Саляхова Е.В. Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? — Электронный журнал "Техническая акустика", http://www.ejta.org, 2011, 7
3. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения.— М.: Физматлит, 2009.— 272 с.
4. Бочарова О.В., Ватульян А.О., Жарков Р.С. Реконструкция полости в упругом стержне.— Изв. вузов. Северо-Кавказского региона. Серия: Естеств. науки,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.