ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
УДК 539.3
© 2015 г. Корнев В.М.
ДИАГРАММЫ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИН
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск
Рассматриваются критические состояния изгибаемых элементов конструкций, изготовленных из материалов с регулярной структурой. Построены в широком диапазоне изменения длин трещин, критические кривые разрушения для внутренних и краевых трещин, когда реализуется плоское деформированное состояние. Предложены простые соотношения для описания критических состояний изгибаемых элементов с трещиноподобными дефектами. При построении диаграмм квазихрупкого разрушения используются эффективные диаметры структуры и классическая диаграмма напряжения—деформация материалов, имеющих хрупкий или квазихрупкий типы разрушения. Получены оценки эффективных диаметров структуры исследуемых материалов.
Часто элементы конструкций имеют трещиноподобные дефекты. Допустим, что такие элементы могут подвергаться изгибу. Основное внимание при описании упруго-пластического разрушения уделяется упругопластическим задачам для плоскости [1—3]. Рассмотрим задачи разрушения при изгибе квазихрупких тел со структурой. Предлагаемые диаграммы разрушения состоят из двух кривых разрушения, соответствующих необходимому и достаточному критериям разрушения.
Диаграммы квазихрупкого разрушения (плоское деформированное состояние). Примем простейшую аппроксимацию ст—е диаграммы упругопластического материала, когда она аппроксимируется двухзвенной ломаной (простейший случай, соответствующий идеальной пластичности). Параметры этой аппроксимации E, аг, е0, е1, где E — модуль упругости; сту — предел текучести материала и постоянные напряжения, действующие согласно модифицированной модели Леонова—Панасюка—Дагдейла [4, 5]; е0 — максимальное упругое удлинение материала (сту = Ее0); е1 — максимальное удлинение материала. Пусть для гранулированного материала с регулярной структурой г — диаметр зерна. Подход Нейбера—Новожилова [6, 7] позволяет для сред со структурой использовать решения, имеющие сингулярную составляющую.
Рассмотрим внутреннюю трещину нормального отрыва. Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с внутренними и краевыми трещинами получены в [8, 9], где изучалось плоское напряженное состояние. Пусть внутренняя плоская трещина нормального отрыва распространяется прямолинейно [8, 9]. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины (разреза длиной 2/0) введем в рассмотрение модельные трещины-разрезы длиной 2/ = 2/0 + 2А. Каждая из зон предразрушения А расположена на продолжении реальной трещины (2/ и А — длины модельных трещин и зон предразрушения). Задача о разрушении имеет два линейных масштаба: если диаметр зерна г определяется структурой материала, то второй линейный масштаб А вырабатывается самой системой. Этим вторым линейным масштабом являются длины зон предразру-
шения А, которые зависят от длины исходной трещины и характеристик ст—е диаграммы исходного квазихрупкого материала. В критическом состоянии параметры, характеризующие длину трещины 21* = 2/0 + 2А* и длину зоны предразрушения А*, достигают критических величин (критические величины, полученные по достаточному критерию разрушения, помечены звездочкой вверху).
Исследуемые задачи о разрушении — задачи нелинейной механики разрушения. Далее будем использовать своеобразную линеаризацию, когда исходные задачи сводятся к линейной механике разрушения с дополнительным описанием зоны предраз-рушения. С точки зрения масштабов макромасштабный уровень линейной механики разрушения дополнен мезомасштабным уровнем описания зоны предразрушения. Из нелинейной механики разрушения заимствован поперечник зоны пластичности в вершине реальной трещины, а длина зоны предразрушения будет получена из решения поставленной нелинейной задачи [8, 9].
При построении диаграмм квазихрупкого разрушения [8, 9] используются достаточные критерии разрушения, когда рассматриваются трещины нормального отрыва. Пусть в задаче о разрушении для плоского деформированного состояния заданы растягивающие напряжения стш, приложенные на бесконечности. Тогда достаточный критерий разрушения [7] можно представить в виде
г
1 Г У
0
|сту(х, 0)йх = сту, 2v(-А*, 0) = 5*, (1)
где сту(х, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин; Оху — прямоугольная система координат, ориентированная относительно правых частей трещин, причем начало координат совпадает с вершиной модельной трещины в модифицированной модели Леонова—Панасюка—Дагдейла [4, 5]; ось х направлена вдоль плоскости трещины; ось у направлена по нормали к плоскости трещины; 2v = 2v(x, 0) — раскрытие трещин (х < 0); 5* — критическое раскрытие трещин; А* — критическая длина зоны предразрушения.
Для выполнения необходимых преобразований в достаточном критерии разрушения (1) надо иметь аналитические представления поля нормальных напряжений сту(х, 0) и раскрытия трещин 2v(x, 0).
Поле нормальных напряжений сту(х, 0) на продолжении модельных трещин х > 0 можно представить в виде суммы двух слагаемых [3]
Сту(X, 0) = Кх/(2пх)1/2 + ст„, К = + К1Д, = ст^ТЛ/> 0, Х1А < 0, (2)
где К1 = К1(1, А) > 0 — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах модельных трещин; К1ш — коэффициенты интенсивности, порождаемые напряжениями стш, заданными на бесконечности; К1Д — коэффициенты интенсивности, порождаемые постоянными напряжениями — сту, действующими в зоне предразрушения. Первое и второе слагаемые в соотношении (2) — сингулярная и гладкая части решения соответственно. Первое равенство (1) достаточного критерия разрушения контролирует достижение напряжениями на продолжении модельной трещины предела текучести сту после осреднения, а второе равенство (1) того же критерия описывает затупление в вершине реальной трещины. Таким образом, при реализации достаточного критерия (1) выбраны разные точки зоны предразрушения, что позволит получить не только критические напряжения ст*, но и критическую длину зоны предразруше-ния А*. Первое равенство (1) достаточного критерия представляет типичный силовой критерий разрушения [3], а второе равенство (1) — деформационный критерий [3]. Достаточный критерий разрушения (1) одновременно учитывает силовой и деформаци-
онный критерии разрушения в характерных точках зоны предразрушения. Предлагаемый критерий (1) описывает хрупкое (А = 0) и квазихрупкое (А > 0) разрушения, когда
А* ^ /о. (3)
Согласно подходу Нейбера—Новожилова [6, 7] возможно использование первого класса решений при Х1 = К1(/, А) > 0 для сред со структурой, поскольку бесконечные напряжения в вершине модельной трещины, недопустимые по континуальным критериям прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая поля напряжений имеет интегрируемую особенность.
Рассмотрим слагаемое К1Д < 0 в соотношении (2). Для плоскости с внутренней трещиной коэффициент интенсивности К1Д, вызываемый постоянными напряжениями сту, вычисляется следующим образом [10, 11] с учетом ограничения А* / из (3):
К1Д = -стуТП/ 1 - П агсзт(1 - А) ~ -2ст^2А/л. (4)
Принимая во внимание соотношения (2) и (4), для суммарного коэффициента интенсивности К(/, А) имеем представление
К1 (/, А) = ст^ТП/ - 2стуЛ/2А/л. (5)
Переходим к аналитическому описанию раскрытия трещин 2v(x, 0) при х < 0. Для раскрытия 2v(—х, 0) модельной трещины при плоском деформированном состоянии используем простейшее представление [3, с. 30—32], в котором опущены второстепенные слагаемые порядка 0(— х)
2v(-x, 0) = к /=*, к > 0, (6)
т у 2Л
где О = Е/2(1 + ц) — модуль сдвига, ц — коэффициент Пуассона.
Отождествляем поперечник зоны предразрушения а с поперечником зоны пластичности [3, с. 37—38] в вершине реальной трещины для плоского деформированного состояния. Получим оценку
(К1„ )2
2л(ст V )2
1_2 + (1 - 2 ц)2
(7)
Из аппроксимации диаграммы напряжения—деформация заимствуем параметр максимального неупругого удлинения е:—е0. Тогда критическое раскрытие трещины 8*, при котором разрушается ближайшая к центру трещины структура зоны предразруше-ния, подсчитываем так
8* = (Е1 - Ео )а. (8)
Таким образом, в соотношениях (2), (5)—(8) получены аналитические выражения для нормальных напряжений сту(х, 0), критического раскрытия трещины 8*, раскрытия модельной трещины 2v(—х, 0) и суммарного Используем эти выражения для оценки критического состояния трещины в достаточном критерии (1). При преобразованиях в равенствах (1) удерживаются члены с множителями *]А */'* и опускаются члены с множителями А*//* ^ 1. При определении критической длины трещины 2/* = = 2/о + 2А* используем критическую длину зоны предразрушения А*. После соответствующих преобразований получаем аналитические выражения для критических параметров ст*, А*. Кроме того, введем в рассмотрение критические напряжения, рас-
а
1,00 0,70 0,50
0,30 0,20 0,15
0,10
0,1
10
100 2l/r
0 0,2
0,6 X 1,0
Рис. 1
Рис. 3
считанные по необходимому критерию разрушения ст„, когда А0 = 0. Если достаточный критерий разрушения ст*, А* описывает разрушение квазихрупких материалов,
то необходимый критерий ст^, А0 = 0 подходит для описания разрушения хрупких материалов. Окончательно для плоского деформированного состояния получим
1 +
( х _ 3 + 2 ( 1 - 2 д) 2 £ 1 - £ , 8п( 1 - д2) £о
о*
(9)
А* = [ 3 + 2 ( 1 - 2 д)2 ]2 f£ 1 - ^ 2 Га* 2
l* 09(, 2)2
2 ( 1 - Д )
(10)
Если
1 - {[3 + 2( 1 - 2Д)2]/[8п( 1 - Д2)]}[(£ 1 - £о)/£о] > о ,
то выражения (9), (10) имеют смысл. Последнее неравенство является ограничением, которое выполняется только для хрупких и квазихрупких материалов. Это неравенство соответствует существованию первого класса решений Kl > 0.
На рис. 1 приведена в двойных логарифмических координатах диаграмма квазихрупкого разрушения для плоского деформированного состояния в широком диапазоне изменения относительных длин трещин 2l/r: кривые 1 и 2 соответствуют критическим напряжениям по необходимому ст^ /ау и достаточному а*/ау критериям разрушения, когда £ — £0 = 0 и (£: — £0)/£0 = 2,5 при д = 0,3. Плоскость "внешняя нагрузка—длина тре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.