ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2004
УДК 539.375;539.4
© 2004 г. Матвиенко Ю.Г.
ДИАГРАММЫ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ ТЕЛ С НАДРЕЗАМИ
И ТРЕЩИНАМИ
Для описания диаграмм трещиностойкости тел с надрезами и трещинами использована модель зоны предразрушения у вершины надреза (трещины) и критерий осреднения напряжений в этой зоне. Предельные напряжения в зоне предразрушения оценены на основе критерия текучести Мизеса. Показано, что тип на-гружения и теоретический коэффициент концентрации напряжений оказывают значительное влияние на вид диаграмм трещиностойкости.
Для анализа критического состояния тел с надрезами или трещинами можно использовать локальный и глобальный критерии механики разрушения, принимая во внимание распределение напряжений перед вершиной концентратора напряжений. Весьма привлекательным является создание комплексной модели и критерия разрушения, позволяющих объединить достоинства достаточно простых глобальных критериев разрушения и усложненных локальных критериев разрушения, основанных на рассмотрении процессов повреждения и разрушения материала в локальной зоне предразрушения у вершины трещины. Преимущество подобных критериев разрушения можно проиллюстрировать на примере анализа влияния надрезов и трещин на параметры механики разрушения и трещиностойкость материалов [1-4]. В основе таких критериев лежит сравнение локального напряжения перед вершиной надреза (трещины) с прочностью материала, в качестве которой можно принять предел прочности или предел текучести. В этом случае локальное напряжение оценивают некоторой величиной условных упругих напряжений перед вершиной трещины или их осредненной величиной в зоне предразрушения.
В настоящей статье модель зоны предразрушения, основанная на модели когезион-ных сил сцепления у вершины трещины, и локальный критерий разрушения распространены на случай коротких надрезов и трещин при различных типах приложенных нагрузок. Для анализа критического состояния тел с трещинами в широком диапазоне изменения их размеров целесообразно использовать диаграммы трещиностойкости, т.е. зависимость нормализованного критического коэффициента интенсивности напряжений от нормализованного разрушающего напряжения. Построение диаграмм трещиностойкости может быть основано на различных двухпараметрических критериях разрушения [5-8].
Модель и критерий разрушения. Рассмотрим плоскость неограниченных размеров, содержащую сквозную трещину (или надрез) длиной 21. Под действием приложенных нагрузок трещина имеет возможность распространяться в исходной плоскости. Начало координат поместим в центре трещины (рис. 1). В качестве модели зоны предразрушения примем модель Дагдейла-Леонова-Панасюка-Баренблатта, предполагающую виртуальное увеличение длины трещины от действительной ее вершины х = I на величину зоны предразрушения й. В зоне предразрушения действуют когезионные напряжения асоЬ конечной величины, полагаемые постоянными. Эти напряжения можно интерпретировать как некоторые критические локальные напряжения, отражающие свойства материала и условия нагружения и определяемые в соответствии с крите-
21
I I I
ггг
21
Рис. 1. Тело со сквозной трещиной, нагруженное однородными растягивающими усилиями, приложенными вдали от трещины (а) и к поверхностям трещины (б)
рием текучести Мизеса для тела с произвольной (в том числе и короткой) трещиной [3] в условиях плоской деформации
о
еоЬ
о 2 + 0
1 (оЛ2 (1 + V2- v)(о/ог)2-1 41от
2
}т; (1-2 V)
и в условиях плоского напряженного состояния
о
еоЬ
3,
2
о + Ог 1--7(о/От) ,
(1)
(2)
где от - предел текучести, 5 - приложенные напряжения.
Запишем критерий разрушения, усредняющий нормальные напряжения в зоне предразрушения, в виде [9]
^[оХ Г) йг = °еоЬ'
0
(3)
Здесь нормальные упругие напряжения оу(г) на расстоянии г = х - I от вершины усредняются на отрезке, равном длине зоны предразрушения й.
Диаграмма трещиностойкости тела с трещиной. Исследуем влияние типа приложенных нагрузок на предельное состояние тела неограниченных размеров со сквозной трещиной, в том числе малых размеров.
Напряжения перед вершиной трещины оу(х) на линии ее продолжения можно представить на основе известного упругого решения Вестергарда
оу (х) = ох,
/Vх2 -
(4)
где о - приложенные к телу однородные растягивающие напряжения (рис. 1, а). Перепишем критерий разрушения (3) в терминах критического коэффициента интенсивности напряжений, учитывая решение (4) и полагая коэффициент интенсивности
напряжений в виде К1 = о
К1 = оеонл/пй[ 1- (о/оеоЬ)2/2] .
(5)
В случае малой зоны предразрушения у вершины трещины по сравнению с длиной (й/1 ^ 0) напряжение оеоЬ существенно превышают критические приложенные напряжения, т.е. о/оеоЬ ^ 0. Становится справедливой концепция квазихрупкого разрушения и критический коэффициент интенсивности напряжений (правая часть уравнения (5)) стремится к предельной критической величине, т.е. вязкости разрушения К,
чс
К 1С = охЛ^Ж.
(6)
Критерий разрушения принимает вид
К1= К1 с.
(7)
X
а
Рис. 2
В общем случае, не ограничиваясь малостью зоны предразрушения у вершины трещины по сравнению с ее длиной, получаем критерий разрушения тела с трещиной произвольного размера, подставляя уравнение (6) в (5)
К1 = К1СЛ/1- (о/оС0Ь )2. (8)
При этом напряжение оСоН в зоне предразрушения определяем формулами (1) и (2).
Критерий разрушения (8) позволяет построить диаграмму трещиностойкости тела с трещиной в виде зависимости нормализованного коэффициента интенсивности напряжений К1/К1С от нормализованного приложенного напряжения о/оСоН (рис. 2, а). Диаграмма трещиностойкости тела с трещиной произвольного размера зависит от вязкости разрушения К1С и от критических приложенных напряжений о. Из рис. 2, а видно, что кривая трещиностойкости увеличивается с уменьшением критических напряжений, стремясь к предельной величине, т.е. вязкости разрушения. При этом становится справедливым критерий разрушения (7).
Рассмотрим однородные растягивающие напряжения, приложенные к поверхности трещины (рис. 1, б). В этом случае распределение напряжений на линии продолжения трещины перед ее вершиной имеет вид оу(х) = (ох/л/х2 - ¡2) - о и критерий разрушения (3) можно переписать в виде
К1 = ОсоНл/п й [ 1 + 2 (о / Осон)/2]. (9)
Полагая справедливой формулу (6) для К1С, критериальное соотношение (9) принимает вид
К, = К 1с71 + 2 (о / Осон) (10)
и позволяет построить диаграмму тела с трещиной.
В отличие от диаграммы трещиностойкости тела с трещиной, нагруженного растягивающими усилиями, приложенными вдали от трещины, критериальное уравнение (10) дает снижение кривой трещиностойкости с уменьшением приложенных напряжений (рис. 2, б). Диаграмма трещиностойкости тела, нагруженного по берегам трещины, располагается выше диаграммы трещиностойкости тела с трещиной под действием нагрузки, приложенной вдали от трещины.
Таким образом, условия нагружения оказывают значительное влияние на диаграммы трещиностойкости тела с трещиной произвольных размеров.
Диаграмма трещиностойкости тела с надрезом. Критерий разрушения (3), основанный на осреднении напряжений перед вершиной трещины, можно успешно адаптировать и применить к телу с надрезом [4]. Введем в рассмотрение следующие предположения. Распределение нормальных напряжений у вершины надреза аналогично распределению напряжений у вершины трещины в теле, нагруженном равномерно
распределенными растягивающими напряжениями вдали от трещины, но сдвинуто от ее вершины по оси абсцисс на величину р/2, т.е. г > р/2 [10]. Тогда распределение напряжений перед вершиной надреза на линии его продолжения имеет вид
(г 1 -ж (1+2Р) ■ Ш)
где р - радиус вершины надреза, а коэффициент интенсивности напряжений в вершине надреза обозначен как К1по4сЬ. Распределение напряжений (11) предполагает, что расстояние перед вершиной надреза г много меньше длины трещины I и больше радиуса вершины надреза [10].
Осреднение локальных напряжений (11) перед вершиной надреза на отрезке зоны предразрушения й позволяет записать критерий разрушения (3) в виде й + р/2
И К~Ж(1+г> - <12>
р/2
Из соотношения (12) критерий разрушения переписываем как
K1 notch = (13)
Максимальные нормальные напряжения omax на поверхности вершины надреза получаем из соотношения (11)
0y max = 2 K lnotch^V^p. (14)
Принимая во внимание связь напряжений omax с теоретическим коэффициентом концентрации напряжений Ktoymax = oKt и подставляя это выражение и (14) в (13), получаем критический коэффициент интенсивности напряжений в вершине надреза
K1 notch = 0coh
ч
K1 notch + Kd (15)
2 ^2 + 2 . (15) о Kt 2
В случае трещины (К{ ^ критический коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины определяем выражением (6). При этом справедлив критерий разрушения (7). Подставляя соотношения (6) и (7) в (15), получаем критерий разрушения в вершине надреза в предположении квазихрупкого разрушения
-1
. (16)
K1 notch - K 1С
(°coh )f 1
1-' ' KL
Здесь, как и в критерии разрушения тела с трещиной, напряжения осоЬ определяются формулами (1) и (2) в широком диапазоне изменения длины надреза. Нормализованный коэффициент интенсивности напряжений (16) является уменьшающейся функцией теоретического коэффициента концентрации напряжений (рис. 3, а), в пределе стремящийся к вязкости разрушения К:/К1С = 1 тела с трещиной.
Обобщая критерий разрушения (16) на случай тела с надрезом произвольной длины посредством замены в нем критериального соотношения (7) соотношением (8), получаем
1 _ (ОсоЬ)2 1
K K1С. I1- (^
о ; k)\
(17)
Критерий разрушения (17) позволяет построить диаграммы трещиностойкости тел с надрезами (рис. 3, б). Кривая трещиностойкости тела с надрезом прогрессивно возрастает по мере уменьшения теоретического коэффициента концентрации напряже-
Рис. 3. Влияние концентрации напряжений на нормализованный коэффициент интенсивности напряжений (а) и диаграммы трещиностойкости (•) тела с надрезом под действием однородной растягивающей нагрузки, приложенной вдали от трещины (плоская деформация): 1 - трещина; 2 - Cj/o = 1; 3 - Cj/o = 1,25; 4 - Kt = 5; 5 - Kt = 8
ний Kt. При этом кр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.