ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 417-428
УДК 533.951
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ КВАНТОВОЙ ПЛАЗМЫ. ЧАСТЬ I
© 2014 г. Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Россия
e-mail: kuzelev@mail.ru Поступила в редакцию 16.10.2013 г. Окончательный вариант получен 20.11.2013 г.
Рассмотрены квантовые модели бесстолкновительной плазмы, основанные на уравнениях Шре-дингера, Клейна—Гордона, Дирака и Паули. В рамках моделей с уравнениями Шредингера и Клейна—Гордона вычислены поперечная и продольная диэлектрические проницаемости изотропной квантовой плазмы без учета спина частиц. Получены дисперсионные уравнения поперечно-продольных волн в пучках квантовых бесспиновых частиц и исследованы простейшие квантовые волны.
БО1: 10.7868/80367292114050035
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к квантовой плазме существует давно. Фундаментальная проблема квантового описания материальных сред, в том числе и плазмы, увлекательна и важна сама по себе, безотносительно к каким-либо приложениям. В последнее время интерес к квантовой плазме возрос, что связано с активизацией исследований по таким направлениям, как нанофизика, физика конденсированного состояния, разработка лазеров на свободных электронах, описание материи на раннем этапе эволюции Вселенной и ряду других. Одной из ключевых для теории плазмы является проблема вычисления ее диэлектрической проницаемости. Достаточно полное и подробное изложение вопроса о диэлектрической проницаемости квантовой плазмы содержится в монографии [1], где рассмотрена нерелятивистская изотропная бесстолкновительная газовая плазма в приближении, основанном на квантовом кинетическом уравнении для функции распределения Вигнера [2, 3] — квантовом аналоге классического кинетического уравнения Власова. По существу квантовая модель, использованная в [1], базируется на представлении о плазме как о совокупности отдельных заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле, движение которых описывается уравнениями Шредингера или Паули. Диэлектрическая проницаемость релятивистской изотропной бесстолкновительной плазмы вычислена в работе [4], где использовалось выражение для поляризационного оператора и аппарат функций Грина частиц. Фактически плазма в [4] рассматривалась как газ свободных заряженных частиц, описываемых уравнением
Дирака с потенциалами самосогласованного электромагнитного поля.
В недавних работах [5—11] для описания квантовой плазмы был предложен подход, основанный на прямом интегрировании квантовых уравнений движения заряженных частиц плазмы, с последующим усреднением по функции распределения. Этот подход удобен для решения нелинейных задач и применим в общем случае релятивистской неравновесной квантовой плазмы. Суть его понятна из следующих простых рассуждений. В классической теории плотность тока частиц с зарядом е в простейшем случае определяется формулой ] = еп\, где п — концентрация, а V — скорость частиц. Если частицы имеют разброс по скоростям, то плотность тока вычисляется по более общей формуле
] = еп |/(р)^р, (1.1)
где /(р) — функция распределения частиц по импульсам (в формуле (1.1) эта функция нормирована на единицу). Формула (1.1) справедлива и при квантовом описании частиц плазмы, если только под скоростью V понимать величину
V = у , (1.2)
где у — волновая функция частицы, а V — оператор скорости. Волновая функция вычисляется из квантового уравнения движения — одного из известных уравнений квантовой механики. Заметим, что величина (1.2) является функцией р, т.к. импульс определяет квантовое состояние частицы, а поэтому входит в начальное условие для квантового уравнения движения, определяющего волновую функцию у = у р(?, г) = у(?, г; р). Тем самым формулы (1.1) и (1.2) содержат как квантово-
механическое усреднение, так и статистическое усреднение по функции распределения.
В настоящей работе мы применим подход, основанный на работах [5—11] (и формулах (1.1) и (1.2)), для вычисления диэлектрических прони-цаемостей бесстолкновительной плазмы с произвольной функцией распределения частиц по импульсам, а также для получения некоторых важных для приложений дисперсионных уравнений, определяющих спектры собственных волн анизотропной квантовой плазмы. Будут последовательно рассмотрены четыре модели квантовой плазмы, основанные на уравнениях Шредингера, Клейна—Гордона, Дирака и Паули, и проведен анализ некоторых результатов, полученных в рамках перечисленных моделей. Не ограничиваясь только формулами (1.1) и (1.2), мы проведем также более строгое обоснование используемых квантовых плазменных моделей.
2. МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ПЛАЗМЫ
2.1. Классическое описание бесстолкновительной плазмы
Прежде чем приступить к описанию используемых в работе квантовых плазменных моделей, напомним основные положения классической теории электромагнитных процессов в плазме. Для описания динамики бесстолкновительной плазмы чаще используют кинетическое уравнение Власова
пучками частиц [5, 12]), определяемой из уравнений движения
dt
+ v^-^ + ea dr
E(t, r) +1 v x B(t, r) c
f = 0, dp (2.1)
/а(^о, Г, р) = /оа(р).
Здесь /а((, г, р) — одночастичная функции распределения частиц сорта а по импульсам, Е и В — компоненты самосогласованного электромагнитного поля (внешние поля в плазме в настоящей работе предполагаются отсутствующими), а /0а(р) — функция распределения в начальный момент времени. Вычисляя далее по формулам
Ра((, r) = ea Jfa((, r, p)dp,
ja((, Г) = ea JV/a((,r,p)dp
(2.2)
dra dt
= v„
dp a dt
= e„
= Г0
E(t, Га) + 1Va X B(t, Га)
С
(2.3)
плотности заряда и тока частиц сорта а и подставляя их в уравнения Максвелла, получают наиболее общую самосогласованную замкнутую систему уравнений классической теории бес-столкновительной плазмы.
Однако часто более удобным оказывается подход, основанный не на функции распределения, а на фазовой траектории частицы сорта а:
|га(?;Го,Ро), Ра(?;Го,Ро)} (например, при описании нелинейных явлений в неравновесной плазме с
■аI = ц- 'о, раI = к = ро-При этом плотности заряда и тока вычисляются по формулам
ра(,г) = еа |/оа(ро)8[г - Га(?;'о,роЖ'оФо,
^((, г) = еа |/оа(ро)а((; Го, ро) X (2.4)
х5[г - га(Г; Го, рожго^ро.
Связь между описаниями плазмы при помощи функции распределения и фазовой траектории установлена в работах [5, 13], где показано, что решение уравнения (2.1) выражается через фазовые траектории частиц в виде так называемого интеграла по начальным данным
/а((, Г,р) = |/оа(ро)8[Г - Га( 'о, ро)] X Х5[р - ра(П 'о, ро)]^/'о^ро.
Подстановка (2.5) в формулы (2.2) приводит к соотношениям (2.4). Таким образом, описания плазмы при помощи функции распределения /а((, г, р) и фазовой траектории {га((; Го,ро), ра((; Го,ро)} эквивалентны. В квантовом случае роль фазовой траектории частицы играет ее волновая функция.
2.2. Нерелятивистская квантовая плазма без учета спина частиц. Модель с уравнением Шредингера
В отсутствие столкновений каждая заряженная частица плазмы движется только в самосогласованном электромагнитном поле. Самосогласованное поле, как усредненное поле, определяемое всеми частицами плазмы, математически эквивалентно некоторому заданному полю. Состояние квантовой частицы в таком поле полностью характеризуется ее волновой функцией. Причем в отсутствие самосогласованного поля (невозмущенная плазма) волновая функция частицы является плоской волной. Таким образом, волновая функция частицы сорта а в бесстолкновительной плазме определяется из следующей начальной задачи для уравнения Шредингера:
—Г— _ На^
ОТ
1
На ( д + ^ A((,r)| + ea ф((,г), 2тЛ dr c
1
(2.6)
Уа(*о,г; ро) _ ехР(гЪро
где у а((, г; р о) — волновая функция, ф и А — потенциалы самосогласованного электромагнитного поля, а та — масса частицы. Задача (2.6) является
квантовым аналогом классической начальной задачи (2.3); обе эти задачи имеют единственное решение.
Используя далее известные квантовомехани-ческие соотношения [14], запишем формулы для плотностей заряда и тока частиц сорта а (см. (1.1) и (1.2))
Ра(?, г) = ва |/оа(Ро)|уа(/, г; Ро)|2 йРо, ]а((, Г) = ва 1 |/оа(Ро)(¥**а¥а + ¥аР0У*)Ро,
(2.7)
т ^ = Нар а - Н*р а,
Н' = -1- (( + ^ А((,г')) + ваф((,г'),
2шЛ дг с !
(2.10)
которое и является квантовым аналогом уравнения Власова (2.1).
Аналогия будет еще более полной, если от матрицы плотности (2.8) перейти к так называемой функции распределения Вигнера [1—4], являющейся преобразованием Вейля статистического оператора, или матрицы плотности [15]. Функция Вигнера, для которой используем то же обозначе-
ние, что и для классической функции распределения, определяется формулой
/а ((, г, Р) =
(2.11)
где Vа = ра/ша — оператор скорости, ара = = -/% д/дг — ва/с А(,г) — оператор импульса. Уравнение (2.6) и формулы (2.7) в дальнейшем будут использованы для получения диэлектрических проницаемостей и дисперсионных уравнений собственных волн нерелятивистской квантовой плазмы без учета спина частиц.
Квантовое описание, основанное на уравнении (2.6) и формулах (2.7), является аналогом классического описания, основанного на уравнениях (2.3) и формулах (2.4). Выясним, что является квантовым аналогом классического описания плазмы при помощи одночастичной функции распределения, т.е. приведем уравнения, которые в квантовом случае заменяют уравнение (2.1) и формулы (2.2). Определим матрицу плотности частиц сорта а следующей формулой:
Ра(?, г, г') = |/оа(Ро)^*(?, г; Ро)^ а(?, г'; РоМРо. (2.8) Тогда соотношения (2.7) запишутся в виде Ра((, г) = Нш[вара((, г, г')],
г' ^ г
1 * (2.9)
] а(,г) = - Нш[ва(У а + Уа)^ а(, г, г')],
2 г' ^ г
где V а — оператор скорости, действующий на координаты г'. Матрица плотности (2.8), являющаяся квантовым аналогом классической одноча-стичной функции распределения, удовлетворяет известному уравнению [15]
= (2п) 3 |ехр(-/тр)ра(?, г - Йт/2, г + Йт/2)йт.
С учетом начального условия в (2.6) легко показать, что функция (2.11) удовлетворяет начальному условию для уравнения Власова (2.1). Уравнение для функции Вигнера получается соответствующим преобразованием уравнен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.