ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 429-441
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ КВАНТОВОЙ ПЛАЗМЫ. ЧАСТЬ II
© 2014 г. Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Россия
e-mail: kuzelev@mail.ru Поступила в редакцию 16.10.2013 г. Окончательный вариант получен 20.11.2013 г.
В рамках квантовых плазменных моделей с уравнениями Дирака и Паули вычислены поперечная и продольная диэлектрические проницаемости изотропной квантовой плазмы. Получены дисперсионные уравнения поперечно-продольных волн в пучках квантовых частиц. Рассмотрены релятивистские продольные и поперечные волны в холодной изотропной квантовой плазме в моделях на основе уравнений Клейна—Гордона и Дирака и спиновые волны в модели с уравнением Паули. Исследованы условия резонансного взаимодействия волна-частица в релятивистской квантовой плазме.
DOI: 10.7868/S0367292114050047
1. ВВЕДЕНИЕ
Во второй части нашей работы, посвященной свойствам квантовой плазмы, рассчитываются диэлектрические проницаемости с учетом спина частиц. Для описания бесстолкновительной квантовой плазмы используется тот же подход, что и в Части I (Физика плазмы. 2014. Т. 40. № 5), в которой при вычислении диэлектрических про-ницаемостей наличие спина у частиц плазмы не принималось во внимание. Напомним, что получили распространение два метода рассмотрения такой плазмы. Первый основан на интегрировании кинетического уравнения для одночастич-ной функции распределения частиц. В классическом случае это — кинетическое уравнение Власова, а в квантовом случае — уравнение для одночастичной матрицы плотности, или уравнение Вигнера. Другой метод основывается на интегрировании уравнений движения отдельных частиц плазмы в самосогласованном электромагнитном поле. В классическом случае это — обычные уравнения движения для координаты, скорости и ускорения, а в квантовом случае — уравнения для волновых функций частиц. Плотность тока частиц сорта а в квантовом случае вычисляется по формуле
Г) = еа«0а |/оа(Р)¥*((» г; а( Г р)р, (1.1)
где /0а(р) — функция распределения частиц по импульсам, уа((,г;р) — волновая функция частицы, находящейся при отсутствии самосогласованного поля в состоянии с импульсом р, а V — оператор скорости. Именно второй метод, с прямым интегрированием квантовых уравнений движения, используется в настоящей работе для вычисления
диэлектрических проницаемостей квантовой плазмы без столкновений.
В Части I для нахождения диэлектрических проницаемостей были использованы квантовые модели плазмы, основанные на уравнениях Шре-дингера и Клейна—Гордона. В представляемой второй части основное внимание уделено модели, основанной на уравнении Дирака. Для полноты изложения рассмотрена и модель с уравнением Паули. Изложение носит довольно конспективный характер, поскольку основные особенности метода подробно обсуждены в первой части.
2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ПЛАЗМА В МОДЕЛИ С УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА
2.1. Релятивистские квантовые уравнения для волн в плазме частиц со спином 1/2
Исходим из уравнений (2.16), (2.17) и (3.1) Части I. Решение уравнения Дирака, по аналогии с (3.4) Части I, представим в виде
уа((, г; ро) = Nо(() ехр(ко • г) + + N_(/)ехр[/(к0 - к) • г] + N+(?)ехр[/(к0 + к) • г], ( . )
где N0, N_, N + — амплитуды волновой функции, являющиеся четырехкомпонентными векторами. Подставляя представления (3.3) Части I и (2.1) в исходные уравнения, получим систему для амплитуд потенциалов и волновых функций
£ йА + к 2А + /к £ сф _
2
с сН
с &
_ еа |/оа(р+аN + + N+аNо)Сро,
а
ек2ф _ еа |/оа(Ро)(N^ + + NоN-)Сро,
(2.2)
сN0
/ й
сг
- а4шас Nо - йс(а • к0)Nо =
=1 еа
ФN_ + ф N + - ((а • а^_ + (а • А+)
с^ 2
/й—- - ах^ш^с N- - йс(а • (ко + k))N-
сг
■1 е 2
а
- N о - (а • А - ^ о ].
N о(р о) = S+ (Р о)
+ S_(Р о)
( 1 ^ о
Па
У
( о ^ 1 Ца
\~Ла У
ехр(-г'Юоаг) +
(2.5)
ехр(-'Юоаг).
Здесь
2 4
2 2 , Шас ко с +■
Па
Кс
Ца±
П Юоа + шас /П
= (кох ± /коу)с Юоа + шас2/П'
(2.6)
стиц сорта а. Подстановка (2.5) в первую формулу (2.17) Части I дает
Ра(го) = еаПоа =
2Еа(Ро) 1СУ..М2, (2.7)
= еа
Еоа(Ро) + Шас
"|^(р о) /о а(Р о)йр о,
(ро) = -\рос2 + ш2ас4, | S(pо)2 = |£+(ро)2
где Еоа = Еоа |£_(ро)|2. Если функцию распределения нормировать на невозмущенную плотность частиц сорта а, то, как видно из (2.7), следует положить
(2.3) Ир о)|2 = Еоа(р о) + Шас 2 = 1 оа(р о) + 1. (2.8)
2Еоа(ро)
2У оа(р о)
Здесь а = {а1 , (Х2, СХ3} — вектор из единичных матриц Дирака, см. Часть I.
В отсутствие возмущений, когда ф = о и А = о, следует положить N ^ = о. При этом невозмущенное состояние частицы сорта а определяется уравнением
CN 1
т^ - а4шас Nо - Йс(а • к0)Nо = о. (2.4) сг
В общем случае направление вектора ко = ро/Й произвольное (ведь р о есть свободная переменная интегрирования), а структура матриц сх12,з,4 такова, что выделенной является координатная ось 2. Поэтому решение уравнения (2.4) должно браться в следующем общем виде [1—3]:
При этом, согласно (2.5), величина |£+|2/1£_|2 есть отношение числа частиц со спином параллельным р о к числу частиц с противоположным направлением спина.
Для получения дисперсионного уравнения и диэлектрических проницаемостей плазмы выражение (2.5) нужно подставить в уравнения (2.2) и во второе и третье уравнения (2.3) и проделать далее стандартные выкладки линейной теории. Поскольку выкладки эти оказываются чрезвычайно громоздкими, остановимся только на частных случаях.
2.2. Диэлектрические проницаемости изотропной
релятивистской квантовой плазмы частиц со спином 1/2
Начнем со случая изотропной плазмы. Естественно предположить и изотропию ориентации
спинов V = Б_ = V/л/2. Направим ось 2 вдоль направления распространения волны, т.е. положим к = {о, о, к}, используем кулоновскую калибровку потенциала А и учтем, что в любой изотропной среде волны распадаются на продольные и поперечные. При этом общую систему (2.2) и (2.3) можно сразу разбить на две подсистемы, существенно упростив этим вычисления. Заметим, что при рассмотрении в Части I квантовых моделей с уравнениями Шредингера и Клейна—Гордона мы действовали более последовательно: сначала выписывали общую систему, а только потом получали, что для изотропной плазмы она распадается на две подсистемы для продольных и поперечных волн.
Для продольных волн система (2.2) и (2.3), записанная в компонентах, имеет вид
й ^ 2
сг
- шс - Й(ког + к)сЖр3 +
причем в (2.5) учтены только состояния с положительной энергией. Для определения величин £+(ро) вычислим невозмущенную плотность ча-
1 V
+ Й(кох - /коу)сЫТ4 = ^ еа(р + -^ехр(-/Юоаг),
йс^ - -2
сг
- шс Ит2 + Й(ког + к)сМт4 +
а
+ h(kQx + ik0y )cNT3 = 1 еа(р т ^2ехр(-/ю0а?),
т -- 2
dt
+ mc Nt3 - h(k0z + k)cNTl + + й(к)x - ik0y)cN,2 =
1 еа(Па + Иа-)ф + J= eXP'(-'®0аО ,
(2.9)
» dNi dt
(2.10)
(2.11)
e -
X J/0а(Р0);
a
Y 0 a (Р0)[1 - (k • v0a) jk c ]
(ю - k • v0a)2 - h2(ю2 - k2c 1)1j[4mac4yL(P0)]
(2.12) dp0 = 0.
dt
- mc NT1 - h(k0z + k)cNT3 +
+ Й(*0 x - ik0 y )cNTi =
1 ea(na - цa+)(ex - ieyA -S=exp(-i®0at),
ihdN±2 - mc2N±2 + ft(k0z + k)cN±4 + dt
+ h(k0x + ik0y )cN±3 =
1 - S
= - 2 еа(Па + И a-)(ex + iey M±-j=exp(-i®0at),
» N ^ ^
(2.13)
+ тс Nт4 + Й(к0г + к)еКт2 +
+ Й(к0х + к у )с^ = = - 2 еа(Па - Иа+)Ф+ ехр (-/®0а?) ,
ек 2ф = еа ^аЫ х
а
Я*(р0) N+1^ + N+2 + (Па + +3 -
- (Па - ^+N+4 ехр^О + + ^ [N1*! + Ж*2 + (Па + Ца-Ж*з -
- (Па -Ца+Ж*4]ехр(-гю0?)
Решение системы (2.9), (2.10) ищем в форме ф = фехр(-/ю?), N_ = п_ ехр[-/(ю0а - ю)?],
N + = п + ехр[-/(ю0„ + ю)?]. Подстановка (2.11) в (2.9) и (2.10) после весьма громоздких преобразований приводит к дисперсионному уравнению продольных волн в изотропной релятивистской квантовой плазме в модели с уравнением Дирака
dt
+ mc Nt3 - h(k0z + k)cNTl + + Khx - ik0 y )cNT2 = = - 2 ea(ex - iey A ^exp^i^),
i dNi
dt
+ mc Nt4 + ti(k0z + k)cNT2 + + l(k0x + ik0 y )cNT1 = = - 2 ea(ex + iey )AT S2exp(-i®0at).
6 d A + k2a! = (8п/V2)Xea J/0a(P0) :
2 »,2 c dt
S*(p0)[(ex - iey)N+4 + (ex + iey)N+3 + (2.14)
+ (Па + И a-) (ex - iey )N+2 - (Па - Иа+) X
X (ex + iey)N+1]exp(i®0at) + S(p0)[(ex + iey)N* +
+ (ex - iey)N*3 + (Па + Ца-Ж + iey)N-2 -
- (Па - Цa+)(ex - iey)N*]exp(-i®0at)
dP0.
ю^ — ленгмюровская частота для частиц сорта а. Записывая уравнение (2.12), мы сделали обобщение на случай произвольного направления распространения волны, осуществив замену v0aг ^
^ (к • V0аVк.
В случае поперечных волн удобно положить
А = еА (А_ = А*, А+ = А), где е — единичный вектор поляризации электромагнитной волны. Пусть этот вектор лежит в плоскости Х0У, т.е. е = {ех, еу, 0}. Тогда вместо системы (2.9) и (2.10) из (2.2) и (2.3) имеем систему уравнений
й N - 2
Подстановка в (2.13) и (2.14) выражений для компонент волновой функции из (2.11), а также представления для амплитуды векторного потенциала A = a exp(-i® t) дает дисперсионное уравнение поперечных волн в изотропной квантовой плазме в модели с уравнением Дирака
k2c2 - ею2 + X ®L J/0a(P0)Y^^(P0) x
W (1/2)(k X v0a)2^1 - юУk2c2) + (Ю - k • vpa)2 P
X 2 2 2 2 2 2 I 2 4 2 dP0 _
(ю-k • v0)) - h (ю - kc )/[4mac y0)(p0)]
Уравнение (2.15), также как и (2.12), обобщено на случай произвольного направления волнового вектора k.
Сопоставляя теперь общие уравнения (3.14) Части I с дисперсионными уравнениями (2.12) и (2.15), получим выражения для поперечной и продольной диэлектрических проницаемостей изотропной релятивистской квантовой плазмы в данной модели
a
гг
е = е -
Ю2а Г/оа(р о)
^^ ГЛ '
Ю •'у оа(р о)
е = е- X Ю^а |/оа(ро)
1 + (1/2) (к X Vоа)2(1 - юУк2с2) + Й2(Ю2 - к2с2)2/[4шас4у2а(роо]
(ю - к • Vоа)2 - Й2(ю2 - к2с2)У[4ш(с4уоа(ро)] .
сро,
У¡¿(ро) (1 - (к • Vоа)2/к2с2)
(Ю - к • Vоа)2 - Й2(ю2 - к2с2)2/[4ш(с4у2((ро)]
сро.
(2.16)
В случае холодной плазмы из (2.16) получаем, что продольная и поперечная диэлектрические проницаемости одинаковые:
гг I 8 =8=8-
■X
2
»¿а
Ю
■ % 2(ю2
, 2 2,2 ил 2 4Ч
к с ) /(4Шас )
. (2.16а)
N о =
ехр(-/юог)
(2.17)
еср ехр(-/юог),
/Й —^ + шс2Nт3 - Й(ко + к)сИт1 =
сг
= 1 еФ+П V+ ехр(-гюог),
2.3. Дисперси
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.