МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 531.011
© 2008 г. М.А. ЧУЕВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Получены все типы и формы дифференциальных уравнений программных движений механической системы как для идеальных, так и для неидеальных первичных связей. Выявлены формы дифференциальных уравнений движения, существенно упрощающие математические преобразования при получении их явного вида.
1. Введение. Пусть N - число материальных точек (МТ) механической системы (МС) (j = 1, N); Tj и mj - соответственно их радиусы-векторы и массы; r = (r1, ..., rN);
(о, i = 1, n); n = 3N -p; ц, v = 1, l; 0 < l < n; r = 1, n -1; q = (q1, ... qn) - обобщенные координаты; условия, связывающие время t и радиусы-векторы МТ:
fk (t, r) = 0 (k =TTp) (1.1)
(назовем их первичными связями) предполагаются независимыми и могут быть как идеальными, так и неидеальными, что не сказывается на выборе обобщенных координат. Ниже по немым индексам предполагается суммирование в указанных пределах. Независимые условия, связывающие время t, обобщенные координаты и их производные по времени
ft, q, q,...,q) = 0, (p„)max > 0 (1.2)
назовем вторичными; идеальность их (в каком-либо смысле) не предполагается; неинтегрируемость (1.2) не предполагается и не исключается. Все функции, используемые в статье, предполагаются непрерывно дифференцируемыми необходимое число раз.
Условия (1.2) назовем программой движения МС (программой управления ее движением) [1], если предполагается существование не единственного способа их реализации при одних и тех же краевых условиях
(k - 1) (k - 1) qi(0) = q¿
(8¡ - 1) (8¡ - 1) q, (t1) = q11)
(k= 1, k')
(Si = 1, §i)
(1.3)
V , (к) (к)
так что их число К = N (к± + ог-). Значения qi (0) и qi при к > 2 выбирает и исполь-
1 = 1
зует исследователь только на этапе расчета механизма, совершающего программные движения. При эксплуатации механизма необходимость в измерении их значений не возникает. Обозначим
В5 = Вд, д, ..., д^,
5> 1
Дифференцированием по времени (1.2) приводим к виду
аД + А;-1=0, 5 > 2 (1.4)
5 — 1
Без ущерба для общности в (1.4) можно считать А| = А| , что в дальнейшем и предполагается. При интегрировании (1.2) или (1.4) получим одно и то же число независимых постоянных интегрирования
I
N = X Р| | = 1
Становится задача: реализовать движение МС при t б [0, по программе (1.4) при краевых условиях (1.3).
Обобщая идею И.В. Мещерского [2], заметим, что программу (1.4) можно реализовать, присоединив к (1.4) п - I дифференциальных уравнений
/г д, д,..., д ) = 0 (1.5)
не содержащих реакций связей (1) и управляющих сил и совместных с (1.4), которые при их интегрировании дадут (п - /)5 новых независимых постоянных интегрирования. Значение 5 в (1.5) должно удовлетворять условию (п - /)5 > К - Щ.
Очевидно, что присоединяемых дифференциальных уравнений (1.5), в принципе, существует бесконечное множество, однако при "наудачу выбранных" уравнениях (1.5) может, например, оказаться, что общее решение (1.4) и (1.5) не существует при t б [0, tl]. Возможны и другие осложнения. Естественно, хотелось бы для присоединяемых уравнений иметь конкретный алгоритм их получения и чтобы эти уравнения обладали определенными положительными свойствами.
В работах [1, 3] получены два типа присоединяемых дифференциальных уравнений, а в работах [4-6] - еще 5 - 3 новых типов этих уравнений. Из обобщенного принципа Гаусса [7, 9, 10], [8, с. 138-139] можно получить лишь один тип дифференциальных уравнений программных движений, опубликованный в [1]. Общего вариационного принципа, из которого можно получить все 5 - 1 типов дифференциальных уравнений программных движений МС, не существует. В работе предлагается алгоритм получения этих дифференциальных уравнений, обобщающий алгоритмы, использованные для аналогичной цели в работах [1, 3].
2. Дифференциальные уравнения программных движений механической системы в случае идеальных первичных связей. Пусть (1.1) идеальны, т.е. их реакции Яу удовлетворяют условию
5 г] = 0 (2.1)
и пусть 5 - порядок каждого из п - I присоединяемых дифференциальных уравнений, 2 < < 5, п1 = (п - 1)52,52 = 5 - 5:, а дифференциальные уравнения движения МС в случае программы (1.4) представлены в виде (гу = д)):
ш]ТТ}. = и д, д) + Я;(^ д, д) + (и д, д; Р;, а) (2.2)
где ¥} - активные силы; Яу - реакции связей (1.1); W]■ - "реакции программы" (1.4), которые теперь логичнее называть управляющими силами; Ру = (Р;- 0, ..., Р;- -3) (Ру = 0
при ^ = 2), а = (а1;..., ап) - соответственно векторные и скалярные константы, которые предполагаются независимыми.
Для получения присоединяемых уравнений необходимо исключить Яу, их производные по времени, константы и а из уравнений
(к) (к - 2) (к - 2) (к - 2) _
ту г у = Ру + Ку + (к = 2 5)
что в общем случае сделать невозможно. Пусть
51-3
^ = X Ьл(< + w;(I, д, д; а)
у = 0
где вид функций W' будет выбран ниже. Постоянные Руу исключаются при дифференцировании (2.2) по времени
(¿1) (¿1 - 2)5 - 2) (»1 - 2)
ту Г у = Ру + Ку +(2.3)
Умножая каждое из уравнений (2.3) на соответствующее Эгу/Эд,- и суммируя по у, находим
д Т5, 5.-1 5.-1 5.-1 1 ( (51)^2
-ъ = е/ + б1 + V1 ' т51 = 1г]) (2.4)
дд,
5, - 1 5,-1 5,-1
где е, , Б, , V, и Т5 - соответственно обобщенные силы активных сил, реакций связей (1.1), управляющих сил и 51 - энергия МС [1]. Пусть
5 - 1 5 -К II 5 - 11|
Б/ = в;, V Нвд | * о
51 - 1
где функции В; выбирает исследователь. Исключение из (2.4) приводит к уравнениям
5,-1 5,-1 5,-1
Уг = Vl + г - Ь, + у (2.5)
Уг = 4^- еГД'- Ь5+;\( ^ еГ) (2.6)
дд1+г о дх
при этом константы а присутствуют только в правых частях (2.5).
Для завершения процесса получения дифференциальных уравнений программных движений МС (присоединяемых уравнений) необходимо исключить константы а из уравнений
к
(к) И 5,-1 5,-1 5,-1 -
Уг = —к(УД г - ЬД^ V; ) (к = о, 52) (2.7)
ИГ
что в общем случае опять-таки осуществить невозможно, и поэтому предполагается, что:
(1) уг, определяемые равенствами (2.5), имеют вид
Уг = X Угк( 1 )а*2(Г-1) + к (2.8)
к = 1
(в правых частях (2.8) суммирование по г не предполагается).
(2) При любом г функции угк(г) образуют фундаментальную систему решений дифференциальных уравнений, которые назовем порождающими:
(«2) («2 - 1)
Уг + Сг1( г) Уг +... + с„2( г) Уг = о (2.9)
Первое предположение позволяет исключать константы а не из всей системы уравнений (2.7), а из системы уравнений, имеющих одно и то же значение индекса г. Второе предположение гарантирует исключение констант а, поскольку при любом г якобиан
Jr =
Э|уг,Уг I
r d(as2( r-1) +1>--->as2 (r-1) + s2 )
является определителем Вронского, который отличен от нуля [11, с. 296-297].
(1) при t е (a, b), если Crk(t) непрерывны при t е (a, b);
(2) при t е [0, если Crk = const.
При решении практических задач обычно Crk = const.
В теории дифференциальных уравнений установлено [12, с. 253], что исключение констант 5rk из общего решения
Уг = X 5rk.Vrk(t) (§rk = as2(r-1) + k) (2.10)
k = 1
(суммирование по r в правых частях (2.10) не предполагается) дифференциальных уравнений (2.9) приводит к дифференциальным уравнениям (2.9), так что для получения дифференциальных уравнений программных движений МС в случае программы (1.4) достаточно в уравнениях (2.9) заменить yr их значениями, определяемыми равенствами (2.6):
dt ■
г dT, ,. -1 s -1 fdT
Ql + r bl + r,vl (S1) Qv I
(S1)
dql + r d 4v
ds2-1 (2.11)
+ Cr 1 (t) !d-—[ [•••] + • + Crs2( t)[...] = 0
dt 2 2
(г = 1, П - I, 51 =2, 5, s2 = s - 51)
В (2.11) выражения в квадратных скобках имеют один и тот же вид. Дифференциальные уравнения программных движений МС (2.11) в случае идеальных первичных связей содержат 5 - 1 типов (не форм!) этих уравнений и ни один из этих типов не может быть получен из остальных с помощью математических тождеств. Уравнения (2.11) при ^ = 5 опубликованы в работе [1]; при 5 = 2 - в работе [3]; для
случая ^ = 2, 5 - в работах [4-6].
Пусть gi = д() - частное решение замкнутой системы дифференциальных уравнений, состоящей из (1.4) и одного из 5 - 1 типов дифференциальных уравнений (2.11), удовлетворяющее (1.3). Поскольку программные движения МС происходят в соответствии с (2.2), их можно описать и уравнениями Лагранжа
икдТ-дТ = е, + и.
dtддi i дд, ,
где и,, - обобщенные силы управляющих сил
(к = 0,2)
U(t) = í о
U А) \dtbqi 3q,. 0
(k) (k) q = q( t)
Известно [11, с. 169], что краевая задача не всегда имеет решение. В рассматриваемом случае решение может отсутствовать по одной из двух причин: либо несовместна замкнутая система дифференциальных уравнений, либо, если она совместна, окажется несовместной система уравнений для определения постоянных интегрирования.
Необходимое условие совместности (1.4) и одного из 5 - 1 типов дифференциальных уравнений (2.11) имеет вид
гапк|| Аа,|| = п (2.12)
5 -1
где А; взяты из (1.4) А, + г, , = а, + г, , - Ь, + г у ат-. Здесь ай - коэффициенты квадратичной формы (обычной) кинетической энергии МС.
5 - 1
Поскольку вид функций Ь1 + г у выбирает исследователь, проблему совместности (1.4) и каждого из 5 - 1 типов дифференциальных уравнений (2.11) всегда можно решить.
При несовместности системы уравнений, из которой по (1.3) определяются постоянные интегрирования, можно использовать, например, следующий прием. Вместо необходимого (минимального) порядка 5 уравнений (2.11) следует выбрать порядок 5 + 5 (5 > 1). В общем решении замкнутой системы дифференциальных уравнений появится (п - 1)5 новых постоянных интегрирования. Выбором конкретных значений (п - 1)5 (естественно, не новых) постоянных интегрирования практически всегда можно устранить несовместность и этой системы уравнений.
Следует отметить, что каждому типу дифференциальных уравнений (2.11) соответствует своя реализация программы (1.4) при одних и тех же краевых условиях и число реализаций в каждом из 5 - 1 случаев, в принципе, не ограничено, поскольку окончательный вид конкретного типа дифференциальных уравнений программных движений МС определяется выбором вида порождающих дифференциальных уравнений (2.10).
П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.