МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 534.1
© 2015 г. И. Е. БЕРИНСКИЙ, Д. А. ИНДЕЙЦЕВ, Н. Ф. МОРОЗОВ, Д. Ю. СКУБОВ, Л. В. ШТУКИН
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ГРАФЕНОВЫЙ РЕЗОНАТОР КАК ДЕТЕКТОР МАССЫ
Рассматривается принципиально новая схема графенового резонатора — дифференциальный резонатор, — позволяющая существенно повысить его чувствительность к осаждающейся на нем массе. Дифференциальный резонатор состоит из двух параллельно расположенных друг над другом графе-новых слоев — верхнего, основного, и нижнего, дополнительного. Слои закреплены в изолирующих опорах, дополнительный слой расположен над проводящей поверхностью. Силовая связь между слоями осуществляется электростатическим полем в пространстве между ними. В такой механической системе возможно несколько положений равновесия. Рассматриваются свободные колебания около устойчивого положения равновесия. Напряженность электрического поля в пространстве между слоями подбирается таким образом, чтобы механическая система из двух графеновых слоев имела две близкие собственные частоты. Свободные колебания такой системы имеют вид биений. Характерная частота огибающей, называемая далее частотой биений, и равная половине разности собственных частот системы, гораздо ниже, чем парциальная собственная частота каждого из слоев. При осаждении частицы на верхнем слое, парциальная собственная частота этого слоя уменьшается. При этом характерная частота огибающей изменяется, причем малое изменение парциальной собственной частоты может привести к значительному изменению характерной частоты огибающей. Это обеспечивает дифференциальному резонатору более высокую чувствительность к массе обнаруживаемой частицы по сравнению с резонатором на основе одного слоя. В работе исследуется влияние различных параметров дифференциального резонатора на точность измерений.
Ключевые слова: графен, графеновый резонатор, дифференциальный резонатор, биения.
1. Введение. Одним из возможных применений графенового резонатора является использование его как детектора массы осажденной на нем частицы. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных изучению наноэлектромехани-ческих резонаторов на основе графена [1—4]. Основная проблема при создании резонатора как детектора осаждаемой частицы — чувствительность резонатора к массе осажденной частицы. Эта чувствительность определяется изменением собственной частоты резонатора при осаждении на нем частицы. При низкой добротности резонатора (порядка 100) может оказаться, что это изменение сравнимо с шириной резонансной зоны, что не позволяет получить достоверные данные о массе частицы, если ее масса составляет величину порядка 1% от массы графенового слоя резонатора. Имеются работы, в которых рассматриваются резонаторы, содержащие несколько графеновых слоев [5—8].
Изолирующие
В работе [9] предлагается принципиально новая схема двухслойного графенового резонатора — дифференциальный резонатор, позволяющая существенно повысить его чувствительность к осаждающейся на нем массе.
На фиг. 1 представлена схема дифференциального графенового резонатора, состоящего из двух параллельно расположенных графеновых слоев — основного и дополнительного. Графеновые слои закреплены в изолирующих опорах. Под основным слоем на расстоянии йу расположен дополнительный слой, под которым на расстоянии ^ расположена проводящая поверхность. Источник постоянной э.д.с. Ц (основной) служит для создания силовой связи между основным и дополнительным слоями, источник э.д.с. и2 (дополнительный) служит для создания начальных условий.
Принцип работы дифференциального резонатора состоит в следующем. Один цикл измерений состоит в том, что при подаче напряжения от дополнительного источника и2 в виде короткого импульса возбуждаются совместные свободные колебания графе-новых слоев. Если парциальные собственные частоты каждого слоя (в отсутствие связи) близки друг к другу, а связь между ними достаточно слабая (по сравнению с собственной упругостью каждого из слоев), то система из двух слоев будет иметь две собственные частоты, мало отличающиеся друг от друга и близкие к парциальным частотам каждого из них. При этом свободные колебания будут иметь характер биений. Детектированием выделяется огибающая этого процесса. Характерная частота огибающей, равная половине разности собственных частот системы, гораздо меньше, чем парциальная частота каждого из слоев. При осаждении частицы на верхнем слое, парциальная собственная частота этого слоя уменьшится. При этом характерная частота огибающей тоже изменится, причем малое изменение парциальной собственной частоты может привести к значительному изменению характерной частоты огибающей. По прошествии времени, в течение которого произойдет затухание свободных колебаний, цикл измерений может быть повторен.
2. Уравнения движения. В работе [10] предлагается рассматривать графеновый резонатор как конденсатор с кинематически меняющейся емкостью. Под действием сил взаимного притяжения между обкладками конденсатора графеновые слои прогибаются. Это приводит к изменению емкости конденсатора в зависимости от относительного перемещения слоев. В первом приближении считаем, что емкость конденсатора С, обкладками которого являются два слоя графена, зависит от разности прогибов основного м>1 и дополнительного и графеновых слоев
w2) = С0—---(2.1)
ах - (wl - w2)
где емкость С0 — емкость конденсатора при недеформированных обкладках.
Как и в работе [2], уравнения движения электромеханической системы получаются с помощью уравнений Лагранжа—Максвелла [11]. В качестве обобщенных координат выбраны прогибы основного w1 и дополнительного w2 слоев графена
^ J2 i
miwvi + ciwi - ^^--1-2 = 0
2 (d - W - w))
c0U2 i
m2w2 + c2w2 + —0—--j = 0
2 (di - (wi - w))
ОТ i
где mi, m2 — масса основного и дополнительного слоев, ci, C2 — изгибная жесткость каждого из слоев в отсутствие связи между ними.
Уравнения (2.2) приведем к безразмерному виду введением безразмерных координат vi = W\/d\, V2 = W2/^2 и безразмерного времени т = Xt
(i + аК + vi - b2-i-- = 0
(i - (Vi -V))2 (2.3)
" , 2 , j.2 i n
V2+YV2 + b -- = 0
(i - (vi -v))2
где обозначено \ = C\/m, ()' = d/dx, m2 = m, m — масса дополнительного слоя, mi = (i + a)m, a = a0 + ai, a0 — относительное отличие массы основного слоя от массы дополнительного слоя, ai — относительное изменение массы основного слоя при осаждении на него частицы, у2 = c2/ci — отношение изгибных жесткостей дополнитель-
2 2 2
ного и основного слоев в отсутствие связи между ними, b = C0Ui /2ci di — безразмерная величина, пропорциональная отношению энергии электрического поля в неде-формированном состоянии к потенциальной энергии упругой деформации основного слоя при прогибе, равном полному зазору между слоями. В дальнейшем будем называть эту величину коэффициентом связи.
Найдем положение равновесия системы при включенном основном источнике э.д.с. Ui, удовлетворяющее системе уравнений:
7 2 i „
Vi0 - b -5 = 0
(i - (vi0 -V20)) (24)
2 , , 2 i „
Y V20 + b -2 = 0
(i - (Vi0 -V20))
Таких положений равновесия может быть, вообще говоря, несколько. Можно показать, что при достаточно малом коэффициенте связи b2 существует устойчивое положение равновесия.
Будем искать решение системы (2.3) в виде суммы статического смещения vi0, v20 и отклонения ^, от него:
Vi =Vi0 + (i -Vi0 +V20)^b V2 =V20 + (i - Vw + V20^2 (2.5)
i
! И , ,
! ( « '
i ih ¡
Г [ II и i I
0.005 -
' и I
Í 5 ;■11 'i i! >
i 'I ! !i Ü (I
i " и ii! !! .
i' " ,
s ii :>
ii !l t
' Ii !! ', || i, I, " ¡I : ■ !i i..... '¡.i'
J ! i!¡i!! !!¡Ü Ü щ
í - -: i
ftii!i lü ¡! ti! Üjjiill Ü! i íll
l¡:
.1 í
11 i
. i ! « ' II 1
¡ ¡ i ü ; и i i; И i li
i i
* ü i
n i |
I! Ii li
<1 i! il
11 il li
í
1 I
1 I J ' !
.lililí : ii .i ,i !i Ü ,
щц Ü^'üm
:! il il!i;¡ 'i M i| ii ! !i и
L
ii ii1 'i ii i11, 'i i'
! i и» ü ¡ i ! "". 1 ü
í |! j| ,1.1i ! '| Ü IIII ,1 !i
Í! '! ,
VlVl
! I! J¡ ,'ni
II ji
/ТТТ^
¡ !Ü lií'n IÜMi i!il!¡ ¡i i И1 !¡¡! i ! vi' !»!■« iti'!'" '.и1 : '¡¡'к
■ ■■"''■jl' I
| г ,, 11 l! t! ■! ¡' l¡ ¡! ¡! I1 i I1 ! "¡ И il I 1 i i I 1 i1 3 " i 1 i Ü'i ¡ 1 'i
;; ü iift't ¡i !¡¡¡ !¡¡!¡1 '
ü !! í! ;l i¡4
¡ijü ¡ ¡! "¡¡ 'W 'Mí
i! II
'■'■■i5^. li;20^;:'::?5^ ,;':з00;:\ :::350..■.
50' " ■■ 100
I !«:¡'i ..... .........
■■¡■¡и' !' ''' 'I Mil'í! !
I Sil !i i
-0.005
i I i h! li 1 i i'',
i i i ¡ ....... 1 ¡ И i,
' ¡!Ü И l
' j '' i' ! ii >1 \> 1 'i I
< ■; \ ¡j м i и i h n n'
•sri^S?^?;
■i i - ! и !¡¡И ! !| i 'i1 '
11 I
I I: > l! !¡ .1 !l .1 I, j¡ |j И '
!l!i!!!!N!|i!l!Í!i¡Íí!il н" ■" • •:. ■ - ■
■ 1
Ü! 11 !
I í ! !
' ii S
Ü
м 1 1 'i Í;
i 'I 1]
1 i ■ I
I i !í 5 " * '
I ím1 i 1
MI
MI»
* (I \
ii(! ■!! ;i¡ ii;¡!¡ ¡¡ ■ ¡ Л ¡i II lili ¡l P 111 I i
41'
Фиг. 2
Подставляя (2.5) в уравнения (2.3) с учетом уравнений равновесия (2.4), получим уравнения для отклонений от положения равновесия ^ и систему уравнений:
(1 + + ^-в = о
(1 - (¡51 -^))2
§2' + Y2¡2 + в2 2(51 -¡2) - 2(51= 0 (2.6)
(1 - (¡1 -¡))2
в2 = Ь1 /(1 -V10 + V 2о)3
Для исследования влияния различных параметров на точность работы дифференциального резонатора рассмотрим линейное приближение системы уравнений для отклонений от положения равновесия (2.6):
(1 + а)+¡51 - 2p2fe -Q = 0 (2.7)
^2' + Y 2¡2 + 2p2(¡1 -¡) = 0
Приведем сравнение численных решений линейных уравнений (2.7) и нелинейных (2.6) при начальных условиях
¡51(0) = 0, ¡;1(0) = 0, ^ 2(0) = 0.2, ^2(0) = 0 (2.8)
Такие начальные условия соответствуют подаче импульса от дополнительного источника U2 с достаточно крутым задним фронтом. Величина напряжения U2 такова, что прогиб дополнительного слоя при действии импульса составляет 0.2 от зазора между слоями. На фиг. 2 показаны решения линейного и нелинейного уравнений для основного слоя. Мелкими штрихами обозначено решение линейных уравнений (2.7), крупные штрихи — решение нелинейных уравнений (2.8). Как видно из фиг. 2, заметного
Q.
0.01050 0.01045 0.01040 0.01035 0.01030 0.01025 0.01020 0.01015 0.01010 0.01005 0.01000
an = 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.