ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 5, с. 507-511
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ДИФФУЗИИ
ПО ПАРАМЕТРУ © 2015 г. В. И. Богачев, А. Ю. Веретенников, С. В. Шапошников
Представлено академиком РАН И.А. Ибрагимовым 19.06.2014 г. Поступило 23.06.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215050047
Цель данной работы — дать широкие достаточные условия дифференцируемости решений стационарного уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова по параметру. В частности, мы получаем достаточные условия дифференцируемости инвариантных мер диффузионных процессов по параметру. Наши условия выражены в терминах функций Ляпунова и применимы к неограниченным коэффициентам. При этом существенно обобщены и усилены результаты работ [1, 2].
Предположим сначала, что дан один эллиптический оператор второго порядка
Хф = а;дх дх,ф + Ь' дх ф,
где подразумевается обычное суммирование по повторяющимся индексам, а' и Ь' — вещественные борелевские функции на а матрица А(х) = = (ау(х))и < й положительно определена для каждого х. Будем говорить, что ограниченная боре-левская мера ц (возможно, знакопеременная) удовлетворяет стационарному уравнению Фокке-ра—Планка—Колмогорова
Х * ц = 0
на области О в если коэффициенты а' и Ь локально интегрируемы в О относительно меры |ц| (что выполнено автоматически для локально ограниченных коэффициентов) и имеет место интегральное тождество
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова E-mail: vibogach@mail.ru
Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет, Москва
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва Школа математики, Университет Лидса, Великобритания
Институт проблем передачи информации
им. А.А. Харкевича
Российской Академии наук, Москва
|Хфйц = 0 Уф е С"(О).
Например, это уравнение выполнено для инвариантных мер диффузионного процесса, заданного стохастическим уравнением
й ъ = 72А&) й™, + Ь (^) йг.
Напомним, что класс Соболева ^ 1(Ц) на области и в состоит из всех функций / е и(Щ, имеющих обобщенные производные дх. / е И (и), и наделен соболевской нормой
\\f\V 1 = \\ПР + ца,/\\р +... + \\дXdf\\p,
где ||-||р обозначает И-норму. Класс Скь (О) состоит из функций на О, имеющих к ограниченных непрерывных производных, С" (О) есть пересечение этих классов, С" (О) — его подкласс, состоящий из функций с компактным носителем в О.
Известно (см. [3, 4]), что если для каждого шара и в О есть такое число р = р( и) > й, что а'^ и е е ^(и), Ь'|и е ИХ и) и ЫиёеА > 0, то всякое решение ц имеет непрерывную плотность р, ограничение которой на каждый шар и принадлежит к соболевскому классу 1(Ц) с соответствующим показателемр = р(и) > й. Более того, если ц > 0 не равняется тождественно нулю и О связно, то р > 0.
Достаточным условием для существования вероятностного решения на всем пространстве при локальных предположениях, упомянутых выше, является существование такой функции Ляпунова V е С2(?й), что
У(х+ да, ЬУ(х)< —к < 0
вне некоторого компакта, см. [5] или несколько более слабый результат в [6].
Достаточным условием для единственности вероятностного решения при тех же самых локальных предположениях является существование такой функции Ляпунова V е что V(x) ^ +да и
И^х) < qV(x) для некоторого числа q > 0, см. [4, 7].
В частности, указанное выше достаточное условие существования решения обеспечивает также и его единственность.
Предположим теперь, что для каждого а е [0, 1] задан эллиптический оператор второго порядка
А*ф = ф + Ь'адхУ
с вещественными коэффициентами а^ и Ь'а на удовлетворяющими следующим условиям: матрицы Aa = (а'^) симметричны и для каждого шара U с [ мы имеем
ij
sup a а
sup
W'(V) < M(V) <да,
allLp(V) < M2( V) <да,
(1)
где p = p( U) > d, а также
Aa(x)> c ( U) • I, c( U) > 0, (2)
где I — единичный оператор.
Предположим также, что для всякого а есть единственная вероятностная мера ца, удовлетворяющая уравнению
L* Иа = 0 (3)
в указанном выше смысле.
Цель работы — дать достаточные условия для непрерывности и дифференцируемости и ра по параметру а.
В отличие от случая граничной задачи на ограниченной области с хорошей границей, где диф-ференцируемость решений по параметру при наших базовых предположениях вытекает сравнительно легко из подходящих априорных оценок и компактности вложений (см., например, [8, гл. X, п. 5, теорема 15, гл. III, п. 6]), случай всего пространства сложнее и гораздо менее изучен. Уже в одномерном случае при Aa = 1 (где вероятностное решение единственно) можно найти такую функцию ba(x), (x, а) е R х R, класса С^
по совокуп-
ности переменных, что интеграл
Ja = J exp Jba(y) dydx
не будет непрерывным при а = 0. Нетрудно дать явные примеры таких функций (достаточно взять такую положительную гладкую функцию g(x, а), что ее интеграл по x не будет непрерывным по а в нуле, скажем, g(x, а) = ехр(—x2) + а2ехр(—а4х2)). Тогда вероятностная плотность
Pa(x) = J-eXP \ba(y)dy
удовлетворяет уравнению р^ — (bapa)' = 0, но функция pa (x) разрывна по а при a = 0 для всех x.
Стоит также отметить, что если рассматривать уравнение с параметром как уравнение с дополнительной переменной (или перейти к системе уравнений), то мы получим вырожденное уравнение.
Отсутствие компактности будет компенсироваться подходящими функциями Ляпунова. Будет полезно понятие равномерной плотности семейств мер.
Семейство Ж неотрицательных мер называется равномерно плотным, если для каждого r > 0 имеется такое компактное множество K, что < r для всех ц е Ж. Необходимое и достаточное условие для равномерной плотности состоит в существовании такой локально ограниченной бо-
релевской функции W> 0, что lim W(x) = +да и
XI ^ ^
sup Г Wd^<<x>.
це Ж J
Rd
Случай непрерывности значительно проще, здесь имеет место следующий результат.
Предложение 1. Предположим, что выполнены (1) и (2) и что семейство мер (являющихся единственными вероятностными решениями соответствующих уравнений) равномерно плотно. Предположим также, что для каждого шара Uограничения aj и b'a на U непрерывны по а в пространстве L1(U). Тогда можно выбрать версии плотностей ра так, что функция ра (x) будет непрерывна по совокупности переменных. Кроме того, отображение а ^ ра со значениями в L1(Rd) непрерывно, т.е. отображение а ^ непрерывно по вариационной норме.
Для равномерной плотности мер достаточно существования одной функции Ляпунова V такой, что V(x) ^ +да и supaLa V(x) ^ —да при |x| ^ да. Конечно, это условие обеспечивает также и существование самих решений. Чтобы обеспечить локальную непрерывность коэффициентов в L1, достаточно иметь обычную непрерывность коэффициентов по а вместе с их равномерной интегрируемостью на шарах.
Случай дифференцируемости значительно труднее и требует привлечения некоторых вспомогательных результатов, представленных ниже.
Напомним, что отображение а ^ fa из (0, 1) в Lp(U) дифференцируемо, если есть такое отобра-
fa + s fa
жение а ^ ga из (0, 1) в LP(U), что '
^ ga в
и( Ц) при s ^ 0 для каждого фиксированного а е е (0, 1). Если отображение а ^ga непрерывно, то /а называется непрерывно дифференцируемым.
tx
tx
X
0
aj
X
0
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ДИФФУЗИЙ
509
Предположим, что для каждого шара U отоб-
ражения а I
а | U
, а ^ дх/а\и Иа ^ Ь'|U В Ll(U> непрерывно дифференцируемы. Положим
Ва = (даЬа> •■■> даЬа) , Sa = (д аа о) i,j < d,
^а =(rL ), Ra = да^а.
Относительно Sa будем предполагать, что выпуклые комбинации Ла, е := 0Aa + (1 — 0) А для некоторого фиксированного а0 е (0, 1) удовлетворяют оценке (с операторной нормой)
sup sup||(x)5аЛа, 0(x)Ла1 q2(x)|| < ^ < (4)
0 е [0, 1 ] а, x
Это условие выполнено, если операторы Aa, Аа1, daAa равномерно ограничены. Оно очевидным образом выполнено, если Aa(x) не зависит от а для всех х вне некоторого шара и daAa ограничено. Наконец, оно также выполнено, если операторы Aa(x) коммутируют при различных а и daAa ограничено.
Основная теорема состоит в следующем. Теорем а 1. Пусть выполнены условия (1), (2) и (4). Предположим, что существует такая функция Vе C2(Rd), что lim V(х) = +да и вне некоторо-XI ^ да
го шара при всех а мы имеем
L'V(x)< -W(x), (5)
где W> 0 — борелевская функция с lim W(х) = +да.
|x| ^ да
Предположим также, что для некоторых чисел CV, т > 1 мы имеем
Ы 2 + |А-1/2(даЬа - 5аdivA')| ' + |L' V < CyVW, (6)
<Аа V V,VV>< Cvr. (7)
Наконец, допустим, что для некоторого б < —1—
4 m + 1
имеется шар, вне которого при всех а мы имеем
< Аа VV,VV><s VW. (8)
Тогда производная д^а существует и при каждом а е (0, 1) удовлетворяет уравнению
L* да Ра = div (ВаР а - R* Ра - Sa Vp а) . (9) Прокомментируем условия этой теоремы. Замечание 1. (i) Напомним, что (2) и (4)
выполнены, если операторы Aa, а' и daAa равномерно ограничены по х и а.
(ii) Как объяснено выше, условие (5) обеспечивает существование и единственность вероятностных решений (3) для каждого а. Вместе с (1) и (2) оно обеспечивает равномерную ограниченность интегралов от W относительно мер
(iii) Заметим также, что если A - постоянная невырожденная матрица (независящая от а), то
эти три условия выполнены (вместе с первым условием из (1)) и Ra = Sa = 0.
(iv) Условия (7) и (8) выглядят похожими. В общем случае они независимы, но если W много сильнее, чем V, скажем, W< Vm, то (7) влечет (8). С другой стороны, если W умеренно по сравнению с V, скажем, W < Vm -1, то (8) на всем пространстве влечет (7).
Непосредственными примерами служат случаи с равномерно эллиптическими матрицами диффузии и полиномиальными или экспоненциальными оценками на коэффициенты сноса, обладающие достаточной диссипативностью. Здесь условия (5)-(8) легко проверить.
Следствие 1. Пусть Aa, А' и daAa равномерно ограничены и
^x^x )| + \Ь'а (x )| + |да Ь'а (x)| +
+ \дхоа(x)|< C + C|x|m
для некоторых постоянных Сит. Предположим также, что
lim sup <Ьа(x), x) = -да.
x ^ а
Тогда функция ра (х) дифференцируема по а и д^ а (х) удовлетворяет уравнению (9), указанному в теореме.
Для доказательства берем V(х) = |х|2 и W(х) =
= -SUPa^, ta^)).
Следствие 2. Пусть Aa, А'1 и дaAa равномерно ограничены и
|дадxa^
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.