ВУЛКАНОЛОГИЯ И СЕЙСМОЛОГИЯ, 2012, № 2, с. 56-66
УДК 550.34.01
ДИФФУЗИОННЫЙ ПОДХОД В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ СЕЙСМИЧНОСТИ КАМЧАТКИ © 2012 г. Б. М. Шевцов, Р. Н. Сагитова
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН 684034Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7, e-mail: raya@ikir.ru Поступила в редакцию 08.10.2008 г.
На основе диффузионного подхода построена статистическая модель сейсмичности и выполнен анализ камчатских землетрясений с целью выявления особенностей в изменениях, характерных для процессов случайного блуждания. С использованием гипотезы связанности событий и энергетического критерия осуществлено разложение каталога землетрясений на множество последовательностей, каждая из которых представляет собой броуновский процесс с определенными пространственными, временными и энергетическими масштабами. Построены статистические распределения последовательностей по числу их членов и суммарным энергиям, а также распределения в последовательностях по расстояниям, времени и скоростям пролета между событиями. Обсуждаются нелокальные свойства и эффекты памяти в особенностях случайных блужданий при различных условиях.
ВВЕДЕНИЕ
Идея создания динамической модели землетрясений на основе статистического подхода [Голицын, 2001], который широко и эффективно используется в различных областях физики, давно обсуждается в литературе, но еще очень далека от своей реализации. И трудности здесь как в выборе исходных динамических уравнений, которые бы описывали нелинейные процессы разрушения, так и в построении статистической модели их коэффициентов.
Как правило, малая часть теплового потока Земли и энергии геодинамических процессов в регионе преобразуется в локальные разрушения и акустические колебания, возникающие при землетрясениях [Голицын, 2001]. Это говорит о том, что сейсмические явления можно рассматривать как слабые флуктуации и описывать в рамках диффузионного приближения [Голицын, 2001; Лукк и др., 1996]. Чтобы пояснить эту мысль, сопоставим пространственные масштабы землетрясения с заданной энергией: размер его очага и радиус области влияния, в которой сбрасываются напряжения, с размером региона, в котором развивается геодинамический процесс. Последний масштаб обычно значительно превосходит два первых, за исключением редких случаев катастрофических землетрясений, у которых радиус зоны влияния сравним с размерами региона. Для таких событий применимость обсуждаемого представления нарушается.
Сейсмическое событие состоит из дислокационного смещения в очаге и сброса напряжений в области влияния. Диффузионное описание мо-
жет быть применено к любому из этих двух связанных изменений в среде, если выполняется критерий малости их приращений, обсуждавшийся выше.
Но возникает важный вопрос при статистическом описании: можно ли эти приращения считать независимыми? Зависимость может возникать, как по времени, так и по пространству. В первом случае, когда имеют место эффекты памяти, процесс называется немарковским. Во втором случае, когда проявляются дальние корреляции, процесс называется нелокальным. В данной работе будут рассмотрены оба вида зависимостей.
В случае малости приращений описание немарковских и нелокальных процессов сводится к приближению, математическим аппаратом которого являются дифференциальные уравнения диффузионного типа в дробных производных [Учайкин, 2003; Metzler, Klaftler, 2000; Saichev, Zaslavsky, 1997].
Диффузионный подход используется для описания геофизических процессов [Лукк и др., 1996], в том числе и сейсмических [Голицын, 2001]. Возможно представление диффузионных процессов с памятью и нелокальностью в виде случайных блужданий на фрактальном множестве [Заславский, 2004]. При этом свойства среды определяют характер блужданий и показатели дробности диффузионных уравнений.
В случае фракталов флуктуации среды представлены степенными корреляционными функциями по времени и пространству. Свойства памяти и нелокальности проявляются, когда корреляционные функции медленно спадают, при этом
и возникают эффекты аномальных запаздываний и дальних корреляций.
Если имеют место эффекты статистической зависимости изменений, то процесс блужданий называется обобщенным броуновским движением, для которого наряду с обычными перескоками характерны топтания на месте с возвратами и затяжные пролеты, называемые "полетами Леви" [Заславский, 2004; Лукк и др., 1996; Учайкин, 2003; Metzler, Klaftler, 2000]. Топтания представляют режим субдиффузии, связанный с памятью в системе, а полеты — случай супердиффузии, обусловленной нелокальностью. Аномальное поведение блужданий является характерным признаком их статистической связанности. А смена режимов блужданий говорит об изменениях свойств среды и напряжений.
Топтания в некоторых приложениях, например, в теории диффузии вещества в пористых средах, ассоциируются с наличием ловушек, которые объясняют прилипаниями молекул к стенкам пор, что и приводит к сильным запаздываниям. А значение "полетов Леви" — свободный пролет молекул через поры.
В пластических процессах скорость движений в дислокациях меняется в широких пределах относительно среднего значения. Замедления и ускорения можно рассматривать как отклонение от нормального режима. В ансамбле дислокаций в условиях близких к критическим могут возникать коллективные явления с памятью или нелокальностью. В зависимости от того, которые из них преобладают, меняется и характер процесса.
В работе [Helmstetter, Sornette, 2002], согласно представлениям теории критических явлений, отклонения от нормального поведения сейсмичности именуются как суб- и суперкритические режимы землетрясений. В рамках теории пластичности это ассоциируется с усилением вязких и хрупких процессов, а с точки зрения статистической теории это — проявления аномальных запаздываний и дальних пространственных корреляций. В диффузионных уравнениях при этом начинают играть значимую роль слагаемые с дробными временными и пространственными производными.
"Полеты Леви" в сейсмичности, как следствие дальних корреляций, проявляются при формировании трещин или разломов, а сильные запаздывания и топтания на месте с возвратами — в аф-тершоках (закон Омори), акустическом затишье (эффект Кайзера) и сейсмических брешах [Федотов, 1968]. В рое землетрясений на смену первому режиму приходит второй, что связано с изменением свойств среды и напряжений.
Сложность описания пластических процессов обусловлена их самовоздействием. Разрушения меняют свойства среды, в том числе и ее фрак-
тальные характеристики, в результате чего меняются корреляционные функции неоднородно-стей среды, а те, в свою очередь, влияют на показатели дробности уравнений и характер пластического процесса.
Если фрактальность среды и показателей дробности уравнений достигают критических значений, то возникает явление самоорганизованной критичности и, как результат, развитие разрушений. При этом, как и в любой нелинейной системе, происходит взаимодействие между масштабами. Это свойство разрушений используется, например, для прогноза землетрясений [Shebalin, 2006].
Диффузионный подход позволяет для описания сейсмичности использовать математический аппарат, развитый в статистической теории. Но чтобы иметь на то основания, необходимо рассмотреть последовательность землетрясений как процесс случайных блужданий с целью исследования в нем свойств связанности, эффектов памяти и нелокальности. Как будет показано ниже, такое представление сейсмичности эквивалентно разложению по пространственно-временным и энергетическим масштабам, что может быть использовано при построении статистической теории пластичности и разрушений.
Следует, однако, принять во внимание, что статистики в сейсмических каталогах, тем более в их частях, связанных с критическими режимами, недостаточно, чтобы строить гладкие статистические распределения с переменными во времени и пространстве коэффициентами. Поэтому для анализа связанности, а также эффектов памяти и нелокальности в сейсмичности требуется построение модели процесса, позволяющей исследовать коллективные явления, хотя бы на уровне параметрических оценок. Этот подход принципиально отличается от использования искусственных каталогов землетрясений [Helmstetter, Sornette, 2002], поскольку основан только на данных наблюдений.
МЕТОДИКА АНАЛИЗА СЕЙСМИЧЕСКИХ СОБЫТИЙ
Связанность сейсмических событий проявляется, например, в последовательностях форшо-ков и афтершоков, в возникновении зон затишья и активизации землетрясений, в их пространственной и временной периодичности. Так или иначе, все это обусловлено спецификой пластических процессов, но внешне связанность выступает как корреляция событий на определенных пространственных и временных масштабах. Встает вопрос, как определить зависимость этих масштабов от энергии события?
Для оценки масштаба по времени можно использовать обратную величину частоты повторяемости событий, которую нетрудно найти при заданной энергии события из закона Гуттенберга-Рихтера. Заметим, что среднее время ожидания бесконечно в случае аномального запаздывания и не равно обратной частоте повторяемости, поэтому использование его в качестве временного масштаба некорректно.
В случае дальних корреляций пространственный радиус корреляции бесконечен, поэтому его, как и среднее время ожидания использовать нельзя.
Пространственный масштаб можно оценить через радиус зоны влияния, в качестве которой можно использовать неоднородность среды ^о-Ъшгокку й а1, 1979; Добровольский, 2009], область разрушений или дилатансии [Алексеев и др., 2001], область, соизмеримую с очагом землетрясения [Шебалин, 2005, 2006; 8ИеЪаИп, 2006], область, ограниченную расстоянием, на котором уровень деформаций уменьшается до заданного значения [Пережогин и др., 2007].
Очевидно, что размеры этих областей связаны между собой и зависят от энергии землетрясения. Для оценок пространственного масштаба выбор одной из них особого значения не имеет, поэтому используем, например, радиус зоны влияния Добровольского, поскольку для него есть удобная формула: R = 10043М км ^оЪшгок
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.